立体几何综合大题20道理

立体几何综合大题（理科）40道及答案

1、四棱锥中,⊥底面,,,

.

(Ⅰ)求证:⊥平面；

(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即B C D ∆为等腰三角形，

又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线

AC PA ,都垂直，

故⊥平面。

(Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠∙∙=

∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233

1

31=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P .

由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1

,

故：4

1

32813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F

4

7

412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V

2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，

90APD ︒∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2A B A D ==，,E F 分别为PC 和BD

的中点．

P ABCD -PA

ABCD PA =2BC CD ==3

ACB ACD π

∠=∠

=

BD PAC PC F 7PF FC =P BDF -BD PAC

（Ⅰ）证明：EF

平面PAD ；

（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF

AP

∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面

ABCD AD

=， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD

又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高． 由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积12

33

V PO AB AD =⋅⋅=

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥，

DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，45DAC ∠=

，AC =

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；

（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面 PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面

∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ∆的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面 ∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ∆∆+=222

3

22122221=⨯⨯+⨯⨯=

． 的中点，为线段点PC E

11112

2232323

E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=．

考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.

4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，

，为的中点．

P ABCD -ABCD 2PA PD AD ===60BAD ︒∠=Q AD

(1) 求证：AD PQB

⊥平面；

(2) 若平面平面ABCD,且M为PC的中点，求四棱锥M ABCD

-的体积．

【答案】

（1）PA PD

=，Q为中点，AD PQ

∴⊥

连DB，在ADB

∆中，AD AB

=，，

ABD

∴∆为等边三角形，为的中点，

AD BQ

∴⊥,

PQ BQ Q

⋂=,PQ⊂平面PQB,BQ⊂平面PQB ,

∴AD⊥平面PQB.

（2）连接QC,作MH QC

⊥于H.

PQ AD

⊥,PQ⊂平面PAD,

平面PAD⋂平面ABCD AD

=,

平面平面ABCD，

PQ ABCD

∴⊥平面 ,

QC⊂ABCD

平面

,

PAD⊥

60

BAD︒

∠=

Q

AD

PAD⊥