2022-2023学年新人教版八年级下数学月考试卷(含解析)

2022-2023学年初中八年级下数学月考试卷
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________
考试总分：125 分 考试时间： 120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1. 判断下列二次根式中，最简二次根式的个数有( )①； ②；③； ④；⑤．A.个
B.个
C.个
D.个
2. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
3. 下列说法正确的有( )①对顶角相等；②③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
④的算术平方根为A.个
B.个
C.个
D.个
4. 如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，再以数轴上表示的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是( )
13−−√ab −−√2c 2−−−√y x
−−√27a −−−√1234ABCD AB =BC CD =DA
AB //CD ∠A =∠C
AB //CD AD =BC
∠A =∠B ∠C =∠D
=3;
9–√3−52−5.
12341A A
A.
B.C. D.
5. 如图，在▱中，，，点是边上的中点，将沿翻折得，连结，，，在同一直线上，则点到的距离的长为( )
A.B.C.D.
6. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A.B.C.D.
−2–√−1
2–√−12
1−2
–√ABCD BC =3CD =4E CD △BCE BE △BGE AE A G E G AB GF 315−−√4
315−−√8
315−−√16
315−−√2
1AC =12BC =7122100
144
148
196
7. 已知的两边的长分别为，，则的周长不可能是（ ）
A.B.C.D.
8. 已知，，则代数式的值为( )
A.B.C.D.
9. 已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( )
A.B.C.D.
10. 如图，，是菱形的对角线，，分别是边，的中点，连接，，，
则下列结论错误的是( )
A.B.C.四边形是菱形
D.四边形是菱形
11. 中，，是边上的动点，过点作于点，于，则的长是 （ ）
△ABC 25–√55–√△ABC 105
–√115
–√125
–√135
–√a =2+3–√b =2−3–√b −a a 2b 26
4
43
–√23
–√6
8
10
12
AC BD ABCD E F AB AD EF EO FO EF =DO
EF ⊥AO
EOFA EBOF △ABC AB =AC,BC =8P BC P PD ⊥AB D PE ⊥AC E PD +PE
A.B.或C.D.
12. 在矩形纸片中，＝，＝，现将纸片折叠压平，使与重合，如果设折痕为
，那么重叠部分的面积等于（ ）
A.B.C.D.卷II （非选择题）
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
13. 关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为_________．
14. 已知 ，则________．
15. 直角三角形的两条直角边长为，，那么斜边上的中线长是________.
16. 如图，在四边形中， ，则
________．
4.8
4.8 3.8
3.8
5
ABCD AB 2cm BC 4cm A C EF AEF 1
1.5
2
2.5
x −4x +m −1=0x 2m y =−+4x −1−−−−−√1−x −−−−−√=y x 2−−−√6cm 8cm ABCD ∠B =∠D =，AB =3，BC =2，tan A =90∘43CD =ABCD ∠B =90∘AB =3BC =6BC AE ⊥DE
17. 如图，在四边形中，，，，点在上，，且，若
，则________．
18. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，设＝，＝
，则的长为________．
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）
19. 计算：
；． 20. 已知到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们引入了如下新的定义：到
三角形的两个顶点的距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
如图，点在线段上，．求证：点是的
准外心；如图，已知在中，，若的准外心在的直角边上，试求的长．
21. 若，求的平方根． 22. 如图，已知矩形中，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为．
ABCD ∠B =90∘AB =3BC =6E BC AE ⊥DE AE =DE EC =1CD =O ABCD DE //AC CE //BD OE AC 10BD 24OE (1)(3−2+)÷212−−√13
−−√48−−√3–√(2)+6x −27x 3−−−−√x 3−−√x 23x −−√(1)1P BC ∠ABP =∠APD =∠PCD =,BP =CD
90∘P △APD (2)2Rt △ABC ∠BAC =,BC =5,AB =390∘△ABC P △ABC AP y =++3x −6−−−−−√6−3x
−−−−−√x 310x +2y ABCD AC EF AD BC E F O
连接，．求证：四边形为菱形．
若，，求的长．
23. 如图，四边形中，，．
求证： ；若为
的中点，交于，求证： ．
24. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求点到点的距离． 25. 已知：在中，，，点在直线上，连接，在的右侧作，．
如图，①点在边上，直接写出线段和线段的关系；
如图，点在右侧，，，求的长；
拓展延伸如图，，，，，请直接写出线段的长．
(1)AF CE AFCE (2)AB =4cm BC =8cm AF ABCD AD//BC BO =DO (1)AB//CD (2)E BO AE BC F AD =3BF ABCD AD E DE =AD BD (1)BCED (2)DA =DB =2cos A =14
B E Rt △AB
C ∠ACB =90∘BC =AC
D AB CD CD C
E ⊥CD CD =CE (1)1D AB BE AD (2)2D B BD =1BE =5CE (3)3∠DCE =∠DBE =90∘CD =CE BC =2–√BE =1EC
参考答案与试题解析
2022-2023学年初中八年级下数学月考试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
最简二次根式
【解析】
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二
次根式，否则就不是．
【解答】
解：①的被开方数是分数，故不是最简二次根式；②是最简二次根式；③被开方数含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式；④被开方数是分式，故不是最简二次根式；⑤被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式．
最简二次根式只有个．
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
平行四边形的判定
【解析】
根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
13−−√ab −−√2c 2−−−√y x −−√27a −−−√1A
根据平行四边形的判定，，，条件均不能判定为平行四边形，
选项中，由于，，所以，
所以只有能判定．
故选.
3.
【答案】
B
【考点】
对顶角
算术平方根
立方根的性质
【解析】
本题考查对顶角、立方根以及算数平方根的性质，根据其性质和定义去判定。

【解答】
解：①根据对顶角的定义和性质判定，对顶角相等，因此说法正确；
②的立方根是无理数，不等于，因此说法错误；
③对顶角一定相等，所以若两个角不相等，
则这两个角一定不是对顶角，因此说法正确；
④，负数没有算数平方根，因此说法错误.
故选.
4.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
在数轴上表示实数
【解析】
先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可．
【解答】
解：
A C D
B AB //CD ∠A =∠
C ∠B =∠
D B B 93−=−2552B AC A
∵正方形的边长为
，
∴，
∴，即，
故点表示．
故选．
5.
【答案】
B
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
全等三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明，可得，然后利用勾股
定理可得求出的长，进而可得的值．
【解答】
解：如图，于点
，
∵点是边上的中点，
∴，
由折叠可知：， ， .∵在▱中，，，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵于点，
∴.
1BC ==+1212−−−−−−√2
–√AC =2–√|A −1|=2
–√A 1−2–√D △ABG ≅△EAD
AG =DE =2AF GF GF ⊥AB F E CD CE =DE =2∠BGE =∠C BC =BG =3CE =GE =2
ABCD BC =AD =3BC//AD ∠D +∠C =180∘BG =AD ∠BGE +∠AGB =180∘∠AGB =∠D AB//CD ∠BAG =∠AED △ABG ≅△EAD (AAS)AG =DE =2AB =AE =AG +GE =4GF ⊥AB F ∠AFG =∠DFG =90∘Rt △AFG Rt △BFG
在和，根据勾股定理，
得，
即，解得，∴，
∴.故选.
6.【答案】C
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，
则，
解得，
所以“数学风车”的周长是.
故选.
7.
【答案】
D
【考点】
二次根式的应用
【解析】
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，先确定周长的范围即可解决问题．
【解答】
解：设三角形的另一边长为，
根据三角形三边关系可知：，即，，即，
则，其周长要满足：，即．Rt △AFG Rt △BFG A −A =B −B G 2F 2G 2F 2−A =−22F 232(4−AF)2AF =
118G =A −A =4−=F 2G 2F 21216413564GF =315−−√8B ∠ACB AC x =(12×2+x 2)272x =25(25+12)×4=148C x x <2+35–√5–√x <55–√x >3−25–√5–√x >5–√<x <55–√5–√L +2+5<L <2+5+55–√5–√5–√5–√5–√5–√9<L <125–√5–√
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
二次根式的化简求值
【解析】
先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值．
【解答】
解：，
当，时，
原式．
故选．
9.
【答案】
A
【考点】
三角形的面积
勾股定理
【解析】
设这三边长分别为，，，根据勾股定理可得出，解方程可求得
三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可．
【解答】
解：设直角三角形的三边长分别为，，，
根据勾股定理得：，
解得：（不合题意，舍去）或，
∴，，
即三边长是，，.
∴这个三角形的面积为.
故选．10.
【答案】D b −a a 2b 2
=ab (a −b)
a =2+3–√
b =2−3–√=(2+)(2−)(2+−2+)
3–√3–√3–√3–√=(4−3)×23–√=23–√D x x +1x +2(x +2=(x +1+)2)2x 2
x x +1x +2(x +2=(x +1+)2)2x 2x =−1x =3x +1=4x +2=5345×3×4=612
A
【答案】
D
【考点】
三角形的中线
菱形的判定与性质
直角三角形斜边上的中线
三角形中位线定理
【解析】
根据三角形的中位线定理和菱形的性质进行解答即可．
【解答】
解：在菱形中，
，.
∵，分别是边，的中点，
∴，，
∴，，
故选项，正确.
∵是的中点，是的中点，
∴，
同理可得：.
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
故选项正确.
由于无法确定线段与是否相等，
故无法判断四边形是不是菱形.
故选．
11.
【答案】
A
【考点】
垂径定理
勾股定理
【解析】
【解答】
解：过点作于，连结，如图所示，
ABCD OB =OD BD ⊥AC E F AB AD 2EF =BD =BO +OD EF//BD EF =DO EF ⊥AO A B E AB O BD 2EO =AB 2FO =AD AB =AD AE =OE =OF =AF EOFA C AB BD EBOF D A AF ⊥BC F AP
∵中，，，
∴，∴中，，∴，
，．
故选.
12.【答案】D
【考点】
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
矩形的性质
【解析】
要求重叠部分的面积，选择作为底，高就等于的长；而由折叠可知＝，由平行线的性质得＝，代换后，可知＝，问题转化为在中利用勾股定理求．
【解答】
设＝，由折叠可知，＝，
在中，＝，
即＝，
解得：＝，
由折叠可知＝，
∵，
∴＝，
∴＝，即＝＝，
∴＝
＝．
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
13.
【答案】
△ABC AB =AC =5BC =8BF =4△ABF AF ==3A −B B 2F 2−−−−−−−−−−√×8×3=
×5×PD +×5×PE 121212∴12=×5×(PD +PE)12∴PD +PE =4.8A △AEF AF AB ∠AEF ∠CEF ∠CEF ∠AFE AE AF Rt △ABE AE AE xcm BE (4−x)cm Rt △ABE A +B B 2E 7AE 2+(4−x 25)2x 8x ∠AEF ∠CEF AD //BC ∠CEF ∠AFE ∠AEF ∠AFE AE AF S △AEF ×AF ×AB ×(c )m 2
【考点】
实数大小比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：．根据题意，可得，即 ，解得．
故答案为：．
14.
【答案】
【考点】
二次根式有意义的条件
算术平方根
【解析】
本题考查的是二次根式有意义的条件．
【解答】
解：∵与有意义，
∴解得
，
∴
，
∴．
故答案为：．
15.
【答案】
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
5
Δ=(−4−4×1×(m −1)=−4m +20)2Δ=0−4m +20=0m =552
x −1−−−−−√1−x −−−−−√{x −1≥0,1−x ≥0,x =1y =4
==2y x 2−−−√4–√25cm
试题分析：利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答．根据勾股定理得，斜边…斜边上的中线斜边故答案为：．
【解答】
解：根据勾股定理得，斜边，
故斜边上的中线.故答案为：．16.
【答案】
【考点】
勾股定理的逆定理
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，延长、相交于点
，
∴又在中，故答案为：．17.
【答案】
==10cm +6282−−−−−−√=×12=×10=5cm 125==10cm +6282−−−−−−√=
×10=5cm 12
5cm 65
AD BC E ∵B =90∘
tan A ==BE AB 43BE =⋅AB =443CE =BE ⋅BC =2,AE ==5A +B B 2E 2−−−−−−−−−−√sin E ==AB AE 35∠CDE =∠CDA =90∘
Rt △CDE sin E =CD CE CD =CE ⋅sin E =2×=35656529
−−√
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，作，交的延长线于点
，
∵，，
.
在和中，
∴，
则，，，则．故答案为：．
18.
【答案】【考点】
菱形的性质
矩形的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）
19.
29
−−√DF ⊥BC BC F ∠BAE +∠AEB =90∘∠DEF +∠AEB =90∘∴∠BAE =∠DEF △ABE △EFD ∠B =∠F,
∠BAE =∠FED,AE =ED,
△ABE ≅△EFD(AAS)EF =AB =3DF =EB =BC −EC =5CF =EF −EC =2CD =29−−
√29−−√13
【答案】
解：原式.．
【考点】
二次根式的混合运算
二次根式的性质与化简
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：原式.
．
20.
【答案】
证明：∵，
∴， ，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴点是的准外心.
解：∵，
∴．
当点在上， 时，则；
当点在上，时，则；
当点在上，时，设，则，
(1)=(6−+4)÷23–√23–√33–√3
–
√=÷2283–√33
–
√=143(2)+6x −27x 3−−−−√x 3−−√x 23x
−−
√=3x +2x −x 3x −−√3x −−√3x −−√=4x 3x −−√(1)=(6−+4)÷23–√23
–
√33–√3
–√=÷2283–√3
3
–√=143(2)+6x −27x 3−−−−√x 3−−√x 23x
−−
√=3x +2x −x 3x −−√3x −−√3x −−√=4x 3x −−√(1)∠ABP =∠APD =∠PCD =90∘∠APB +∠PAB =90∘∠APB +∠DPC =90∘∠PAB =∠DPC △ABP △PCD ∠PAB =∠DPC,∠ABP =∠PCD,BP =CD
△ABP ≅△PCD (AAS)AP =PD P △APD (2)∠BAC =,BC =5,AB =390∘AC ==4−5232−−−−−−√P AB PA =PB AP =AB =1232
P AC PA =PC AP =AC =212P AC PB =PC AP =t PC =PB =4−t +=222
在中， ，
解得，即此时．
综上所述，的长为或或．
【考点】
全等三角形的性质与判定
勾股定理
【解析】
11
【解答】
证明：∵，
∴， ，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴点是的准外心.
解：∵，
∴．
当点在上， 时，则；
当点在上，时，则；
当点在上，时，设，则，
在中， ，
解得，即此时．
综上所述，的长为或或．
21.【答案】
由题意得：，
解得：＝，
则＝，
＝＝，
平方根为．
【考点】
二次根式有意义的条件
平方根Rt △ABP +=32t 2(4−t)2
t =78AP =78AP 32278(1)∠ABP =∠APD =∠PCD =90∘∠APB +∠PAB =90∘∠APB +∠DPC =90∘∠PAB =∠DPC △ABP △PCD ∠PAB =∠DPC,∠ABP =∠PCD,BP =CD
△ABP ≅△PCD (AAS)AP =PD P △APD (2)∠BAC =,BC =5,AB =390∘AC ==4−5232−−−−−−√P AB PA =PB AP =AB =1232P AC PA =PC AP =AC =212P AC PB =PC AP =t PC =PB =4−t Rt △ABP +=32t 2(4−t)2
t =78AP =78
AP 32278{ 3x −6≥0
6−3x ≥0x 2y 810x +2y 20+1636±6
根据二次根式有意义的条件可得＝，进而可得的值，然后计算出的值，再求平方根．
【解答】
由题意得：，
解得：＝，
则＝，
＝＝，
平方根为．
22.
【答案】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
∵∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形.
解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得，
即.
【考点】
矩形的性质
菱形的判定
全等三角形的性质与判定
线段垂直平分线的性质
勾股定理
菱形的性质x 2y 10x +2y { 3x −6≥0
6−3x ≥0x 2y 810x +2y 20+1636±6(1)ABCD AD //BC ∠AEO =∠CFO EF AC AO =OC AC ⊥EF △AEO △CFO ∠AEO =∠CFO,
∠AOE =∠COF,
AO =OC,
△AEO ≅△CFO(AAS)OE =OF OA =OC AECF AC ⊥EF AECF (2)AF =acm AECF AF =CF =acm BC =8cm BF =(8−a)cm Rt △ABF +(8−a =42)2a 2
a =5AF =5cm
（1）证，推出，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设，根据勾股定理得出关于的方程，求出即可；
【解答】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
∵∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形.
解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得，
即.
23.
【答案】
证明：∵，∴，
在和中，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴ ．
作，交于
，
由可知，，∴为的中点，
∵，∴， ，在和中，△AEO ≅△CFO OE =OF AF =CF =a a (1)ABCD AD //BC ∠AEO =∠CFO EF AC AO =OC AC ⊥EF △AEO △CFO ∠AEO =∠CFO,
∠AOE =∠COF,AO =OC,
△AEO ≅△CFO(AAS)OE =OF OA =OC AECF AC ⊥EF AECF (2)AF =acm AECF AF =CF =acm BC =8cm BF =(8−a)cm Rt △ABF +(8−a =42)2a 2a =5AF =5cm (1)AD//BC ∠ADO =∠CBO △AOD △COB ∠ADO =∠CBO ，
OD =OB ，∠AOD =∠COB ，
△AOD ≅△COB (ASA)AD =BC AD//BC ABCD AB//CD (2)OM//BC AF M (1)OB =OD O BD OM//BC OM =
CF 12
∠MOE =∠FBE △BEF △OEM ∠MOE =∠FBE ，
∴，
∴，∴，
又∵，∴ ．
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行四边形的性质与判定
三角形中位线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵，∴，
在和中，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴ ．
作，交于
，
由可知，，∴为的中点，
∵，∴， ，在和中，
∴，
∴，∴，
又∵，∴ ．24.
【答案】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，.
∵，
∠MOE =∠FBE ，
OE =BE ，∠MEO =∠FEB ，
△BEF ≅△OEM (ASA)MO =BF BC =3BF AD =BC AD =3BF (1)AD//BC ∠ADO =∠CBO △AOD △COB ∠ADO =∠CBO ，
OD =OB ，∠AOD =∠COB ，
△AOD ≅△COB (ASA)AD =BC AD//BC ABCD AB//CD (2)OM//BC AF M (1)OB =OD O BD OM//BC OM =
CF 12
∠MOE =∠FBE △BEF △OEM ∠MOE =∠FBE ，
OE =BE ，∠MEO =∠FEB ，
△BEF ≅△OEM (ASA)MO =BF BC =3BF AD =BC AD =3BF (1)ABCD AD =BC AD //BC DE =AD DE =BC DE //BC
∴，，
∴四边形是平行四边形；
解：连接
，
∵，，
∴，
∴，.
∵，∴，∴．
【考点】
平行四边形的性质与判定
锐角三角函数的定义
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到＝，，等量代换得到＝，，于是得到四边形是平行四边形；
（2）连接，根据已知条件得到＝＝＝，根据直角三角形的判定定理得到＝，＝，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，.
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
解：连接
，
∵，，
∴，
∴，.
∵，DE =BC DE //BC BCED (2)BE DA =DB =2DE =AD AD =BD =DE =2∠ABE =90∘AE =4cos A =14AB =1BE ==A −A E 2B 2−−−−−−−−−−√15−−√AD BC AD //BC DE BC DE //BC BCED BE AD BD DE 2∠ABE 90∘AE 4(1)ABCD AD =BC AD //BC DE =AD DE =BC DE //BC BCED (2)BE DA =DB =2DE =AD AD =BD =DE =2∠ABE =90∘AE =4cos A =14
AB =1
∴，
∴．
25.
【答案】
解：∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴.
综上，且.
如图，连接
，
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，由勾股定理得
.
在中，设，
由勾股定理得，
解得，
∴.
如图，过作交于
，
∵，
∴.
∵，
∴，，，四点共圆，
∴.
∵，
∴，
∴，，
AB =1BE ==A −A E 2B 2−−−−−−−−−−√15−−√(1)∠ACB =∠DCE =90∘∠ACD =∠BCE AC =BC CD =CE △ACD ≅△BCE(SAS)AD =BE ∠A =∠CBE ∠A +∠ABC =90∘∠ABE =∠CBE +∠ABC =90∘AD ⊥BE AD =BE AD ⊥BE (2)2BE ∠ACB =∠DCE =90∘∠ACD =∠BCE AC =BC CD =CE △ACD ≅△BCE(SAS)∠A =∠CBE ∠A +∠ABC =90∘∠ABE =90∘∠DBE =90∘Rt △DBE
DE ===B +C E 2D 2−−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√26
−−√Rt △DBE CD =CE =x
+=(x 2x 226−−√)2x =13−−
√CE =13−−√(3)3C CA ⊥BC DB A ∠DCE =90∘∠DCA =∠ECB ∠DCE =∠DBE =90∘D E B C ∠CDA =∠CEB CD =CE △CDA ≅△CEB(ASA)AD =BE =1AC =BC △ACB
∴是等腰直角三角形.
在中，由勾股定理得，
∴，∴.
在中，设，由勾股定理得，
解得，∴．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
勾股定理
【解析】（1）根据全等三角形的性质得到＝，＝，求得＝，于是得到结论；（2）如图，连接，根据全等三角形的性质得到＝，推出＝，根据勾股定理得到，即可得到结论；
（3）如图，过作交于，根据已知条件得到，，，四点共圆，求得
＝，根据全等三角形的性质得到＝＝，＝，得到是等腰直角三角形，于是得到结论．
【解答】
解：∵，
∴.
∵，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴.
综上，且.
如图，连接
，
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，
△ACB Rt △ABC AB ==B +B C 2C 2−−−−−−−−−−√2BD =3DE ===B +B D 2E 2−−−−−−−−−−√+3212−−−−−−√10
−−√Rt △DBE CD =CE =x +=(x 2x 210−−√)2x =5–√CE =5–√AD BE ∠A ∠CBE ∠ABE 90∘2BE ∠A ∠CBE ∠DBE 90∘DE ===B +C E 2D 2−−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√26−−√3C CA ⊥BC DB A D E B C ∠CDA ∠CEB AD BE 1AC BC △ACB (1)∠ACB =∠DCE =90∘∠ACD =∠BCE AC =BC CD =CE △ACD ≅△BCE(SAS)AD =BE ∠A =∠CBE ∠A +∠ABC =90∘∠ABE =∠CBE +∠ABC =90∘AD ⊥BE AD =BE AD ⊥BE (2)2BE ∠ACB =∠DCE =90∘∠ACD =∠BCE AC =BC CD =CE △ACD ≅△BCE(SAS)∠A =∠CBE ∠A +∠ABC =90∘∠ABE =90∘
∴，
∴.
在中，由勾股定理得.在中，设，由勾股定理得，
解得，
∴.
如图，过作交于
，∵，
∴.
∵，
∴，，，四点共圆，
∴.
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形.
在中，由勾股定理得，
∴，
∴.在中，设，
由勾股定理得，
解得，
∴．∠ABE =90∘∠DBE =90∘Rt △DBE DE ===B +C E 2D 2−−−−−−−−−−√+1252−−−−−−√26−−√Rt △DBE CD =CE =x +=(x 2x 226−−
√)2x =13−−√CE =13−−√(3)3C CA ⊥BC DB A ∠DCE =90∘∠DCA =∠ECB ∠DCE =∠DBE =90∘D E B C ∠CDA =∠CEB CD =CE △CDA ≅△CEB(ASA)AD =BE =1AC =BC △ACB Rt △ABC AB ==B +B C 2C 2−−−−−−−−−−√2BD =3DE ===B +B D 2E 2−−−−−−−−−−√+3212−−−−−−√10−−√Rt △DBE CD =CE
=x +=(x 2x 210−−√)2x =5–√CE =5–√。