【最新】北京师大附中年下册高一年级期中考试数学试卷及答案

北京师大附中2019-2020学年下学期高一年级期中考试数学试卷
试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（必修模块5） 满分100分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，23=a ，则=b （ ） A. 2
3 B. 3 C. 32 D. 3
4 2. 已知公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=5a （ ） A. 1
B. 2
C. 4
D. 8 3. 不等式1
21+-x x 0≤的解集为（ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1,21 C. ),1[21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-Y D. ),1[21,+∞⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∞-Y 4. 不等式0)12)(2(2>--+x x x 的解集为（ ）
A. )4,2()3,(---∞Y
B. ),4()2,3(+∞--Y
C. ),3()2,4(+∞--Y
D. )3,2()4,(---∞Y
5. 已知b a b a ,,0,0>>的等比中项是1，且b
a n a
b m 1,1+=+=，则n m +的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列}1{
1
+n n a a 的前100项和为（ ） A. 100
101 B.
10099 C. 101
99 D. 101100 7. 在△ABC 中，若C c B b A a sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 正三角形 8. 若数列}{n a 满足121,211+-
==+n n a a a ，则2013a ＝（ ） A.
31 B. 2 C. 21- D. －3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9. 在△ABC 中，若B C A b a 2,3,1=+==，则C sin ＝__________。

10. 等比数列}{n a 中，40,204321=+=+a a a a ，则65a a +等于__________。

11. 等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足31105=S S ，则20
5S S ＝__________。

12. 已知b a >，且1=ab ，则b
a b a -+2
2的最小值是__________。

三、解答题：本大题共3小题，共40分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13. 解关于x 的不等式0)1(2<---a x a x 。

14. 在锐角△ABC 中，c b a ,,分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足0sin 23=-A b a 。

（1）求角B 的大小；
（2）若7,5==+b c a ，求△ABC 的面积。

15. 已知数列}{n a 的前n 项和)(*2N n n S n ∈=，}{n b 为等比数列，且3213,b a b =＝4b 。

（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T 。

第Ⅱ卷（学期综合）满分50分
一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

1. 在△ABC 中，若2
222c b a =+，则cosC 的最小值为__________。

2. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为10，则输出s 的值为__________。

3. 执行下面的程序框图，若输出S 的值为0，则判断框内>为i __________。

4. 定义：)0,0(),(>>=y x y y x F x ，已知数列}{n a 满足：)()
,2()2,(*N n n F n F a n ∈=
，若对任意正整数n ，都有)(*N k a a k n ∈≥成立，则k a 的值为__________。

5. 已知函数)(1
11)(2R a x ax x x f ∈+++=，若对于任意的*N x ∈，3)(≥x f 恒成立，则a 的最小值等于__________。

二、解答题：本大题共2小题，共25分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6. 设函数1)x(x f(x)≥=，函数10(4
21)(2+≤<+-=
a x x x x g ，其中常数0>a ）。

令)(x h 为函数g(x ))(与x f 的积函数。

（1）求函数)(x h 的表达式，并求出其定义域； （2）当)(x h 的值域为]2
1
,31[时，求实数a 的取值范围。

7. 已知数列}{n a 的通项)(*N n n a n ∈=。

一计算装置有一数据入口A 和运算结果的出口B ，将数列}{n a 中的各数依次输入A 口，从B 口得到数列}{n b 。

结果表明：①从A 口输入11=a 时，从B 口得到3
11=
b ，②当2≥n 时，从A 口输入n a n =时，从B 口得到的结果n b 是将前一结果1-n b 先乘以数列}{n a 中的第1-n 个奇数，再除以数列}{n a 中的第1+n 个奇数。

（1）从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？
（2）求从B 口得到的数列}{n b 的通项公式。

（3）为了满足计算需要，工程师对装置进行了改造，使B 口出来的数据n b 依次进入C 口进行调整，结果为一数列}{n c ，其中n
n b q pn c )(1+=。

问非零常数p 、q 满足什么关系时，才能使C 口所得的数列}{n c 为等差数列？
【试题答案】
第Ⅰ卷（必修模块5）
一、选择题
1—4 CAAB 5—8 BDCB
二、填空题
9. 1 10. 80 11. 101 12. 22
三、解答题
13. 当1-=a 时，不等式解集为空集；当1->a 时，不等式解集为}1|{a x x <<-； 当1-<a 时，不等式解集为}1|{-<<x a x 。

14. （1）3
π
=B 。

（2）233=
∆ABC S 。

15. （1）由已知2n S n =，得111==S a 当2≥a 时，12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n ，所以)(12*N n n a n ∈-= 由已知321==a b ，设等比数列}{n b 的公比为q ，
由432b b =得33
4=b b ，即3=q ，故n n b 3=。

（2）n n n T 3)12(35333132⋅-++⨯+⨯+⨯=Λ
14323)12(3533313+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T Λ
两式相减得1323)12(323232312+--⨯++⨯+⨯+⨯=-n n n n T Λ
1323)12()333(23+--+++⨯+=n n n Λ
1323)12()333(23+--+++⨯+=n n n Λ
11
2
3)12(3
131323+-----⨯⨯+=n n n 63)22(1--=+n n 所以33)1(1+⋅-=+n n n T
第Ⅱ卷（学期综合）
一、填空题 1. 2
1 2. 16 3. 4 4. 98 5. 38- 二、解答题
6. （1）]1,1[,4
2)(2+∈+-=a x x x x x h ； （2）24142)(2-+=+-==x
x x x x x h y 由44≥+x x ，当且仅当2=x 时等号成立，得24-+x x 的最小值为2，所以21max =y ，
当1=x 时，3
1=y ，因为)(x h 在]2,1[∈x 上递增，在),2(+∞上递减， 所以：⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+++≥+3214121a a a 解之得：31≤≤a ，所以91≤≤a 7. （1）35
1751,15153132=⨯==⨯=b b （2）由题意111
232,31-+-==n n b n n b b ，叠乘法得)12)(12(1+-=n n b n （3）q p 2±=。