第三章 Z变换

序列的傅里叶变换的对称性质1对称性1序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量即2对称性2序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量即3对称性3序列的共轭对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的实部即jwjwjwjwjwjw4对称性4序列的共轭反对称分量的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的虚部和j的乘积即5对称性5当是实序列时其傅里叶变换满足共轭对称性即jwjwjwjwrejwjwimjwjw线性移不变系统hn为单位抽样响应hz称作线性移不变系统的系统函数而且在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应
*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。
X(z)
z
A1 A2
z (4z)(z1) 4z z1
4
4
A1
[( 4 z )
X
( z
z)
]z
4
4 4 1
16 15
4
1
A2
[( z 1 ) 4
X (z)
z
]z 1 4
4 4 1
1 15
4
X ( z ) 16 / 15 1 / 15
Z[(n)] (n)ZnZ01 n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z ,充满整个Z平面。
例: 求序列 x(n)anu(n) 的Z变换及收敛域。
解： X(z) anu(n)zn anzn (az1)n
n
n0
n0
1az1(az1)2 (az1)n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。
x(z)
z zzi, k1,2
r
分别求出各部分分式的z反变换（可查 P43 表3-1），然后相加即得X(z)的z反变换。
例: 利用部分分式法，求 X (z) 1(1 2 z 1)(1 0 .5 z 1),z 2
的z反变换。
解：
X(z)(12z1)1(10.5z1)
z2
(z2)(z0.5)
X(z)
如果 Z[x(n)]X(z),RxzRx 则有： Z[y(n)]Y(z),RyzRy
Z[a(x n)b(y n)]a(X z)b(Y z), maRxx ,R (y)zmiRxn ,R (y)
*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
例: 已知 x(n)co0sn)u ((n),求其z变换。
q az1,
S
a1 1q
1 1a
z1
z。 z a
z a为极点，在z圆 a外，
X(z)为解析函数，故收敛。
收敛域：z a
j Im[z] 0a
Re[z]
z
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
例: 求序列 x(n)bnu(n1) 变换及收敛域。
1
x(n) bnu(n1)zn bnzn bnzn
因此，当n0时， zn 1/ zn,只要z0，则zn 0 同样，当n0时， zn zn ,只要z，则zn 当n10,n20,则0zn
在n1n2的特殊选择下，收敛域扩大
n10收敛域0 z ， n20收敛域0 z＜
（3）. 右边序列
x(n)
x(n), x(n)0,
nn1 nn1
.. n1 0 1
...
n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;
Rx-为最小收敛半径。
Z4 Z4
-
—116
Z
5
—116 Z 5
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
z
4z z 1
4
X ( z ) 16 15
z 1 4 z 15
z z 1
4
1 15
( 16 z 4 z
z
z
1
)
4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
) 4-Z 16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z3 - —14 Z 4
—14 —14
—215—6 Z-3
...
得 X ( z ) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4 z 15 64 16 4
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：
x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
3.2 Z变换的基本性质和定理
1.线性
1 因此
4 z)(z
1)]
4 z
1 4
( 1 )n1 4
4
1
1 4n , n 15
1
4
2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
x(n) Res[zn1 /(4z)(z 14)]z4
解：
cos(0n)u(n)
1 [e j0n e j0n ]u(n) 2
Z[anu(n)]
1 1 az1
,
z
a
Z[e
u j0n (n)]
1
1 e j0
z
1
,
z
e j0
1
Z[e
j u0n (n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
因此，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
由留数定理可知：
1
2j
X(z)zn1dz
c k
Res[X(z)zn1]zzk
1
2j
X(z)zn1dz
c
Res[X(z)zn1]zzm
m
z k 为c内的第k个极点，z m 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。
留数的求法：
1、当Zr为一阶极点时的留数：
R s [ X ( z e ) z n 1 ] Z Z r [z ( z r ) X ( z ) z n 1 ] z z r
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即：x(n)zn M n
三.不同形式序列的收敛域 (1).预备知识
阿贝尔定理:
如果级数 x(n) z n ，在 zz(0) n0
收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
j Im[z]
Re[z]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X(z)
z2
,1z 4
(4z)(z1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[z]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n), x(n) 0,
n1 nn2 其他 n
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
考虑 x(n)到 是有界的 zn， ， 必 n1n 有 n2;
(4)n1
4
1
1 15
4n2,
n
2
4
因此x(n)
1154n, 1154n2,
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符Biblioteka 有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。
有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。
部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
n
n1
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为 0 z Rx ;
R
x
为最大收敛半径
.
故收敛域 0为 z Rx
j Im[z]
Re[z]
z Rx
(5)双边序列
x（n）
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序
列，即左边序列和右边序列之和。
1
n
a
a
Rx
z a
Rx;即
a Rx
z
a Rx
4. 序列的线性加权(Z域求导数)
如果 Z [x(n ) ]X (z),R xzR x，则
第三章 Z变换
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
Res[X(z)zn1]zzr
(l
1 dl1 1)!dzl1
[(zzr)l
X(z)zn1]zzr
例: 已知
z2
X(z)
,
(4z)(z1)
1z4，求z反变换。 4
4
解:
X(z)zn1
zn1
(4z)(z1)
4
1）当n≥-1时,z n1 不会构成极点，所以这时
C内只有一个一阶极点 z r x(n) Re s[zn1 /(4
z
1
2. 序列的移位
如果 Z [x(n ) ]X (z),R xzR x则有：
Z [ x ( n m ) ] z m X ( z );R x z R x
例: 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
Z[u(n)] z , z 1 z 1
Z[u(n 3)] z3 z z2 , z 1 z 1 z 1
a
axb
的和，使各分式具有 ( x A ) k 或 (x2 AxB)k
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分
式的“部分分式”。
通常，X(z)可 表成有理分式形式：
M
X (z)
B(z) A(z)
bi zi
i0
N
1 ai zi
i1
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
2j
X(z)zn1dz,
c
c(Rx,Rx)
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
j Im[z]
R x
0
Re[z]
R x
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
z
A1 A2
z (z2)(z0.5) z2 z0.5
A1
[( z 2)
X (z)
z
]z2
4 3
X (z)
1
A2 [( z 0.5) z ] z 0.5 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2, 得
x(n)
4 3
2n
1 3
(0.5)n ,
n
0
0
,n 0
X(z) 10.5z1 13z11z2 48
z 1 2
3.幂级数展开法(长除法)
因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X(z) x(n)znx(2)z2x(1)z n
x(0)z0x(1)z1x(2)z2
所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数 就是序列x(n)。
n
n
n1
b1z(b1z)2 (b1z)n
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(
z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[z]
b
*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
3.1.2 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
j Im[z]
收敛域
Re[z]
R x
因果序列（一定条件下的右边序列）
x(n), n0 x(n)0, n0
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为： Rx z
(4)左边序列
x(n)
x(n), x(n)0,
nn2 nn2
0 nn 2
n2
X(z) x(n)zn n
0
n2
x(n)zn x(n)zn
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
3.1 Z变换
3.1.1 Z变换的定义及其收敛域
一.Z变换定义及推导：
xs(t)x(t)T(t)
xs(t)x(nT)(tnT) n
二.收敛域
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域.
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx 第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx 当Rx-<Rx+时，其收敛域为 Rx z Rx
j Im[z]
Re[z]
R x R x
例：求序列 x(n)(n)的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1n2 0时的有限长序列，
X (z)M n 0 N B nz n N k 1 r1 A zk kz 1 kr 1(1 C zik z 1)k
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，
Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck
分别为：
Ak
X(z) Res[(zzk) z ]zzk
Ck
(r1k)!ddzrrkk [(zzi)r
Z[x(n)]
z z 1
z2 z 1
z2
z
z
2
1,
z
1
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [x(n ) ]X (z),R xzR x，则
Z [a n x (n ) ]X (z); a