近世代数(2)-

子群 子集是子群三个充分必要条件. 重点 子集是子群三个充分必要条件
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的子集H如果在 的乘法之下也成为一个群, 定义 群G的子集 如果在 的乘法之下也成为一个群 的子集 如果在G的乘法之下也成为一个群 称为G的子群 记为H≤ 则H称为 的子群 记为 ≤G. 称为 的子群,记为 偶数加群是整数加群的子群.对称群 对称群S 例 偶数加群是整数加群的子群 对称群 3≤ S4. 定理2.7.1 设H是群 的非空子集 则H是子群当且仅当 是群G的非空子集 定理 是群 的非空子集,则 是子群当且仅当 (1)a,b∈H⇒ab ∈H (2)a∈H⇒a-1 ∈ ⇒ ∈ ⇒ 定理2.7.2 设H是群 的非空子集,则H是子群当且仅当 定理 是群G的非空子集 则 是子群当且仅当 是群 的非空子集 a,b∈H⇒a-1b ∈H. ∈ ⇒ 定理2.7.3 设H是群 的有限非空子集 则H是子群当且 是群G的有限非空子集 定理 是群 的有限非空子集,则 是子群当且 仅当a,b∈ ⇒ 仅当 ∈H⇒ab ∈H. 必要性显然,下证充分性 因为这时H满足条件 下证充分性.因为这时 证 必要性显然 下证充分性 因为这时 满足条件 (1)(2)(3’),由定理 由定理2.3.1是子群 是子群. 由定理 是子群
群同态
两个群之间影射ϕ 定义 两个群之间影射ϕ:G → H使ϕ(ab) 使 = ϕ(a) ϕ(b)则称ϕ为群同态 则称ϕ 则称 为群同态. 定理2.4.1 若ϕ:G →H是两个乘法代数系统的同 定理 是两个乘法代数系统的同 是群则H也是群 因此ϕ 态,如G是群则 也是群 因此ϕ是群同态 如 是群则 也是群,因此 是群同态. 由群的定义立得. 证 由群的定义立得 定理2.4.2 若ϕ:G → H是群同态 则e是G的单位 是群同态,则 是 的单位 定理 是群同态 元时ϕ 是 的单位元 的单位元,且 元时ϕ(e)是H的单位元 且 ϕ(a) -1=ϕ(a -1). ϕ 是整数加群,Zn是整数模 剩余类加群,则 例 Z是整数加群 是整数模 剩余类加群 则 是整数加群 是整数模n剩余类加群 是加群同态Z~Zn. ϕ:a → [a]是加群同态 是加群同态
置换群
本节重点 置换的乘法运算
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n个文字置换的两种表法 个文字置换的两种表法: 个文字置换的两种表法 表法1 表法 1 2 3 4 5 1 2 π= 2 1 4 5 3 σ= 4 3 表法2 π=(12)(345), σ=(1423) 表法
3 4 5 1 2 5
变换群
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可自然地定义变换的乘法， 本节重点 可自然地定义变换的乘法，且这种 乘法满足结合律，由此定义变换群. 乘法满足结合律，由此定义变换群 是集合S上的两个变换 定义 设σ,τ:S→S是集合 上的两个变换 定义 τ → 是集合 上的两个变换,定义 στ(a)=σ(τ(a)),a∈S,则στ还是 上的变换 若µ也 还是S上的变换 στ στ ∈ 则στ还是 上的变换.若 上的变换,则 στ στ)µ τµ).恒等变换记为 是S上的变换 则(στ µ= σ(τµ 恒等变换记为ε: 上的变换 τµ 恒等变换记为ε ε(a)=a. 定理2.5.1 设G是集合 上若干变换作成的集合 是集合S上若干变换作成的集合 定理 是集合 上若干变换作成的集合, 且恒等变换ε∈ ε∈G,若 对变换的乘法成为一个群 对变换的乘法成为一个群, 且恒等变换ε∈ 若G对变换的乘法成为一个群 每元都是S上的一一变换 则G每元都是 上的一一变换 称G为S上的变换 每元都是 上的一一变换.称 为 上的变换 是有限集,G也称 上的置换群. 群.若S是有限集 也称 上的置换群 若 是有限集 也称S上的置换群 欧氏空间的平移群与旋转群. 例 欧氏空间的平移群与旋转群
消去律、 消去律、有限群另一定义
定理2.2.1每个群仅有一个单位元 每个群仅有一个单位元. 定理 每个群仅有一个单位元 都是单位元,则 证 若e,e’都是单位元 则e’=e’e=e. 都是单位元 定理2.2.2群中每个元仅有一个逆元 群中每个元仅有一个逆元. 定理 群中每个元仅有一个逆元 定理2.2.3每个群满足左、右消去律 每个群满足左、 定理 每个群满足左 右消去律: (3’)若ax=ay,则x=y；若xa=ya则x=y. 若 则 ； 则 有限群另一定义(定理 定理2.3.1) 非空有限集若满足 有限群另一定义 定理 条件(1)(2)(3’)则G上一个群 上一个群. 条件 则 上一个群 由 证 记G={a1,a2,…an},由(3’) G={a1a,a2a,…a n a}, 也有a 故a=aia,同样 a=aai, ai=e.也有 ja=e, aj=a-1. 同样 也有
置换群（例题） 置换群（例题）
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例1 σ= 1 2 3 4 5 6
2 1 3 5 6 4
τ= 1 2 3 4 5 6
5 6 3 1 4 2
Biblioteka Baidu• •
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στ=(16)(25), τσ τσ=(16)(24) σ=(12)(456), τ= (154)(26), στ σ-1 τ=(12)(465)(154)(26)=(16425) 证明S 例2 证明 n的每个元都可以表为若干个形如 (12),(13),(14),…(1n)的2-循环之积 循环之积. 的 循环之积 看任一个循环(i 证 看任一个循环 1i2…it),若1∉{i1,i2, …,it},则 若 ∉ 则 (i1i2…it)=(1i1)(1i2)…(1it) (1i1),若1∈{i1,i2, …,it},则(1 若 ∈ 则 i2…it)=(1i2)…(1it). 例3 (1234)(56)=(12)(13)(14)(15)(16)(15) (123)(456)=(12)(13)(14)(15)(16)(14)=(12)(13)(45)(46)
子群与陪集(续 子群与陪集 续)
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由引理G分解为互不相交的左陪集的并 分解为互不相交的左陪集的并集 证 由引理 分解为互不相交的左陪集的并集 G=a1H+…+asH(加号代表并集符号 这一等式 加号代表并集符号),这一等式 加号代表并集符号 称为左陪集分解.容易证明每 容易证明每a 称为左陪集分解 容易证明每 iH=Hai－1,因此 因此 G=Ha1－1+…+Has－1.于是 共含 个左陪集，同 于是G共含 个左陪集， 共含s个左陪集 也共含s个右陪集 时G也共含 个右陪集，因此 ：H│=s. 也共含 个右陪集，因此│G： 定理2.9.2(Lagrange)如果 是有限群，H≤G则 如果G是有限群 定理 如果 是有限群， 则 │G│=│G:H│·│H│，特别地 ，特别地│H││G│. 中的左陪集分解G=a1H+…+asH得 证 由H在G中的左陪集分解 在 中的左陪集分解 得 │G│=s·│H│=│G:H│·│H│
子群(续 子群 续) 生成元集
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是一个群,S⊆ 记 的全体包含 的全体包含S的 定义 设G是一个群 ⊆G.记G的全体包含 的 是一个群 子群的交为(S),称为 生成的子群.特别地 称为S生成的子群 特别地,若 子群的交为 称为 生成的子群 特别地 若 (S)=G,则称 是G的生成元集 循环群是由一个 则称S是 的生成元集 的生成元集.循环群是由一个 则称 元素生成的群. 元素生成的群 例 S4=((123),(1234)) 证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14), (1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324), (1324)-1(14)(1324)=(13), 故((123),(1234))=((12),(13),(14))= S4.
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子群的陪集
重点 陪集分解
•定义 设H是G的子群，a∈G，把子集aH= {ah│h∈H} 称为H在G中的左陪集，注意a∈aH， 同样把Ha= ah│h∈H 称为右陪集. 引理 设H≤G，a，b∈G若aH∩bH≠φ则aH=bH. 证 若x∈aH∩bH则x=ah1=bh2，h1，h2∈H，于是 a=bh2h1－1∈bH，aH bH.同样bH aH，因此aH=bH. 定理2.9.1 设H≤G，则H在G中左陪集个数等于右 陪集个数。记这种共同的个数为│G：H│，称为 子群H在G中的指数.
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循环群 循环群是由一个元素生成的最简单的群. 要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群 • 定义 群G如果仅含某一个元 的方幂 则G称为 如果仅含某一个元a的方幂 如果仅含某一个元 的方幂,则 称为 生成的循环群,记为 的阶也称为a的 由a生成的循环群 记为 生成的循环群 记为G=(a),G的阶也称为 的 的阶也称为 阶. • 例1. 整数加群 是一个无限循环群 生成元为 整数加群Z是一个无限循环群 生成元为1. 是一个无限循环群,生成元为 • 2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元 .整数模 剩余类加群Z 也是循环群,生成元 整数模n剩余类加群 阶为n. 是[1],阶为 阶为 • 定理 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于 整数模n剩余类加群 剩余类加群. 整数模 剩余类加群 • 证 设G=(a).作影射ϕ:Z→G使i → ai .若 |a|无限 作影射ϕ → 使 若 无限, 作影射 无限 是群同构Z≅ 若 则ϕ是群同构 ≅G.若|a|=n,则ϕ(kn)=1, ϕ是群同 则 构Zn ≅G.
•定理 定理2.5.3(Cayley) 每个群都同构于一个变换群 每个群都同构于一个变换群. 定理
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证 设G是一个群 对每x∈G定义一个右乘变换 是一个群,对每 ∈ 定义一个右乘变换 是一个群 对每 τx:G→G使g →gx,则τx(g1)= τx(g2),当且仅当 → 使 则 当且仅当 g1x=g2x,当且仅当 1=g2 (右消去律 故τx是一一 当且仅当g 右消去律),故 当且仅当 右消去律 变换.记 是一个变换群,ϕ 变换 记G*={τx| x∈G},则G*是一个变换群 ϕ:G τ ∈ 则 是一个变换群 是群同构G≅ →G* 使ϕ(x)= τx是群同构 ≅G*.(ϕ是一一 ϕ是一一) 定理说明变换群与置换群的重要性. 注.Cayley定理说明变换群与置换群的重要性 定理说明变换群与置换群的重要性
近世代数
辅导课程四
主讲教师： 主讲教师：张广祥
内容简立
群的定义与性质 子群与商群
子群、陪集、子群的指数、不变子群、商群 子群、陪集、子群的指数、不变子群、
同态与不变子群
同态与商群、 同态与商群、同态基本定理
特殊的群
循环群、变换群、置换群、 循环群、变换群、置换群、置换的运算
群的定义
定义1.非空集上有一个代数运算 乘法 定义 非空集上有一个代数运算(乘法 且满足 非空集上有一个代数运算 乘法)且满足 (1)每a、b∈G, ab ∈ G (封闭律 封闭律) 每 、 ∈ 封闭律 (2) (ab)c=a(bc) (结合律 结合律) 结合律 (3)存在单位元 使ea=ae=a,且对每 有a-1使a-1a= 存在单位元e使 且对每a有 存在单位元 且对每 a-1a=e,则G称为群 称为群. 则 称为群 群的阶|G|,无限群 有限群,交换群 无限群,有限群 交换群,非交换群 群的阶 无限群 有限群 交换群 非交换群 整数加群(Z,+) 例 (1) 整数加群 的根组成一个 阶乘群. (2)方程 x n -1=0 的根组成一个n阶乘群 方程 阶乘群
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 πσ= πσ 2 1 4 5 3 4 3 1 2 5= 3 4 2 5 1
πσ=(12)(345)(1423)=(13245) πσ
置换群（ 置换群（续）
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表法2要点 注.表法 要点 σ=(i1i2…is)(j1j2… jt) …,不同括号 表法 要点:σ 不同括号 内可由文字不相交,每个括号称为一个循环 每个括号称为一个循环,长 内可由文字不相交 每个括号称为一个循环 长 的循环略去不写,恒等置换记为 为1的循环略去不写 恒等置换记为 的循环略去不写 恒等置换记为1. 次对称群S 阶为n!. 例 n次对称群 n,阶为 次对称群 阶为 S4={1,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34), (13)(24),(14)(23),(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432)} 定理2.6.2 每个 元置换都能表为文字不相交的 每个n元置换都能表为文字不相交的 定理 循环之积. 循环之积