电气工程电路笔记教案 (13)拉普拉斯变换

CH13 拉普拉斯变换(Laplace Transformations)

本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。

§13-1拉普拉斯变换定义 教学目的：拉普拉斯变换的定义。

教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。 教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。 教学方法：课堂讲授。 教学内容：

一、引言

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

二、拉普拉斯拉斯变换的定义

一个定义在

区间的函数)(t f ,其拉氏变换)(s F 定义为:

⎰∞

-

==0)()]([)(t f t f L s F e -st dt

式中：s=б+j ω为复数，有时称变量S 为复频率。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。

F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

三、几个常见函数的拉氏变换

1．的拉氏变换)(t ε

⎩

⎨

⎧≥<=.01;

00)(t t t ε s e s

dt e dt e t t L s F st st st 101

1)()]([)(00=∞⋅-=⋅===--∞∞-⎰⎰-

-εε

2．)(t δ的拉氏变换

⎪⎩⎪

⎨⎧==≠=⎰∞

+∞

-.01)(;00)(t dt t t t δδ

§13-2拉普拉斯变换的基本性质

教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 教学重点：拉普拉斯变换的性质。

教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。 教学方法：课堂讲授。 教学内容：

一、唯一性

定义在区间的时间函数与其拉氏变换

存在一一对应关系。根据

可以唯一的确定

其拉氏变换

；反之，根据

，可以唯一的确定时间函数

。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的证明从略。

二、线性性质

若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常

数，则有：

[证]：根据拉氏变换的定义可得

[例]：求的拉氏变换。

[解]：

三、时域导数性质（微分性质）

[例]：应用时域导数性质求的象函数。[解]：

四、时域积分性质（积分规则）

[例]：求单位斜坡函数及的象函数。[解]：

五、时域平移性质（延迟性质）

§13-3拉普拉斯反变换

教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法。

教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法。

教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法。

教学方法：课堂讲授。

教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。

教学内容：

一、拉普拉斯反变换

在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答。

求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变为表中所列的形式。

在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数，可直接应用部分分式展开法。将F(s)化为如下形式：

式中：是被所除而得的商；是余式，其次数低于的次数。

二、有个单实根

设的个单实根分别为，则可展开为

式中：为待定系数。

若要求，将上式两边都乘，得

令，则等式右端除外，其余各项均为零。

故

同里可求得。所以，确定待定系数的公式为

由于，所以

因为是的一个根，所以上式为型不定式，故可用洛比塔法则来确定的值

所以，确定待定系数的另一公式为

对应的原函数为

[例]：

。

[解]：

三、有共轭复根的情况

在式中，设有一对共轭复根，记为

。则在的展开式中将包含以下两项：

其中

由于实系数有理分式，故必为共轭复数。若设则于是，对应的原函数将是

[例]：

求的原函数。

[解]：

四、有重根的情况

设有一个阶重根，其他均为单根，则的部分分式展开式为

式中系数可按前面介绍的方法确定。

为了求得系数，可将上式两端同乘以，得到

令，即可求得

为了求出，可将上式两端对求一次导数，再令，即得

以此类推，可求得

又因为，所以，当各系数确定后，即可求得的原函数

[例]：

求的原函数。

[解]

有一个三重根和一个单根，所以，可展开

为

式中

所以

其相应的原函数为

§13-4 运算电路

教学目的：运算电路图的画法。

教学重点：熟练掌握运算电路图的画法，正确计入储能元件的的附加电源。教学难点：各种运算电路图的画法，注意电压、电流的方向。

教学方法：课堂讲授。

教学内容：

一、基尔霍夫定律的复频域形式

二、电路元件电压电流关系的复频域形式及其电路模型

1．电阻

13-1

2．电感