相似判定方法

知识点1、概念
相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. (相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.)
【说明】相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．而两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例的意思． 2、符号
“∽”注意对应顶点字母的位置。

3、相似比k
相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）．
【说明】①两个相似三角形的相似比具有顺序性，两个相似三角形会有两个相似比k ； 如图，111,ABC A B C ∆∆是相似三角形，则111,ABC A B C ∆∆相似可记作ABC ∆∽111A B C ∆.由于
111
2
AB A B =，则ABC ∆与111A B C ∆的相似比111
2
AB k A B =
=，则111A B C ∆与
ABC ∆的相似比,
11
2A B k AB
=
=. ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 4、相似三角形的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.
（l ）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ （3）下列四组图形，必是相似形的是（ ）
Ａ、有一个角为0
40的两个等腰三角形； Ｂ、有一个角为0
50的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形； Ｄ、有一个角为0100的两个等腰三角形.
知识点2.相似三角形的判定定理
C 1
B 1
A 1
C
B
A
l
E
D C
B
A
l
E
D
C
B
A
l
E
D
C
B A
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
证明过程：略 【强调】
（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的．
（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．
（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误。

（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．
（5）采用一些形象性语言总结，如：有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形． 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形.
1．
相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）.
如图在ABC ∆和△111A B C 中，11,A A B B ∠=∠∠=∠问：
ABC ∆和△111A B C 是否相似？ 【思路】
（1）在ABC ∆边AB （或延长线）上，截取11AD A B = ，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ．“作相似．证全等”．
（2）在ABC ∆边AB （或延长线上）上，截取11AD A B =，在边AC （或延长线
上）截取11AE AC =，连结
DE .“作全等，证相似”． 【例题讲解】
1、已知：在ABC ∆和DEF ∆中，40A ∠=︒, 80B ∠=︒, 80E ∠=︒, 60F ∠=︒.(1)
求证:ABC ∆∽DEF ∆ (2)写出对应边成比例的式子.
2、（1）已知:如图5-58,直线BE ,DC 交于A , E C ∠=∠.求证:DA AC BA AE ⋅=⋅
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
E （2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.
3、已知:如图,Rt ABC ∆中, 90ABC ∠=︒,BD AC ⊥于D .
(1) 图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?
(2) 用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.
4.如图，已知：ABC ∆中，D 是BC 边上一点，CAD BAE ∠=∠，C ADE ∠=∠，AB 、DE 相交于M 。

（1）ABC ∆∽AED ∆；（2）若AD 平分BAC ∠，找出图中其他的相似三角形并给出证明。

E
B
5.如图，已知：ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交射线BC 于点E ，AE 的垂直平分线交
BE 于点G 。

求证：2GE GB GC =⋅
常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.
2．
相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)
如上图，在ABC ∆和111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠,
1111
AB AC
A B AC =
那么ABC ∆和111A B C ∆相似吗？
【思路】ADE ∆≌111A B C ∆（SAS ），再利用三角形一边的平行线判定定理，得到
DE ∥BC ，可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B A
B O
D
C
B A
【例题讲解】
1、如图所示，已知：ABC ∆中，:2:3AC BC =，D 是AC 的中点，E 在BC 上且:7:2BE CE =，求:DE AB 的值。

2、已知如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1OA =， 1.5OB =,3OC =,2OD =.求证:OAD ∆与OBC ∆是相似三角形.
3、如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 点是CB 的延长线上一点，E 是BC 延长线上的一点，且满足2
AB =DB CE ⋅
求证：（1）ADB ∆∽ EAC ∆（2）若BAC ∠=0
40，求DAE ∠的度数.
F A B C
4、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，1
3
CF BF =。

（1）求证：90AEF ∠=︒；（2）求证：ADE ∆∽AEF ∆。

5、如图，已知：ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 边上，四边形AEDF 是菱形。

求证：（1）FBD ∆∽EDC ∆；（2）BFE ∆∽FEC ∆。

巩固练习 一、选择
1.在△ABC 中，E 、F 分别在AC 、AB 上，且AF ·AB=AE ·AC ，则下列各式中正确的是( )
A.
BC AF AC EF = B.AB BC AE AF = C.AC AE BC EF = D.AE
AB
EF BC =
2.BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于点O 。

下列结论中不正确的是( )
A.△ADE ∽△ABC
B.△DOE ∽△COB
C.△BOE ∽△COD
D.△BOE ∽△BDE
3.下列各图有可能不相似的是( )
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB,垂足D 在斜边AB 上，则下列四个结论中正确的是( )
①AC ²=AD ·AB ②BC ²=BD ·AB ③CD ²=AD ·BD ④AC ·BC=AB ·CD
A.①、②、④
B.②、③、④
C.①、③、④
D.①、②、③、④
5.已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有( )条。

A.5
B.4
C.3
D.2 二、填空
6.已知正方形ABCD ，点E 在CD 上，且CE:DE=1:2，EF ⊥EA 交BC 于点F ，则EF:EA=。

7.点D 在△ABC 的边AB 上，且AC ²=AD ·AB ，则△ABC ∽△ACD ，理由是。

8.△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、BC 上，已知BD=23，DA=2
1
，BE ·BC=3，∠A+∠B=135°。

则∠BDE=。

9.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DF ⊥AB 交BC 于E 点，交AC 的延长线于F 点，连结CD 。

若CD=6，DE=4，则DF=.
10.如图，矩形ABCD 中，CE ⊥BD 与E 点，延长后交AD 于P 点，若P 是AD 的中点，则AD:AB=
自我测试 一、选择
1.如图，AD∥BC，AB∥CE，则图中相似的三角形共有( )对。

A.3
B.4
C.5
D.6 2.如图，△ABC 中，BC CD C ⊥︒=∠,90于点D ，BC DE ⊥于E ，则与Rt △CDE 相似的直角三角形共有( )个。

A.3
B.4
C.5
D.6
3.如图，Rt △ABC 中，90,C BD ∠=︒平分,,ABC DE AB ∠⊥若BC=6，AC=8，则CD=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
4.下列命题中，说法正确的个数是( )
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
③两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
④两边对应成比例的两三角形相似
A.1
B.2
C.3
D.4
二、简答
5.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°。

求证：△ABD∽△DCE。