导数专题(含答案
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是曲线 上点〔 〕处的切线的斜率
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
〔注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 〕
因此f<2>和f<－1>分别是f<x>在区间[－2,2]上的最大值和最小值,
于是有22＋a＝20,解得a＝－2．
故f<x>=－x3＋3x2＋9x－2,因此f<－1>＝1＋3－9－2＝－7,
即函数f<x>在区间[－2,2]上的最小值为－7．
4、利用导数研究方程的根<函数的零点或两图象的交点
方法：做草图
∴当 时, ≥ ,即 ≥0,∴ ．
综上可知,当 时,有 ．
1.已知函数 在 与 时都取得极值
<1>求 的值与函数 的单调区间；
<2>若对 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.
解：〔1〕
由 , 得
,函数 的单调区间如下表：
极大值
极小值
所以函数 的递增区间是 与 ,递减区间是 ；
〔2〕 ,当 时,
为极大值,而 ,则 为最大值,要使
所以函数f<x>的单调递减区间为〔－∞,－1〕,〔3,＋∞〕．
〔II〕因为f<－2>＝8＋12－18＋a=2＋a,f<2>＝－8＋12＋18＋a＝22＋a,
所以f<2>>f<－2>．因为在〔－1,3〕上f‘<x>>0,所以f<x>在[－1, 2]上单调递增,
又由于f<x>在[－2,－1]上单调递减,
4利用点斜式求切线方程.
[特别警示]求曲线的切线要注意"过点P的切线"与"在点P处的切线"的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
例<1>曲线 在点〔1,-1〕处的切线方程为.
<2>已知曲线y= 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为〔〕
[例]1已知函数 .
〔Ⅰ〕求 的单调递减区间；
〔Ⅱ〕求 在区间 上的最大值和最小值
解：〔Ⅰ〕
令
〔Ⅱ〕令
f<x>的最大值为23,最小值为-4.
2函数 〔 的最大值是
3．已知 是实数,函数 ．
〔Ⅰ〕若 ,求 的值及曲线 在点 处的切线方程；
〔Ⅱ〕求 在区间 上的最大值．
〔Ⅰ〕由 易得a=0,从而可得曲线 在 处的切线方程为 K^S*5U.C#
当 时取得最小值 .
9.已知函数
〔1〕当a=0时,求 的极值.
〔2〕当a≠0时,若 是减函数,求a的取值范围；
9.〔I〕解：由已知得 的定义域为
又 ……3分
由题意得
……6分
〔II〕解：依题意得
对 恒成立, ……8分
……10分
的最大值为
的最小值为 ……12分
又因 时符合题意
为所求……14分
导数专题
一.导数计算
1〕 与 的关系函数： 就是导函数 在x= 处的函数值,
2〕几种常见函数的导数公式
3〕求导法则
,
例1〕、 < >
2〕、 ,若 ,则 〔〕
A. B. C. D.
3〕已知函数 的导函数为 ,且满足 ,则
A． B． C． D．
4〕函数 的导数为_________________；
二.导数的几何意义：
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时, =3x2≥0,
故f<x>=x3-1在R上是增函数,则a≤0.
〔2〕解由 =3x2-a≤0在<-1,1>上恒成立,得a≥3x2,x∈<-1,1>恒成立.
∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.当a=3时, =3<x2-1>,
在x∈<-1,1>上, <0,即f<x>在〔-1,1〕上为减函数,∴a≥3.
恒成立,则只需要 ,得 .
2.<05重庆文>设函数 R.
〔1〕若 处取得极值,求常数a的值；
〔2〕若 上为增函数,求a的取值范围.
3.函数 的定义域为 〔 为实数〕.
〔1〕当 时,求函数 的值域；
〔2〕求函数 在 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 的值.
解：〔1〕当 时, , ,……………2分
〔1〕确定函数 的定义域；〔2〕求导数 ；
〔3〕解不等式 ,解集在定义域内的部分为增区
〔4〕解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区
注意：①单调区间必须用区间表示②定义域
例<1>函数 是减函数的区间为< >
A． B． C． D．〔0,2〕
〔2〕函数：f<x>=3+xlnx的单调递增区间是< >
A． B. <e,+∞> C D.
故存在实数a≥3,使f<x>在〔-1,1〕上单调递减.
2〕函数 在区间 上为单调函数,则
A． B． C． D．
3、导数与函数的极值和最值
1>求可导函数y＝f<x>极值的步骤：
1.求函数y＝f<x>的导数f′<x>并因式分解<或通分>；
2.求方程f′<x>＝0的根；
3.列出在定义域内x变化时f′<x>和f<x>的变化情况
3已知函数
若 在 处取得极值,直线y=m与 的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
w.k.s.5.u.c.o.m解析：〔1〕
因为 在 处取得极大值,
所以
所以
由 解得
由〔1〕中 的单调性可知, 在 处取得极大值 ,
在 处取得极小值
因为直线 与函数 的图象有三个不同的交点,又 , ,
结合 的单调性可知, 的取值范围是
(2)求方程f`<x>=0在区间<a,b>内的解.
(3)列表求区间<a,b>内极值<极大值或极小值>
(4)y=f<x>的各极值与f<a>、f<b>比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值
特别警示]碰到下列三种情况注意分类讨论①当方程 不知是否有解②方程 的根不知谁大谁小③方程 的根不知道是否在定义域范围内
例1.已知函数f<x>=x3-ax-1.
〔1〕若f<x>在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围；
〔2〕是否存在实数a,使f<x>在〔-1,1〕上单调递减？若存在,求出a的取值范围；若不存在,说明理由；
〔1〕解由已知 =3x2-a,∵f<x>在〔-∞,+∞〕上是单调增函数,
∴ =3x2-a≥0在〔-∞,+∞〕上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.
解：设楼房每平方米的平均综合费为 元,依题意得
则 ,令 ,即 ,解得
当 时, ；当 时, ,
因此,当 时, 取得最小值, 元.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.
3>已知函数的极值求参数的值
要点: 在 取得极值C则有 碰到参数多解须检验
特别警示:
若点 ；但反过来不一定,如函数 处 ,
〔Ⅱ〕先求出可能的极值点x1=0,x2= ,再讨论极值点与区间[0,2]端点的位置关系．令 ,得 ．当 即 时, 在 上单调递增, ；当 即 时, 在 上单调递减, ；当 即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,函数f<x>〔0≤x≤2>的最大值只可能在x=0或x=2处取到,因为f<0>=0,f<2>=8－4a,令f<2>≥f<0>,得a≤2,所以
具体步骤<1>求 并因式分解<2>解方程 <3>在定义域范围列表<4>求出极值
例1方程
A、0 B、1 C、2 D、3
2设函数 ．
若方程 有且仅有一个实根,求 的取值范围．
解： ,
因为当 时, ;当 时, ;当 时, ;所以当 时, Nhomakorabea取极大值 ;
当 时, 取极小值 ;故当 或 时,方程 仅有一个实根.解得 或
当且仅当 ,即 时取等号……………3分
函数 的值域为 ；……………4分
〔2〕当 时,函数 在 上单调递增,无最小值,
当 时取得最大值 ；…………………………10分
由〔2〕得当 时,函数 在 上单调递减,无最大值,
当 时取得最小值 ；…………………………12分
当 时,函数 在 上单调减,在 上单调增,无最大值,
2>利用导数判断函数的单调性
1>证明可导函数f<x>在<a,b>内的单调性的步骤
<1>求f′<x>.
<2>确认f′<x>在<a,b>内的符号.
<3>作出结论：f′<x>＞0时f<x>为增函数；f′<x>＜0时f<x>为减函数.
例〔1〕．设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直角坐 标系中,不可能正确的是B
五、导数与不等式的证明
要证不等式 只须证
只须证 转化为求 〔一般利用导数求〕
例已知函数 , ,证明：
证：函数 的定义域为 ． ＝ －1＝－
x∈〔－1,0〕时, ＞0,当x∈〔0,＋∞〕时, ＜0,
因此,当 时, ≤ ,即 ≤0∴ ．
令 则 ＝ ．
∴x∈〔－1,0〕时, ＜0,当x∈〔0,＋∞〕时, ＞0．
A．4B．3C．2D．
<3>过原点作曲线 的切线,则切线方程为.
<4>已知曲线 ,求过点P的切线方程.
解： 上,
〔1〕当 为切点时, 所求切线方程为
〔2〕当 不是切点时,设切点为 ,则 ,又切线斜率为
,所以 , ,解得 ,
此时切线的斜率为1,切线方程为 ,
综上所述,所求切线为 或 .
2导数与单调性
1>求解函数 单调区间的步骤：
3.已知某物体的运动方程是 ,则当 时的瞬时速度是< >
A.10m/sB.9m/sC.4m/sD.3m/s
三导数大题中的基本题型
1、导数与曲线的切线
要点:斜率就是导数,导数就是斜率即
切点 是曲线与切线的公共点
求曲线的切线方程的基本步骤:
1求 ;
2找切点或设切点
3求切线的斜率 或切点<当斜率和切点都不知道,借助斜率公式 >
4下结论
[例]1>设函数 ,已知 是奇函数.
〔Ⅰ〕求 、 的值.〔Ⅱ〕求 极值
2>函数 有极值的充要条件是〔〕
A． B． C． D．
5已知函数 在R上有两个极值点,则实数 的取值范围是
6已知函数 既有极大值又有极小值,则实数 的取值范围是
2>求f<x>在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数的导数f`<x>
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
〔注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 〕
因此f<2>和f<－1>分别是f<x>在区间[－2,2]上的最大值和最小值,
于是有22＋a＝20,解得a＝－2．
故f<x>=－x3＋3x2＋9x－2,因此f<－1>＝1＋3－9－2＝－7,
即函数f<x>在区间[－2,2]上的最小值为－7．
4、利用导数研究方程的根<函数的零点或两图象的交点
方法：做草图
∴当 时, ≥ ,即 ≥0,∴ ．
综上可知,当 时,有 ．
1.已知函数 在 与 时都取得极值
<1>求 的值与函数 的单调区间；
<2>若对 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.
解：〔1〕
由 , 得
,函数 的单调区间如下表：
极大值
极小值
所以函数 的递增区间是 与 ,递减区间是 ；
〔2〕 ,当 时,
为极大值,而 ,则 为最大值,要使
所以函数f<x>的单调递减区间为〔－∞,－1〕,〔3,＋∞〕．
〔II〕因为f<－2>＝8＋12－18＋a=2＋a,f<2>＝－8＋12＋18＋a＝22＋a,
所以f<2>>f<－2>．因为在〔－1,3〕上f‘<x>>0,所以f<x>在[－1, 2]上单调递增,
又由于f<x>在[－2,－1]上单调递减,
4利用点斜式求切线方程.
[特别警示]求曲线的切线要注意"过点P的切线"与"在点P处的切线"的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
例<1>曲线 在点〔1,-1〕处的切线方程为.
<2>已知曲线y= 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为〔〕
[例]1已知函数 .
〔Ⅰ〕求 的单调递减区间；
〔Ⅱ〕求 在区间 上的最大值和最小值
解：〔Ⅰ〕
令
〔Ⅱ〕令
f<x>的最大值为23,最小值为-4.
2函数 〔 的最大值是
3．已知 是实数,函数 ．
〔Ⅰ〕若 ,求 的值及曲线 在点 处的切线方程；
〔Ⅱ〕求 在区间 上的最大值．
〔Ⅰ〕由 易得a=0,从而可得曲线 在 处的切线方程为 K^S*5U.C#
当 时取得最小值 .
9.已知函数
〔1〕当a=0时,求 的极值.
〔2〕当a≠0时,若 是减函数,求a的取值范围；
9.〔I〕解：由已知得 的定义域为
又 ……3分
由题意得
……6分
〔II〕解：依题意得
对 恒成立, ……8分
……10分
的最大值为
的最小值为 ……12分
又因 时符合题意
为所求……14分
导数专题
一.导数计算
1〕 与 的关系函数： 就是导函数 在x= 处的函数值,
2〕几种常见函数的导数公式
3〕求导法则
,
例1〕、 < >
2〕、 ,若 ,则 〔〕
A. B. C. D.
3〕已知函数 的导函数为 ,且满足 ,则
A． B． C． D．
4〕函数 的导数为_________________；
二.导数的几何意义：
∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时, =3x2≥0,
故f<x>=x3-1在R上是增函数,则a≤0.
〔2〕解由 =3x2-a≤0在<-1,1>上恒成立,得a≥3x2,x∈<-1,1>恒成立.
∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3.当a=3时, =3<x2-1>,
在x∈<-1,1>上, <0,即f<x>在〔-1,1〕上为减函数,∴a≥3.
恒成立,则只需要 ,得 .
2.<05重庆文>设函数 R.
〔1〕若 处取得极值,求常数a的值；
〔2〕若 上为增函数,求a的取值范围.
3.函数 的定义域为 〔 为实数〕.
〔1〕当 时,求函数 的值域；
〔2〕求函数 在 上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 的值.
解：〔1〕当 时, , ,……………2分
〔1〕确定函数 的定义域；〔2〕求导数 ；
〔3〕解不等式 ,解集在定义域内的部分为增区
〔4〕解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区
注意：①单调区间必须用区间表示②定义域
例<1>函数 是减函数的区间为< >
A． B． C． D．〔0,2〕
〔2〕函数：f<x>=3+xlnx的单调递增区间是< >
A． B. <e,+∞> C D.
故存在实数a≥3,使f<x>在〔-1,1〕上单调递减.
2〕函数 在区间 上为单调函数,则
A． B． C． D．
3、导数与函数的极值和最值
1>求可导函数y＝f<x>极值的步骤：
1.求函数y＝f<x>的导数f′<x>并因式分解<或通分>；
2.求方程f′<x>＝0的根；
3.列出在定义域内x变化时f′<x>和f<x>的变化情况
3已知函数
若 在 处取得极值,直线y=m与 的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
w.k.s.5.u.c.o.m解析：〔1〕
因为 在 处取得极大值,
所以
所以
由 解得
由〔1〕中 的单调性可知, 在 处取得极大值 ,
在 处取得极小值
因为直线 与函数 的图象有三个不同的交点,又 , ,
结合 的单调性可知, 的取值范围是
(2)求方程f`<x>=0在区间<a,b>内的解.
(3)列表求区间<a,b>内极值<极大值或极小值>
(4)y=f<x>的各极值与f<a>、f<b>比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值
特别警示]碰到下列三种情况注意分类讨论①当方程 不知是否有解②方程 的根不知谁大谁小③方程 的根不知道是否在定义域范围内
例1.已知函数f<x>=x3-ax-1.
〔1〕若f<x>在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围；
〔2〕是否存在实数a,使f<x>在〔-1,1〕上单调递减？若存在,求出a的取值范围；若不存在,说明理由；
〔1〕解由已知 =3x2-a,∵f<x>在〔-∞,+∞〕上是单调增函数,
∴ =3x2-a≥0在〔-∞,+∞〕上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.
解：设楼房每平方米的平均综合费为 元,依题意得
则 ,令 ,即 ,解得
当 时, ；当 时, ,
因此,当 时, 取得最小值, 元.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.
3>已知函数的极值求参数的值
要点: 在 取得极值C则有 碰到参数多解须检验
特别警示:
若点 ；但反过来不一定,如函数 处 ,
〔Ⅱ〕先求出可能的极值点x1=0,x2= ,再讨论极值点与区间[0,2]端点的位置关系．令 ,得 ．当 即 时, 在 上单调递增, ；当 即 时, 在 上单调递减, ；当 即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,函数f<x>〔0≤x≤2>的最大值只可能在x=0或x=2处取到,因为f<0>=0,f<2>=8－4a,令f<2>≥f<0>,得a≤2,所以
具体步骤<1>求 并因式分解<2>解方程 <3>在定义域范围列表<4>求出极值
例1方程
A、0 B、1 C、2 D、3
2设函数 ．
若方程 有且仅有一个实根,求 的取值范围．
解： ,
因为当 时, ;当 时, ;当 时, ;所以当 时, Nhomakorabea取极大值 ;
当 时, 取极小值 ;故当 或 时,方程 仅有一个实根.解得 或
当且仅当 ,即 时取等号……………3分
函数 的值域为 ；……………4分
〔2〕当 时,函数 在 上单调递增,无最小值,
当 时取得最大值 ；…………………………10分
由〔2〕得当 时,函数 在 上单调递减,无最大值,
当 时取得最小值 ；…………………………12分
当 时,函数 在 上单调减,在 上单调增,无最大值,
2>利用导数判断函数的单调性
1>证明可导函数f<x>在<a,b>内的单调性的步骤
<1>求f′<x>.
<2>确认f′<x>在<a,b>内的符号.
<3>作出结论：f′<x>＞0时f<x>为增函数；f′<x>＜0时f<x>为减函数.
例〔1〕．设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直角坐 标系中,不可能正确的是B
五、导数与不等式的证明
要证不等式 只须证
只须证 转化为求 〔一般利用导数求〕
例已知函数 , ,证明：
证：函数 的定义域为 ． ＝ －1＝－
x∈〔－1,0〕时, ＞0,当x∈〔0,＋∞〕时, ＜0,
因此,当 时, ≤ ,即 ≤0∴ ．
令 则 ＝ ．
∴x∈〔－1,0〕时, ＜0,当x∈〔0,＋∞〕时, ＞0．
A．4B．3C．2D．
<3>过原点作曲线 的切线,则切线方程为.
<4>已知曲线 ,求过点P的切线方程.
解： 上,
〔1〕当 为切点时, 所求切线方程为
〔2〕当 不是切点时,设切点为 ,则 ,又切线斜率为
,所以 , ,解得 ,
此时切线的斜率为1,切线方程为 ,
综上所述,所求切线为 或 .
2导数与单调性
1>求解函数 单调区间的步骤：
3.已知某物体的运动方程是 ,则当 时的瞬时速度是< >
A.10m/sB.9m/sC.4m/sD.3m/s
三导数大题中的基本题型
1、导数与曲线的切线
要点:斜率就是导数,导数就是斜率即
切点 是曲线与切线的公共点
求曲线的切线方程的基本步骤:
1求 ;
2找切点或设切点
3求切线的斜率 或切点<当斜率和切点都不知道,借助斜率公式 >
4下结论
[例]1>设函数 ,已知 是奇函数.
〔Ⅰ〕求 、 的值.〔Ⅱ〕求 极值
2>函数 有极值的充要条件是〔〕
A． B． C． D．
5已知函数 在R上有两个极值点,则实数 的取值范围是
6已知函数 既有极大值又有极小值,则实数 的取值范围是
2>求f<x>在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数的导数f`<x>