用待定系数法分解因式

用待定系数法分解因式
待定系数法是一种重要的数学方法。

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）g （x）的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f（a）≡g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 先假定已知多项式具有某种分解式。

这个分解式中含有若干个待定的字母系数，然后应用多项式恒等的性质，或取多项式中原有的几个特殊值，列得关于待定的字母系数的方程或方程组，解出待定的字母系数值。

这种分解因式的方法，叫做待定系数法。

例1 分解因式x2+6x-16．
分析：假设能分解，则应分解为两个一次项式的积形式，即(x+b1)(x+b2)，将其展开得
x2+(b1+b2)x十b1·b2与x2+6x-16相比较得
b1+b2=6，b1·b2=-16，可得b1，b2即可分解．
解：设x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)
则x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2
∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．
例2. 分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6
分析：该式中的二次项x2+xy-6y2可用十字相乘法进行分解。

x2+xy-6y2=(x-2y)(x+3y),重要的是要弄清楚原式分解因式后的一般形式，从而恰当设出待定的系数，注意到原式中的二
次项被分解成(x-2y)(x+3y)，可设原地式被分解后的形式为(x-2y+m)(x+3y+n),因为这个乘积展开后，m，n和其余各项乘积的代数
和正好构成原式中的一次项和常数项。

解：∵ x2+xy-6y2=(x-2y)(x+3y)
设x2+xy-6y2+x+13y-6=(x-2y+m)(x+3y+n)=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3m-2n)y+mn
由多项式恒等定理可知
m+n=13
m-2n=13
mn=6
解之：m=3 ，n=-2
∴x2+xy-6y2+x+13y-6=(x-2y+3)(x+3y-2)。