2024届天津市南开区高三下学期质量监测(一)数学试卷(含答案与解析)_2534

天津市南开区2024届高三下学期质量监测（一）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页. 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3、本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：
球的体积公式
34π3V R =
，其中R 表示球的半径.
如果事件A ，B 互斥，那么()()()
P A B P A P B =+ .
对于事件A ，B ，
()0
P A >，那么
()()()
P AB P A P B A =⋅.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集{}
0,1,2,3,4U =，集合{1,2,3}A =，
{}
2,4B =，则
()U A B ⋃ð为
A. {1,2,4}
B. {2,3,4}
C. {0,2,4}
D. {0,2,3,4}
2. 若0b ≠，则“,,a b c 成等比数列”是
“b =
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若a ＞1，则1
1
a a +-的最小值是（ ） A. 2 B. a
C.
D. 3
4. 函数2221
sin 2ln x y x x
+=⋅的图象可能为（ ）
的
A. B.
C. D.
5. 已知 1.12a -=，1
24
1
log log 33
b c ==，则（ ） A. a b c ＜＜
B. c b a ＜＜
C. b a c ＜＜
D. b c a ＜＜
6. 已知随机变量()()2
~~6X N Y B p μσ,，,，且()()()142
P X E X E Y ≥==，则p =（ ）
A.
16
B.
14
C.
13
D.
23
7. 关于函数π3cos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下列结论中： ①π-为该函数一个周期； ②该函数图象关于直线π
3
x =对称； ③将该函数的图象向左平移
π
6
个单位长度得到3cos 2y x =的图象： ④该函数在区间ππ,66⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②
B. ③④
C. ①②④
D. ①③④
8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AC BD ⊥，其外接球体积为36π，则其外接球被平面
11AB D 截得图形面积为（ ）
A.
53π6
B.
25π3
C.
65π9
D.
19π3
9. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：()22
22100x y a b a b
-=>>，的左、右焦点分别是12F F ，
，离心率为
P 是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足是M
，MO =
，则的的
点P 到C 的两条渐近线距离之积为（ ） A.
43
B.
23
C. 2
D. 4
第Ⅱ卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题
2、本卷共11小题，共105分.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. i 是虚数单位，复数43i 34i
z -=
+，则z 的虚部为______
11.
若6
x ⎛
+ ⎝
的展开式中2x 的系数为160，则实数a 的值为__________. 12. 直线20mx y --=被圆()2
214x y ++=截得的弦长的最小值为______
13. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为______，第二次抽到3号球的概率为______ 14. 平面四边形ABCD 中，π23
AB ABC AC AB =∠=
⊥，，，E 为BC 的中点，用AB 和AE
表示AC = ______；若2ED =，则AD AB ⋅
的最小值为______
15. 已知函数()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()3
e x
f x
g x x +=-，若函数
()()2024
23
20242x h x f x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为______
三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，. （1）求a 值： （2）求证：2A B =； （3）πcos 212B ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，
的的
2224AB CD CD AB PD AD AP =====∥，，E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是
棱PA 上一点.
（1）证明：//PA 平面BDE （2）求点F 到平面BDE 的距离；
（3）求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值.
18. 已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合，抛物线的准线被C
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MA MB ⋅
为定值？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.
19. 在正项等比数列{}n a 中，132420324a a a a +==，. （1）求{}n a 的通项公式：
（2）已知函数(
)1f x x =++，数列{}n b 满足：()111n n b b f b n *
+==∈N ，，.
（i
）求证：数列
为等差数列，并求{}n
b 的通项公式
（ii ）设n n n c a b =-，证明：
1
11171
42n k k
n c c +=+≤-∑，*n ∈N 20. 已知2a -，a 为函数()()
2
e x
f x x mx n =++的极值点，直线l 过点
()()()()2,2,A a f a B a f a --，，R a ∈
（1）求()f x 的解析式及单调区间：
（2）证明：直线l 与曲线()y f x =交于另一点C ： （3）若1AB n n n BC
*<
<+∈N ，，求n .（参考数据：ln 20.693=⋯，ln 5 1.609=⋅⋅⋅）
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集{}
0,1,2,3,4U =，集合{1,2,3}A =，
{}
2,4B =，则
()U A B ⋃ð为
A. {1,2,4}
B. {2,3,4}
C. {0,2,4}
D. {0,2,3,4}
【答案】C 【解析】
【分析】先根据全集U 求出集合A 补集U A ð，再求U A ð与集合B 的并集()U A B ⋃ð． 【详解】由题得，{}0,4,U A = ð{}{}{}()0,42,40,2,4.U A B ∴⋃=⋃=ð故选C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题． 2. 若0b ≠，则“,,a b c 成等比数列”是
“b =的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【详解】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论． 详解：由题意得，例如1,1,1a b c ==-=，此时,,a b c
构成等比数列，而b =不成立，
反之当0b ≠
时，若b =
，则2
b c
b a
c a b
=⇒
=，所以,,a b c 构成等比数列， 所以当0b ≠时，,,a b c
构成等比数列是b =
故选B ．
点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力． 3. 若a ＞1，则1
1
a a +-的最小值是（ ） A. 2 B. a
C.
D. 3
【答案】D
的
【解析】
【分析】原式可化为111111
a a a a +=-++--形式且a ＞1，即可用基本不等式求最小值，注意等号成立为a ＝2
【详解】由a ＞1，有a －1＞0
∴11111311a a a a +
=-++≥+=--， 当且仅当1
111
a a -==-， 即a ＝2时取等号. 故选：D
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，使用时注意“一正二定三相等”的条件，属于简单题
4. 函数2221
sin 2ln x y x x
+=⋅的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在π(0,)2
上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.
【详解】函数22
21
()sin 2ln x y f x x x
+==⋅的定义域为{}|0x x ≠， 又2222
2()121
()sin 2()ln sin 2ln ()()x x f x x x f x x x
-++-=-⋅=-⋅=--， 因此函数2221
sin 2ln x y x x
+=⋅为奇函数，函数图象关于原点对称，BD 错误；
当π(0,2x ∈时，sin 20x >，22221122x x x +=+>，则22
0ln 21
x x
+>，
因此22
21
sin 2ln 0x x x +⋅>，C 错误，A 符合题意.
故选：A
5. 已知 1.12a -=，1
24
1
log log 33
b c ==，则（ ） A. a b c ＜＜ B. c b a ＜＜
C. b a c ＜＜
D. b c a ＜＜
【答案】A 【解析】
【分析】由指数函数与对数函数的性质确定,,a b c 的范围，进而确定大小关系.
【详解】由指数函数与对数函数的性质可得， 1.1
11222
a --=<=
，1114441111
log log log 12234
b =<=<=，22log 3log 21
c =>=， 所以a b c <<， 故选：A.
6. 已知随机变量()()2~~6X N Y B p μσ,，,，且()()()1
42
P X E X E Y ≥==，则p =（ ）
A.
16 B.
14
C.
13
D.
23
【答案】D 【解析】
【分析】根据正态分布的性质可得4μ=，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由()2
~X N
μσ,，
以及()1
42
P X ≥=可得4μ=， 由于()()E X E Y =，故()()64E X p E Y ===，故23
p =， 故选：D
7. 关于函数π3cos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下列结论中： ①π-为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线π
3
x =对称； ③将该函数的图象向左平移
π
6
个单位长度得到3cos 2y x =的图象： ④该函数在区间ππ,66⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递减. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④
C. ①②④
D. ①③④
【答案】C 【解析】
【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断. 【详解】对于①，由周期公式可得2ππ2T =
=，所以函数π3cos 23y x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期为π，所以()πZ,0k k k ∈≠，均是其周期.故①正确；
对于②，当π3x =
时，ππ3cos 23cos π333y ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝
⎭，所以π
3x =是其对称轴，故②正确； 对于③，将函数π3cos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移π6
个单位得到
ππ2π3cos 23cos 2633y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故③错误；
对于④，ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，π2π20,33x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
，由余弦函数的单调性可知，函数π3cos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,66⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦
上单调递减，故④正确. 综上，正确的有①②④. 故选：C.
8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AC BD ⊥，其外接球体积为36π，则其外接球被平面
11AB D 截得图形面积为（ ）
A.
53π6
B.
25π3
C.
65π9
D.
19π3
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出底面为正方形，长方体外接球的直径即为长方体的体对角线且球心在体对角线的中点，由外接球的体积求出1AC ，从而求出底面边长，再利用向量法求出球心到平面11AB D 的距离，即可求出截面圆的半径，从而求出其面积.
【详解】如图建立空间直角坐标，设AD a =、DC b =(),0a b >，则(),,0B a b ，
(),0,0A a ，()10,,2C b ，()0,0,0D ， 所以(),,0DB a b = ，()1,,2AC a b =-
，
因为1AC BD ⊥，所以2210AC DB a b ⋅=-+=
，所以a b =，即ABCD 为正方形，
又长方体1111ABCD A B C D -的外接球的直径为长方体的体对角线长1AC ， 外接球的球心为体对角线的中点不妨设为O ，
由外接球体积为36π，所以3
14π36π32AC ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，解得16AC =，
又16AC =
=，解得4a =（负值舍去）
， 所以()4,0,0A ，()10,0,2D ，()14,4,2B ，()2,2,1O ，
所以()14,0,2AD =- ，()10,4,2AB = ，()2,2,1AO =-
，
设平面11AB D 的法向量为(),,n x y z = ，则11420
420n AD x z n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取()1,1,2n =- ，
所以点O 到平面11AB D
的距离n AO d n
⋅=== ， 所以外接球被平面11AB D
截得的截面圆的半径r == 所以截面圆的面积2
25ππ3
S r ==， 即外接球被平面11AB D 截得图形面积为25π3
. 故选：B
9. 已知O 为坐标原点，双曲线C ：()22
22100x y a b a b
-=>>，的左、右焦点分别是12F F ，，离心率为
P 是C 的右支上异于顶点的一点，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足是M ，MO =，则点P 到C 的两条渐近线距离之积为（ ） A.
43
B.
23
C. 2
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】延长2MF ，交1PF 于点N ,由已知PM 是12F PF ∠的平分线，且2PM NF ⊥，所以得到等腰三角形，
所以2PN PF =,且点M 是2NF 中点，结合原点O 是12F F 中点，由中位线结合双曲线定义得到a =进而求出,b c ；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可.
【详解】如图，延长2MF ，交1PF 于点N ,由已知PM 是12F PF ∠的平分线，且2PM NF ⊥， 所以2PN PF =,且点M 是2NF 中点.
由原点O 是12F F 中点，可得112OM NF =()11
2PF PN =-()1
212
PF
PF =-a =，又MO =，
所以a =
c a =
，c =1b =. 设点(),P x y ，所以22
221x y a b
-=，即222222b x a y a b -=，
所以点P 到两条渐近线距离之积为：22222
b x a y
c - 2222
3
a b c ==.
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出MO a =是关键，这个具有一般性，
可以作为相应二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性222a b
c
.
第Ⅱ卷
注意事项：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔答题
2、本卷共11小题，共105分.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. i 是虚数单位，复数43i 34i
z -=
+，则z 的虚部为______
【答案】45
- 【解析】
【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得复数z 得代数形式，从而得到其虚部. 【详解】()()()()534i 534i 43i 534i 34i
34i 34i 34i 2555
z ---=
=
===-+++-. 所以复数z 的虚部为45
-
. 故答案为：45
-
. 11.
若6
x ⎛
+ ⎝
展开式中2x 的系数为160，则实数a 的值为__________.
【答案】2 【解析】
的的
【分析】法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值； 法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项x
看看怎样组合，能得到2x ，即可完
成等量关系的建立，从而完成参数的求解.
【详解】法一：6
x ⎛
+ ⎝
展开式第1r +项
4
666331666C C C r
r r
r r r r r r r
r T x x a x a x ----+⎛=== ⎝
4623
r -=时，3r =，3323246C 20T a x a x ==，320160a ∴=，2a ∴=. 故答案为：2.
法二：6
x ⎛+ ⎝
展开式中，要想凑出2x ，必须x
也取三次方，于是算下系数就有333
6
C 20160a a ⋅==，2a =. 故答案为：2.
12. 直线20mx y --=被圆()2
214x y ++=截得的弦长的最小值为______
【答案】【解析】
【分析】求得圆的圆心C 和半径，求得直线恒过的定点P ，可得经过点P 与线段CP 垂直的弦的长度最短，由勾股定理计算即可．
【详解】直线20mx y --=恒过定点(0,2)P -， 而圆22(1)4x y ++=的圆心为(0,1)C -，半径r 为2， 可得P 在圆C 内，经过点P 与线段CP 垂直的弦的长度最短，
此时弦长为==．
故答案为：
13. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球，若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在第一次抽
到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为______，第二次抽到3号球的概率为______ 【答案】 ①.
12
##0.5 ②.
1148
【解析】
【分析】根据题意，先求出在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率；记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =，记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =，第二次抽到3号球为事件B ，再利用全概率公式求解即可.
【详解】根据题意，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为2142
P ==. 记第一次抽到第i 号球的事件分别为()1,2,3i A i =， 则有()112P A =
，()()2314
P A P A ==， 记第二次在第i 号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3i B i =， 则()
1114P B A =
，()2214P B A =，()3316
P B A =， 记第二次抽到3号球为事件B ，
()()()()112233P B P A B P A B P A B ∴=++
()()()()()()111222333P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅
11111111
24444648
=⨯+⨯+⨯=. 所以第二次抽到3号球的概率为1148
. 故答案为：1
2；
1148
. 14. 平面四边形ABCD 中，π23
AB ABC AC AB =∠=
⊥，，，E 为BC 的中点，用AB 和AE
表示AC = ______；若2ED =，则AD AB ⋅
的最小值为______ 【答案】 ①. 2AE AB -
②. 2-
【解析】
【分析】由向量的加减法运算求解第一个空，利用平面向量定理结合数量积运算律求解第二个空.
【详解】因为2AE AB AC =+ ，故AC = 2AE AB -
；
π
2,3
AB ABC AC AB AEB =∠=⊥∴ ，，为等边三角形，
则()
AD AB AE ED AB AE AB ED AB ⋅=+⋅=⋅+⋅
122cos 602
ED AB =⨯⨯+⋅
， 若2ED =，则D 在以E 为圆心的圆上且在直线AC 的左侧部分运动，ED AB ⋅
方可取到最小，
22cos ,ED AB ED AB ⋅=⨯ ，易知,πED AB = 时ED AB ⋅
取得最小值4-， 故AD AB ⋅
的最小值为242-=-.
故答案为：2AE AB -
；2-.
15. 已知函数()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()3
e x
f x
g x x +=-，若函数
()()2024
23
20242x h x f x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为______
【答案】－1或1
2 【解析】
【分析】由已知可得函数()2024h x +有唯一零点，证明函数()2024h x +为偶函数，结合偶函数的性质，根据条件列方程求λ的值. 【详解】因为函数()()2024
23
20242x h x f x λλ-=---有唯一零点，
所以函数()()2
202432x h x f x λλ+=--有唯一零点，又()()f x f x -=，
()()()()2220243
2322024x
x
h x f x f x h x λλλλ-∴-+=---=--=+，
所以函数()2024h x +是偶函数，又函数()2024h x +有唯一零点， 则()2024h x +的零点为0，所以()2
1020f λλ--=，
因为()g x 是R 上的奇函数，所以()00g =， 由()()001f g +=，解得()01f =，
所以2210λλ+-=，解得1λ=-或1
2. 故答案为：1-或1
2.
【点睛】关键点睛：解题关键是证明函数()2024h x +是偶函数，结合有唯一零点确定()2024h x +的零点为0，由此列式运算得解.
三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，. （1）求a 的值： （2）求证：2A B =； （3）πcos 212B ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3 【解析】
【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解；
（2）由6cos a B =可得2cos a b B =，利用正弦定理结合0πA <<，得证；
（3）由（1）可求得cos ,sin B B ，根据二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再利用两角差的余弦公式求得结果；或由余弦定理求得cos ,sin A A ，结合2A B =，利用两角差的余弦公式运算得解. 【小问1详解】
由6cos a B =及余弦定理，得22262a c b a ac
+-=⋅，
因为31b c ==，，所以212a a ==，. 【小问2详解】
由6cos a B =及3b =，得2cos a b B =， 由正弦定理得sin 2sin cos sin 2A B B B ==， 因为0πA <<，所以2A B =或2πA B +=.
若2πA B +=，则B C =，与题设矛盾，因此2A B =.
【小问3详解】
由（Ⅰ）得cos 6a B =
==
，因为0πB <<，
所以sin B ===
所以21sin 22sin cos cos 22cos 13
B B B B B ==
=-=-， 所以ππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12666B B B B ⎛
⎫⎛⎫-
=-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1132⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
.
另解：因为2221cos ,sin 23b c a A A bc +-==-===
， 所以ππππcos 2cos 2cos cos sin sin 12666B B A A ⎛
⎫⎛⎫-
=-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1132⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭. 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，
2224AB CD CD AB PD AD AP =====∥，，E 是棱PC 上靠近P 端的三等分点，点F 是
棱PA 上一点.
（1）证明：//PA 平面BDE （2）求点F 到平面BDE 的距离；
（3）求平面BDE 与平面PBC 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析
（2
（3
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的一个法向量为m
，证明0PA m ⋅=
即可； （2）利用向量法求点到面的距离； （3）利用向量法求面面角. 【小问1详解】
因为CD ⊥平面PAD ，所以CD PD CD AD ⊥⊥，.
因为2PD AD AP ===，，所以PD AD ⊥.
故以点D 为坐标原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()2,0,02,2,00,4,00,0,2A B C P ，，，，440,
,33E ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
.
()442,2,00,,33DB DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，，设平面BDE 的一个法向量为(),,m x y z = ，
则00m DB m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22044
03
3x y y z +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，令1x =，得1y =-，1z =，则()1,1,1m =- . 又()2,0,2PA =- ，可得0PA m ⋅=
，
因为PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE . 【小问2详解】 因为//PA 平面BDE ，
所以点F 到平面BDE 的距离等于点A 到平面BDE 的距离.
()0,2,0AB = ，则点A 到平面BDE
的距离为m AB m ⋅==
【小问3详解】
()()2,2,00,4,2BC PC =-=- ，，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，
则00
n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即220420x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，1y =，2z =，则()1,1,2n = . 设平面BDE 与平面PBC 的夹角为α
，则cos cos ,m n
m n m n α⋅===
=
故平面BDE 与平面PBC
. 18. 已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合，抛物线的准线被C
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MA MB ⋅
为定值？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
2=12
x y +
（2）M 存在，其坐标为5,04⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，进而可得椭圆焦点坐标以及长半轴a 与短半轴b 之间的等量关系，则椭圆方程可求；
（2）分直线l 斜率为0和不为0两种情况讨论，通过联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理进行化简即可求得定值. 【小问1详解】
抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，由题意得2
2
221
1
1=12a b a b
-=+
，， 解得2
2
21a b ==，，所以椭圆C 的方程为2
2=12
x y +.
【小问2详解】
假设存在符合条件的点(),0M m ，设()()1122,,A x y B x y ，，
的
则()()1122,,MA x m y MB x m y =-=-
，
，()()()21212121212MA MB x m x m y y x x m x x m y y ⋅=--+=-+++
，
①当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，
由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩
，得()22
2210t y ty ++-=，则121222
2122t y y y y t t --+==++， 所以()()()22
12121212222
1112
t x x ty ty t y y t y y t -+=++=+++=+，()12122
422x x t y y t +=++=+ 因此()
2222
2241
2
m t m m MA MB t -+-+⋅=+ ，若对于任意的t 值，上式为定值，
则()22
24122m m m -+=-，解得54m =，此时，716MA MB ⋅=- 为定值.
②当直线l 斜率为0
时，(
)
2
2
5722416MA MB m
m m ⎛⎫
⋅=--=-=-=- ⎪⎝⎭
综合①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为5,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，
一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点． 19. 在正项等比数列{}n a 中，132420324a a a a +==，. （1）求{}n a 的通项公式：
（2）已知函数(
)1f x x =++，数列{}n b 满足：()111n n b b f b n *
+==∈N ，，.
（i
）求证：数列
为等差数列，并求{}n
b
的通项公式
的
（ii ）设n n n c a b =-，证明：1
1117142n k k
n c c +=+≤-∑，*n ∈N 【答案】19. 1
23
n n a -=⋅
20. （i ）证明见解析，()2
n b n n *
=∈N ；
（ii ）证明见解析 【解析】
【分析】（1）根据等比数列基本量运算求得1,a q ，求得结果； （2）（i ）由()1n n b f b +=
(
)1N
n *
=∈，得解；
（ii ）当1n =时，易判断结论成立，当2n ≥时，先证明()()2
12313
43212n n n n -⋅-+<⋅-+，借此将1k c 裂项，放缩证明
()2121311
223231k k k c k k -⎡⎤<⋅-⎢⎥⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦
，再根据裂项相消法求和得证. 【小问1详解】
因为正项等比数列{}n a 中，2
243324a a a ==，所以318a =. 又因为1320a a +=，所以12a =，进而公比3q =，所以1
23n n a -=⋅.
【小问2详解】
（i ）因为(
))
2
11f x x =++=，
所以
())
2
11n n b f b +==
+
()1N n *
-=∈，
所以数列
1=为首项，公差为1的等差数列
.
n =，即()2
N n b n n *
=∈.
（ii ）1
223n n n n c a b n -=-=⋅-.
当1n =时，左式121132c c =
+=，右式2713422
c =-=，左式＝右式. 当2n ≥时，
()()()2
12212231112323231k k k k k k c k k k --⋅-+==⋅-⎡⎤
⋅-⋅⋅-+⎣⎦
()()()2
211223111
432123231k k k k k k k k --⎡⎤⋅-+=⋅-⎢⎥⋅-+⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦
下面先证明()()21231343212
n n n n -⋅-+<⋅-+， ()()()()
22113123212312243214321n n n n n n n n n n --⎛⎫⋅-+--- ⎪⋅-+⎝
⎭=⋅-+⋅-+， 令()14321n n A n -⋅-=+，*N n ∈，
()()()()122114321432124312310n n n n n n A A n n ------=⨯-+-⨯+-=⨯->-≥，
1n n A A -∴>，*N n ∈，又11A =，
0n A ∴>，即()143210n n -⋅-+>，又221130224
n n n ⎛⎫--=--> ⎪⎝⎭， 所以()()()()2211312321231322432143212n n n n n n n n n n --⎛⎫⋅-
+--- ⎪⋅-+⎝⎭=<⋅-+⋅-+. ()()()22112231111432123231k k k k k k c k k k --⎡⎤⋅-+∴=⋅-⎢⎥⋅-+⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦ ()212311223231k k k k -⎡⎤<-⎢⎥⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦. 所以()212221211311111223223323231n
n n k k c n n -=⎡⎤<+-++-⎢⎥⋅-⋅-⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦∑ ()2121
3117311223242231n n c n +⎡⎤=+-=-⋅⎢⎥⋅-⋅-+⎢⎥⎣⎦. 即111
17142n k k n c c +=+≤-∑. 综上：当N n *∈时，111
17142n k k n c c +=+≤-∑ . 【点睛】关键点睛：本题第二问的（ii ）问，关键是先证明()()21231343212
n n n n -⋅-+<⋅-+，借此将1k c 放大成一个能用裂项求和的形式得证.
20. 已知2a -，a 为函数()()
2e x f x x mx n =++的极值点，直线l 过点
()()()()2,2,A a f a B a f a --，，R a ∈
（1）求()f x 的解析式及单调区间：
（2）证明：直线l 与曲线()y f x =交于另一点C ：
（3）若1AB
n n n BC *<<+∈N ，，求n .（参考数据：ln 20.693=⋯，ln 5 1.609=⋅⋅⋅）
【答案】（1）()()222e x f x x ax a =-+，()f x 在(),2a ∞--，(),a ∞+单调递增，在()2,a a -单调递减
（2）证明见解析
（3）4 【解析】
【分析】（1）根据极值点是导数对应方程的根列式求出,m n ，判断导数正负求出单调区间； （2）求出直线AB 的方程，与()y f x =联立，可得关于x 的方程，解方程即可得证； （3）由（2）得()020e
2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-，由AB t BC =，可得02x a t =-，代入可得2ln 20t t
+-=.设()2ln 2h x x x =+-，利用导数可得t 的取值范围，进而求得n 的值. 【小问1详解】
因为()()()
22e x f x x m x m n =++++'， 依题意有,2a a -是方程()2
20x m x m n ++++=的两根， 则()()2222m a m n a a -+=-+=-，，
解得22m a n a =-=，，所以()()222e x f x x ax a =-+.
当(),2x a ∞∈--与(),a ∞+时，()0f x '>；当()2,x a a ∈-时，()0f x '<；
所以()f x 在(),2a ∞--，(),a ∞+单调递增，在()2,a a -单调递减.
【小问2详解】
直线AB 的方程为()()()
()()22f a f a y f a x a a a ---=---，即()22e a y x a -=--.
由()()()
22e 2e x a y f x x a y x a -⎧==-⎪⎨=--⎪⎩，得()()2e 2e 0x a x a x a -⎡⎤--+=⎣⎦，①，显然x a =和2=-x a 为方程的①解.
设()()2e 2e x a g x x a -=-+，则()()1e x
g x x a =-+'，令()0g x '=得1x a =-， 当(),1x a ∞∈--时，()0g x '<；当()1x a ∞∈-+，
时，()0g x '>， 所以()g x 在(),1a ∞--单调递减，在()1,a ∞-+单调递增.
因为()()212e e 0a g a --=-<，()22e 0a g a -=>，()20g a -=,
所以()g x 有且仅有2个零点02a x -，，其中()01,x a a ∈-，
即直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ，且C 的横坐标为0x .
【小问3详解】
由（2）得()020e
2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-， 设AB t BC =，则()
022a a t a x a x --==--，所以02x a t =-，代入可得2ln 20t t +-=. 设()2ln 2h x x x =+-，则()22x h x x
='-，令()0h x '=得2x =. 当()1,2x ∈时，()0h x '<；当()2,x ∞∈+时，()0h x '>.
所以()h x 在()1,2单调递减，在()2,∞+单调递增.
因为()10h =，()342ln 220.7 1.502h =-<⨯-<，()85ln 5 1.6 1.605
h =->-=， 所以存在唯一的()4,5t ∈，使得()0h t =.
所以2ln 20t t +-=，此时()()02
22002e 2e e 2e a x a a t g x x a t
---=-+=-+ ln 22222e e 2e e 20a t a t t t ---⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因此，45AB
BC <<，所以4n =.
【点睛】思路点睛：第三问，根据（2）可得()020e 2e x a a x --=，即()()00ln ln 22a x a x ---=-，设
AB
t BC =，根据,,A B C 在直线l 上，横坐标分别为02,,a a x -，可得()
00
22a a t a x a x --==--，解得02x a t =-，代入可得2ln 20t t +-=.令()2ln 2h x x x =+-，求导判断单调性，求出t 的范围，即45AB
BC <<，求得n .。