高中数学人教A版(2019)必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法

高中数学人教A 版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法
一、单选题(共4题；共8分)
1．（2分）若函数f(x−1x )=1x 2−2
x
+1，则函数g(x)=f(x)−4x 的最小值为（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．-3
D ．-4
2．（2分）若f(1x )=x+1
x
2，则有（ ）
A ．f(x)=x 2+1
B ．f(x)=x 2+x
C ．f(x)=x 2+x(x ≠0)
D ．f(x)=x 2+1(x ≠0)
3．（2分）已知f(x −1)=x 2+4x −5，则f(x)的解析式是（ ）
A ．f(x)=x 2+6x
B ．f(x)=x 2+8x +7
C ．f(x)=x 2+2x −3
D ．f(x)=x 2+6x −10
4．（2分）已知 f(x)+2f(−x)=3x 2−x ，则 f(x)= （ ）
A ．x 2+x
B ．x 2
C ．3x 2+x
D ．x 2+3x
二、多选题(共2题；共6分)
5．（3分）已知函数f(√x −1)=2x +√x −3，则（ ）
A ．f(1)=7
B ．f(x)=2x 2+5x
C ．f(x)的最小值为−258
D ．f(x)的图象与x 轴只有1个交点
6．（3分）已知f(x-1)=x 2，则下列结论正确的是（ ）
A ．f(−3)=4
B ．f(x)=(x +1)2
C ．f(x)=x 2
D ．f （3）=16
三、填空题(共3题；共3分)
7．（1分）若函数 f(√x +1)=x −1 ，则 f(x)= ．
8．（1分）已知函数 f(x) 满足 f(2x +1)=x 2−2x ，则 f(2) 的值为 ． 9．（1分）若函数f(2x +1)=x +1，则f(1−x)= .
四、解答题(共9题；共85分)
10．（10分）求下列函数的解析式：
（1）（5分）已知二次函数f(x)满足f(0)=1，且f(x +1)−f(x)=2x ； （2）（5分）已知函数f(x)满足：f(√x +1)=x −2√x ；
11．（10分）已知函数g(√x +2)=x +2√x +1
（1）（5分）求函数g(x)的解析式；
（2）（5分）设f(x)=g(x)−2x x
，若存在x ∈[2，3]使f(x)−kx ≤0成立，求实数k 的取值范围．
12．（10分）已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c .
（1）（5分）若函数满足f(x +1)−f(x)=2x +2，且f(0)=1.求f(x)的解析式；
（2）（5分）若对任意x ∈R ，不等式f(x)≥2ax +b 恒成立，求b 2
4(a 2+c 2)的最大值.
13．（10分）求下列函数的解析式
（1）（5分）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)； （2）（5分）若函数f(√x +1)=x −1，求f(x)．
14．（10分）已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(1，0)和(2，0)，与y 轴交于点
(0，2).
（1）（5分）求二次函数f(x)的解析式；
（2）（5分）若关于x 的不等式f(x)≤tx 2−(t +3)x +3对一切实数x 恒成立，求实数t 的取值范围.
15．（10分）已知函数 f(x) 满足 f(x)+2f(1x
)=3x .
（1）（5分）求函数 f(x) 的解析式；
（2）（5分）判断函数 f(x) 在 (0，+∞) 上的单调性，并用定义证明.
16．（10分）若 f(x) 是定义在 R 上的二次函数，对称轴 x =−12
，且 f(1)=3 ， f(0)=1 .
（1）（5分）求函数 f(x) 的解析式；
（2）（5分）设函数 g(x)=kx 2+2kx +1(k ≠0) ，若对 ∀x 1∈[−2，2] ， ∃x 2∈[−1，2] ， f(x 1)=g(x 2) ，求实数 k 的取值范围.
17．（5分）若 f(x) 是二次函数，且满足 f(0)=3 ， f(x −1)−f(x)=−4x ，求 f(x) 的解析
式.
18．（10分）
（1）（5分）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)的解析式； （2）（5分）已知函数f(x)={x +2(x ≤1)
x 2(1<x <2)2x(x ≥2)①求f(2)，f(1
2
)，f[f(−1)]；②若f(a)=3，求a
的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】因为f(x−1x )=1x 2−2x +1=x 2−2x+1x 2
=(x−1x )2， 所以f(x)=x 2(x ≠1).
从而g(x)=x 2−4x =(x −2)2−4， 当x =2时，g(x)取得最小值，且最小值为-4. 故答案为：D
【分析】由配方法求得f(x)=x 2(x ≠1)，进而得到g(x)=x 2−4x ，即可求解。

2．【答案】C
【解析】【解答】由f(1x )=1x +1x
2，有f(x)=x 2+x(x ≠0)。

故答案为：C
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。

3．【答案】A
【解析】【解答】f(x −1)=x 2+4x −5，设x −1=t ，x =t +1，则f(t)=(t +1)2+4(t +1)−
5=t 2+6t ， 故f(x)=x 2+6x 。

故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。

4．【答案】A
【解析】【解答】解：由 f(x)+2f(−x)=3x 2−x ，得 f(−x)+2f(x)=3x 2+x
∴{f(x)+2f(−x)=3x 2−x
f(−x)+2f(x)=3x 2
+x ，解得 f(x)=x 2+x . 故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x 代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。

5．【答案】A,D
【解析】【解答】令t =√x −1≥−1，得√x =t +1，则x =(t +1)2，得f(√x −1)=f(t)=2t 2+
5t，
故f(x)=2x2+5x，x∈[−1，+∞)，f(1)=7，A符合题意，B不符合题意.
f(x)=2x2+5x=2(x+5
4
)2−
25
8
，所以f(x)在[−1，+∞)上单调递增，
f(x)min=f(−1)=−3，f(x)的图象与x轴只有1个交点，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合代入法，从而求出函数值；利用换元法，令t=√x−1≥−1，从而将函数转化为二次函数f(x)=2x2+5x，x∈[−1，+∞)，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出二次函数的最小值；再利用二次函数的图象，进而求出二次函数f(x)的图象与x轴交点的个数，进而找出正确的选项。

6．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由f(x-1)=x2，令x−1=t∈R，即x=t+1，所以f(t)=(t+1)2=t2+2t+1，即f(x)=x2+2x+1，所以f(−3)=9−6+1=4，A符合题意；
f(x)=(x+1)2，B符合题意、C不符合题意；
f（3）=9+6+1=16，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】首先由整体思想代换即可求出函数的解析式，然后把数值代入计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。

7．【答案】x2−2(x≥0)
【解析】【解答】解：令t=√x+1≥0，则x=t2−1，f(t)=t2−1−1=t2−2，所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥0) .
故答案为：x2-2(x≥0)
【分析】通过换元，令t=√x+1≥0，则x=t2−1，代入原式即可得解.
8．【答案】−3
4
【解析】【解答】解：在f(2x+1)=x2−2x中，令2x+1=2，则x=1
2
，
则f(2)=−3
4
.
故答案为：−3
4
.
【分析】利用整体思想结合已知条件，计算出x的取值然后再把结果代入到已知的代数式，由此即可得出答案。

9．【答案】−1
2
x+1
【解析】【解答】令2x+1=t，可得x=t−1 2
，
∴f(t)=t−1
2
+1=
t+1
2
，
再将式子中的t都换成x，可得f(x)=1
2
(x+1)，
所以f(1−x)=−1
2
x+1。

故答案为：−1
2
x+1。

【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数f(x)的解析式，再利用代入法得出函数f(1−x)的解析式。

10．【答案】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
∵f(0)=c=1，因为
f(x+1)−f(x)=[a(x+1)2+b(x+1)+1]−(ax2+bx+1)=2ax+a+b=2x
所以，{2a=2
a+b=0，解得{
a=1
b=−1
，因此，f(x)=x2−x+1；
（2）令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，
代入f(√x+1)=x−2√x有f(t)=(t−1)2−2(t−1)=t2−4t+3，
因此，f(x)=x2−4x+3(x≥1)；
【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出c的取值，整理化简已知条件由此计算出a与b的取值，从而得出函数的解析式。

(2)根据题意令t=√x+1，由此整理已知条件从而即可得出答案。

11．【答案】（1）解：解法一：∵g(√x+2)=x+2√x+1=(√x+2−1)2，
∴g(x)=(x−1)2．
又√x+2≥2，∴g(x)=(x−1)2(x≥2)．
解法二：令t=√x+2，则x=(t−2)2．由于√x≥0，所以t≥2．
代入原式有g(t)=(t −2)2+2(t −2)+1=(t −1)2， 所以g(x)=(x −1)2(x ≥2)．
（2）解：∵f(x)=g(x)−2x x
，∴f(x)=x +1
x −4．
∵存在x ∈[2，3]使f(x)−kx ≤0成立，
∴k ≥(1x )2−4
x +1在x ∈[2，3]时有解．
令t =1x ，由x ∈[2，3]，得t =1x ∈[13，1
2
]，
设ℎ(t)=t 2−4t +1=(t −2)2−3． 则函数ℎ(t)的图象的对称轴方程为t =2，
∴当t =12时，函数ℎ(t)取得最小值34．
∴k ≥34，即k 的取值范围为[3
4
，+∞)．
【解析】【分析】（1）利用构造法或换元法，进而求出函数g(x)的解析式。

（2）利用 f(x)=g(x)−2x x 结合（1），所以f(x)=x +1
x −4，再利用存在x ∈[2，3]使f(x)−kx ≤
0成立，所以k ≥(1x )2−4x +1在x ∈[2，3]时有解，令t =1
x
，由x ∈[2，3]结合构造法得出t 的取值
范围，设ℎ(t)=(t −2)2−3，再利用二次函数的对称性，进而得出二次函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数k 的取值范围。

12．【答案】（1）解：设f(x)=ax 2+bx +c ，(a ≠0)，
由已知代入f(x +1)−f(x)=2x +2， 得2ax +a +b =2x +2， 对于x ∈R 恒成立，
故{2a =2
a +
b =2，解得a =1，b =1，又由f(0)=1，得
c =1， 所以f(x)=x 2+x +1
（2）解：若对任意x ∈R ，不等式f(x)⩾2ax +b 恒成立， 整理得：ax 2+(b −2a)x +c −b ⩾0恒成立，因为a 不为0， 所以{a >0
Δ=(b −2a)2
−4a(c −b)⩽0
，所以0⩽b 2⩽4a(c −a)， 所以b 2
4(a 2+c 2)⩽ac−a 2a 2+c 2=c a
−11+(c a )2，
令t =c
a −1，因为0⩽
b 2⩽4a(
c −a)，所以c ⩾a >0⇒t ⩾0，
若t =0时，此时b 2
4(a 2+c 2)⩽ac−a 2a 2+c 2=c a
−11+(c a )
2=0， 若t >0时，b 2
4(a 2+c 2)⩽t 1+(t+1)2=1t+2t
+2⩽1
22+2=√2−12， 当t =√2时，即c =(1+√2)a 时，上式取得等号，
综上b 2
4(a 2+c 2)
的最大值为
√2−12. 【解析】【分析】（1）由已知f(x +1)−f(x)=2x +2且f(0)=1，求出 a =1，b =1 ，c =1，可
得 f(x)的解析式；
（2） 对任意x ∈R ，不等式f(x)≥2ax +b 恒成立，所以{a >0
Δ=(b −2a)2−4a(c −b)⩽0
，所以0⩽
b 2⩽4a(
c −a)，推出b 2
4(a 2+c 2)⩽c a
−11+(c a
)2， 令t =c a −1 ，利用基本不等式可求最大值. 13．【答案】（1）解：因为f(x)是一次函数，设f(x)=ax +b ，(a ≠0)，
则f(x +1)=a(x +1)+b ，f(x −1)=a(x −1)+b ， 所以3f(x +1)−2f(x −1)=ax +5a +b =2x +17， 则{a =25a +b =17，解得{a =2b =7，
所以f(x)=2x +7
（2）解：由函数f(√x +1)=x −1， 令√x +1=t ≥0，则x =t 2−1， 所以f(t)=t 2−2，
所以f(x)=x 2−2，x ∈[0，+∞)
【解析】【分析】(1)首先根据题意设出函数的解析式，再把数值代入计算出a 与b 的取值，从而即可
得出函数的解析式。

(2)根据题意令√x +1=t ≥0由此整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的值域。

14．【答案】（1）因为二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(1，0)和(2，0)，与y 轴交
于点(0，2).代入二次函数表达式有{a +b +c =0
4a +2b +c =0c =2
解得a =1，b =−3，c =2
∴二次函数的解析式为f(x)=x 2−3x +2.
（2）因为f(x)≤tx 2−(t +3)x +3对一切实数x 恒成立， 即x 2−3x +2≤tx 2−(t +3)x +3对一切实数x 恒成立， 化简得(t −1)x 2−tx +1≥0对一切实数x 恒成立，
当t =1时，原不等式为−x +1≥0，对一切实数x 不恒成立； 当t ≠1时，
要使不等式恒成立，则{t −1>0
Δ=t 2−4(t −1)≤0，
解得t =2.
综上，实数t 的取值范围是{2}.
【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法求出二次函数f(x)的解析式；
（2）先将不等式进行化简，分类讨论，t =1时不成立时，t ≠1时根据二次不等式恒成立的条件得出{t −1>0Δ=t 2−4(t −1)≤0
求解可得实数t 的取值范围。

15．【答案】（1）由 f(x)+2f(1
x )=3x ，
用 1x 代替x 可得， f(1x )+2f(x)=3
x
，
{
f(x)+2f(1
x )=3x
f(1x )+2f(x)=3x
， 联立方程， 解得： f(x)=
2
x
−x(x ≠0) . （2）函数 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递减， 证明：任取 x 1，x 2∈(0，+∞) ，且 x 1<x 2 ，
f(x 1)−f(x 2)=(
2x 1−x 1)−(2x 2−x 2) =
2x 1−2x 2+(x 2−x 1) =
2(x 2−x 1)x 1x 2+(x 2−x 1)
=(x 2−x 1)(2
x 1x 2
+1) ，
因为 x 1，x 2∈(0，+∞) ，且 x 1<x 2 ，所以 x 1−x 2>0 ， 2
x 1x 2
+1>0 ，
故 f(x 1)−f(x 2)>0 ，即 f(x 1)>f(x 2) ， 所以 f(x) 在 (0，+∞) 上单调递减.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合替换法，从而解方程组求出函数 f(x) 的解析式。

（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 f(x) 在 (0，+∞) 上为减函数。

16．【答案】（1）解：由题意，设 f(x)=a(x +12)2+c ，
则由 {
f(0)=1
f(1)=3， 得 {a(0+12)2
+c =1a(1+12)2
+c =3， 解得： a =1，c =3
4 .
所以 f(x)=(x +12)2+3
4
=x 2+x +1 .
（2）解：记 f(x) 在 [−2，2] 上的值域为 A ， g(x) 在 [−1，2] 上的值域为 B ， 由题意可得 A ⊆B .
由（1）知 f(x)=(x +12)2+3
4
，
当 x ∈[−2，2] 时， 3
4≤f(x)≤7 ，即 A =[34
，7]
因为 g(x)=k(x 2+2x +1)+1−k =k(x +1)2+1−k ，对称轴 x =−1 ， 所以当 k >0 时， g(x) 在 [−1，2] 上单调递增， 所以 g(−1)≤g(x)≤g(2) ，即 1−k ≤g(x)≤8k +1 ， 所以 B =[1−k ，8k +1] . 由题意可得 {k >0，
1−k ≤34
，8k +1≥7 ，解得 k ≥3
4 .
当 k <0 时， g(x) 在 [−1，2] 上单调递减，
所以 g(2)≤g(x)≤g(−1) ，即 8k +1≤g(x)≤1−k ， 所以 B =[8k +1，1−k] .
由题意可得
{k<0，
1−k≥7，
8k+1≤34
，解得k≤−6.
综上所述，k的取值范围是k≥3
4
或k≤−6.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二次函数的图象的对称性和代入法，从而解方程组求出二次函数的解析式。

（2）记f(x)在[−2，2]上的值域为A，g(x)在[−1，2]上的值域为B，由题意可得
A⊆B，由（1）知f(x)=(x+1
2)2+
3
4
，再利用已知条件结合二次函数g(x)的图象的对称性和
单调性，再结合集合间的关系和分类讨论的方法，从而求出实数k的取值范围。

17．【答案】解：由题意，设f(x)=ax2+bx+3
∴f(x−1)−f(x)=a(x−1)2+b(x−1)+3−ax2−bx−3=−2ax+a−b=−4x，
∴{−2a=−4
a−b=0
，
解得a=b=2，
∴f(x)=2x2+2x+3．
【解析】【分析】利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a，b的值，进而求出二次函数的解析式。

18．【答案】（1）解：设f(x)=kx+b，则：
f(x+1)=kx+b+k，f(x−1)=kx+b−k；
∴3f(x+1)−2f(x−1)=kx+b+5k=2x+17；
∴{k=2
b+5k=17
；
∴k=2，b=7；
∴f(x)=2x+7．
（2）解：函数f(x)={x+2(x≤1)
x2(1<x<2) 2x(x≥2)
①f(2)=2×2=4，f(1
2)=
1
2
+2=
5
2
，f(−1)=−1+2=1，
f[f(−1)]=f(1)=3；
②当a≤1时，f(a)=a+2=3，a=1，又a≤1，∴a=1；
当1<a<2时，f(a)=a2=3，a=±√3，
又1<a<2，∴a=√3；
当a≥2时，f(a)=2a=3，a=3
，
2
又a≥2，∴此时无解.
综上，a=1或a=√3.
【解析】【分析】(1)根据题意设出函数的解析式，再由待定系数法代入计算出b与k的取值，由此即可得出函数的解析式。

(2) ①根据题意选择合适的函数解析式代入数值计算出结果即可。

②由已知条件对a分情况讨论，代入数值计算出结果即可。

11/ 11。