相似判定方法

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知识点1、概念
相似三角形的概念: 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形. (相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.)
【说明】相似三角形的本质特征是“具有相同形状”,它们的大小不一定相等,这是和全等三角形的重要区别.而两个三角形形状相同,就是他们的对应角相等,对应边成比例的意思. 2、符号
“∽”注意对应顶点字母的位置。

3、相似比k
相似三角形对应边的比k ,叫做相似比(或相似系数).
【说明】①两个相似三角形的相似比具有顺序性,两个相似三角形会有两个相似比k ; 如图,111,ABC A B C ∆∆是相似三角形,则111,ABC A B C ∆∆相似可记作ABC ∆∽111A B C ∆.由于
111
2
AB A B =,则ABC ∆与111A B C ∆的相似比111
2
AB k A B =
=,则111A B C ∆与
ABC ∆的相似比,
11
2A B k AB
=
=. ②全等三角形的相似比为1,这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形. 4、相似三角形的传递性:如果两个三角形分别与同一个三角形相似,那么这两个三角形也相似.
(l )所有等腰三角形都相似吗?所有等边三角形呢?为什么? (2)所有直角三角形都相似吗?所有等腰直角三角形呢?为什么? (3)下列四组图形,必是相似形的是( )
A、有一个角为0
40的两个等腰三角形; B、有一个角为0
50的两个等腰梯形; C、邻边之比都为2:3的两个平行四边形; D、有一个角为0100的两个等腰三角形.
知识点2.相似三角形的判定定理
C 1
B 1
A 1
C
B
A
l
E
D C
B
A
l
E
D
C
B
A
l
E
D
C
B A
相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
证明过程:略 【强调】
(1)本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义,而且为后面的证明打下了基础,它的重要性是显而易见的.
(2)由本定理的题设所构成的三角形有三种可能,基本图形在“平行线分线段成比例”出现过.
(3)根据两个三角形相似写对应边的比例式时,每个比的前项是同一个三角形的三边,而比的后项是另一个三角形的三条对应边,它们的位置不能写错,做题时务必要认真仔细,如本定理的比例式,防止出现错误。

(4)根据两个三角形相似写对应边的比例式时,还应给学生强调,这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边,对应边应写在对应位置.
(5)采用一些形象性语言总结,如:有平行就有成比例线段,有平行就有相似三角形. 我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形.
1.
相似三角形的判定定理1:如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似(两角对应相等,两个三角形相似).
如图在ABC ∆和△111A B C 中,11,A A B B ∠=∠∠=∠问:
ABC ∆和△111A B C 是否相似? 【思路】
(1)在ABC ∆边AB (或延长线)上,截取11AD A B = ,过D 作DE ∥BC 交AC 于E .“作相似.证全等”.
(2)在ABC ∆边AB (或延长线上)上,截取11AD A B =,在边AC (或延长线
上)截取11AE AC =,连结
DE .“作全等,证相似”. 【例题讲解】
1、已知:在ABC ∆和DEF ∆中,40A ∠=︒, 80B ∠=︒, 80E ∠=︒, 60F ∠=︒.(1)
求证:ABC ∆∽DEF ∆ (2)写出对应边成比例的式子.
2、(1)已知:如图5-58,直线BE ,DC 交于A , E C ∠=∠.求证:DA AC BA AE ⋅=⋅
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
E (2)若图形作以下变化,结论是否依然成立,请证明.
3、已知:如图,Rt ABC ∆中, 90ABC ∠=︒,BD AC ⊥于D .
(1) 图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么?
(2) 用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
(3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.
4.如图,已知:ABC ∆中,D 是BC 边上一点,CAD BAE ∠=∠,C ADE ∠=∠,AB 、DE 相交于M 。

(1)ABC ∆∽AED ∆;(2)若AD 平分BAC ∠,找出图中其他的相似三角形并给出证明。

E
B
5.如图,已知:ABC ∆中,BAC ∠的外角平分线交射线BC 于点E ,AE 的垂直平分线交
BE 于点G 。

求证:2GE GB GC =⋅
常用的找对应角的方法:①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余(补)角相等.
2.
相似三角形的判定定理2:如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.(简述为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)
如上图,在ABC ∆和111A B C ∆中,如果1A A ∠=∠,
1111
AB AC
A B AC =
那么ABC ∆和111A B C ∆相似吗?
【思路】ADE ∆≌111A B C ∆(SAS ),再利用三角形一边的平行线判定定理,得到
DE ∥BC ,可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B A
B O
D
C
B A
【例题讲解】
1、如图所示,已知:ABC ∆中,:2:3AC BC =,D 是AC 的中点,E 在BC 上且:7:2BE CE =,求:DE AB 的值。

2、已知如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,1OA =, 1.5OB =,3OC =,2OD =.求证:OAD ∆与OBC ∆是相似三角形.
3、如图,在ABC ∆中,AB AC =,D 点是CB 的延长线上一点,E 是BC 延长线上的一点,且满足2
AB =DB CE ⋅
求证:(1)ADB ∆∽ EAC ∆(2)若BAC ∠=0
40,求DAE ∠的度数.
F A B C
4、如图,正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,1
3
CF BF =。

(1)求证:90AEF ∠=︒;(2)求证:ADE ∆∽AEF ∆。

5、如图,已知:ABC ∆中,60A ∠=︒,点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 边上,四边形AEDF 是菱形。

求证:(1)FBD ∆∽EDC ∆;(2)BFE ∆∽FEC ∆。

巩固练习 一、选择
1.在△ABC 中,E 、F 分别在AC 、AB 上,且AF ·AB=AE ·AC ,则下列各式中正确的是( )
A.
BC AF AC EF = B.AB BC AE AF = C.AC AE BC EF = D.AE
AB
EF BC =
2.BD 、CE 是△ABC 的两条高,BD 、CE 相交于点O 。

下列结论中不正确的是( )
A.△ADE ∽△ABC
B.△DOE ∽△COB
C.△BOE ∽△COD
D.△BOE ∽△BDE
3.下列各图有可能不相似的是( )
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是105°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,垂足D 在斜边AB 上,则下列四个结论中正确的是( )
①AC ²=AD ·AB ②BC ²=BD ·AB ③CD ²=AD ·BD ④AC ·BC=AB ·CD
A.①、②、④
B.②、③、④
C.①、③、④
D.①、②、③、④
5.已知点P 是△ABC 的边BC 的中点,过点P 作直线截△ABC ,使截得的三角形与原三角形相似,那么这样的直线最多有( )条。

A.5
B.4
C.3
D.2 二、填空
6.已知正方形ABCD ,点E 在CD 上,且CE:DE=1:2,EF ⊥EA 交BC 于点F ,则EF:EA=。

7.点D 在△ABC 的边AB 上,且AC ²=AD ·AB ,则△ABC ∽△ACD ,理由是。

8.△ABC 中,点D 、E 分别在边BA 、BC 上,已知BD=23,DA=2
1
,BE ·BC=3,∠A+∠B=135°。

则∠BDE=。

9.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 是AB 的中点,DF ⊥AB 交BC 于E 点,交AC 的延长线于F 点,连结CD 。

若CD=6,DE=4,则DF=.
10.如图,矩形ABCD 中,CE ⊥BD 与E 点,延长后交AD 于P 点,若P 是AD 的中点,则AD:AB=
自我测试 一、选择
1.如图,AD∥BC,AB∥CE,则图中相似的三角形共有( )对。

A.3
B.4
C.5
D.6 2.如图,△ABC 中,BC CD C ⊥︒=∠,90于点D ,BC DE ⊥于E ,则与Rt △CDE 相似的直角三角形共有( )个。

A.3
B.4
C.5
D.6
3.如图,Rt △ABC 中,90,C BD ∠=︒平分,,ABC DE AB ∠⊥若BC=6,AC=8,则CD=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
4.下列命题中,说法正确的个数是( )
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似;
②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似;
③两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例,则这两个三角形必相似;
④两边对应成比例的两三角形相似
A.1
B.2
C.3
D.4
二、简答
5.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在CB、AC的延长线上,∠ADE=60°。

求证:△ABD∽△DCE。

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