工程力学 第三讲

3) 外伸梁 一端或两端 向外伸出的简支梁
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
C FP B C
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q
A
自 由 端
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3.静定单跨梁的类型 q A q
3) 外伸梁 一端或两端 向外伸出的简支梁 FP
B
C自 由 端 B D
C自
由 端
A
双杠横杆
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二、梁的內力——剪力和弯矩
梁截面上的内力必是的一个平行于横截面的内力
置关系图，称为轴力图。
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例4-1 一直杆受拉(压)如图所
示，试求横截面1-1、2-2、3-3
上的轴力，并绘制出轴力图。 解 (1)AB段 ∑Fx=0 FN1–1kN=0 FN1=1 kN （拉） (2)BC段 ∑Fx=0 FN2–1kN+4kN=0 FN2=–3 kN （压） (3)CD段 ∑Fx=0 –FN3+2kN=0 FN3=2 kN （拉） (4)绘制出轴力图
FQ，称为剪力和一个作用面与横截面垂直的内力偶 M，
称为弯矩。
FP M P A
ga2l
∑Fx=0
FN(x)－W ＝ 0
a A
FN(x)＝ga2x x＝0
a
+
FN(x) ＝ 0
x＝l
l
FN(x)
x B
FN(x) ＝ ga2l
FN图 (4)绘制出轴力图
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W=ga2x
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5.2.2 扭矩图
工程中往往有这样一类杆件，在垂直于杆轴线平
面内受到一对大小相等、转向相反的外力偶矩的作用， 杆件任意两横截面绕杆的轴线发生相对转动，如图所 示，将该种变形定义为扭转变形。以扭转变形为主的 杆件，通常被称为轴。为了便于了解轴扭转时的失效，
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第1节 基本概念与基本方法
一、变形固体的基本假设 固体具有可变形的物理性能，通常将其称为变形固体。 变形固体在外力作用下发生的变形可分为弹性变形和塑性变 形。弹性变形是指变形固体在去掉外力后能完全恢复它原来的形 状和尺寸的变形。塑性变形是指变形固体在去掉外力后变形不能 全部消失而残留的部分，也称残余变形。本书仅研究弹性变形，
算方法的推导。尽管由此得出的计算方法只具备近似的
准确性，但它的精度完全可以满足工程需要。
总之，本书研究的变形固体被视作连续、均匀、各
向同性的，而且变形被限制在弹性范围的小变形问题。
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二、内 力 为了研究结构或构件的强度与刚度问题，必须了解
构件在外力作用后引起的截面上的内力。所谓内力，是
轴力正负号的规定：拉力为正，压力为负。 轴力 。
FF PP FP
m
m
FP FN
FN
FP
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5.2 轴力图与扭矩图
应用截面法可求得杆上所有横截面上的轴力。
如果以与杆件轴线平行的横坐标x表示杆的横截面位置，
以纵坐标表示相应的轴力值，且轴力的正负值画在横
坐标轴的不同侧，那么如此绘制出的轴力与横截面位
同截面上的扭矩是不一样的。为了清晰地表达出轴上
各截面的扭矩大小、正负，可以效仿拉压杆轴力图的
方法，绘制出轴的扭矩图 。
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例4-3 设一等截面圆轴如图所示，作用在轴上的外力偶矩Me
分别为： Me1 ＝ 60kN· m ， Me2 ＝ 10kN· m ， Me3 ＝ 20kN· m ， Me4 ＝
纵向对称面 FP q
M
轴 线
F1
F2
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3.单跨静定梁的分类 工程中的梁的横截面一般都有竖向对称轴，且梁上 荷载一般都可以近似地看成作用在包含此对称轴的纵向 平面（即纵向对称面）内，则梁变形后的轴线必定在该 纵向对称面内。这种梁变形后的轴线所在平面与荷载的
作用面完全重合的弯曲变形称为平面弯曲，如图所示。
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一、变形固体的基本假设 1．连续性假设 认为在材料体积内充满了物质，毫无间隙。在此假 设下，物体内的一些物理量能用坐标的连续函数表示 只不过其尺寸与结构尺寸相比极为微小，可以忽略不 计。 2．均匀性假设 认为材料内部各部分的力学性能是完全相同的。所
它的变化规律。实际上，可变形固体内部存在着间隙，
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1．杆件的几何特性
在工程中，通常把纵向尺寸远大于横向尺寸的构件称为杆
件。杆件有两个常用到的元素：横截面和轴线。横截面指沿垂 直杆长度方向的截面。轴线是指各横截面的形心的连线。两者 具有相互垂直的关系。 杆件按截面和轴线的形状不同又可分为等截面杆、变截面
杆及直杆，曲杆与折杆等。
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例4-1
2 1 1kN 4kN A 1 B 2
1kN 1kN 4kN
3 5kN 2kN
C
3 D
FN1 FN2 FN3 2kN
+
－
2kN
FN图
1kN +
3kN
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例4-2 竖杆AB如图所示，其横截面 解 为正方形，边长为 a, 杆长为 l,材料的堆
密度为，试绘出竖杆的轴力图。
例4-2
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3.静定单跨梁的分类
1)简支梁 1.弯曲变形和平面弯曲 A B q
一端
为固定铰支座, 另一端为可动 铰支座的梁
A
B
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3.静定单跨梁的分类
2)悬臂梁 A 固 定 端 q B FP B 自 由 端
一端为固
定端 , 另一端为自由
端的梁
A
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3.静定单跨梁的分类
Me——轴扭转外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· m）。
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一、扭矩T
传动轴的外力偶矩 Me 第一步：将轴沿 m-m处假 计算出来后，便可通过截 想地截开，取其中任意一 面法求得传动轴上的内 段作为研究对象。 力——扭矩。 第二步：分析可知，由于 设有一圆截面轴如图所 左端有外力偶作用，为了 示，作用在轴上的外力偶 使其保持转动平衡，则在 矩Mem 已知，轴在 Me作用下 截面 -m必然存在一内力 处于转动平衡。现仍用截 偶矩 ,称为扭矩T。它是截 第三步：由转动平衡方程 T－ Me =0 T=Me
例4-4
20 kW ＝637 N· m 300r/min 计算Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ截面的扭矩。由截面法可以分别求得
T1=MeA=1592 N· m T2=MeC＝637 N· m (4)绘制出轴力图
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从扭矩图可知最大扭矩发生在AB段内，其值为Tmax=1592 N· m。 如图所示。 可以看出，此时最大扭矩的绝对值为Tmax＝955 N· m。由此
以，在研究结构时，可取构件内部任意的微小部分作
为研究对象。
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一、变形固体的基本假设 3．各向同性假设 认为材料沿不同方向具有相同的力学性能。这使研
究的对象局限在各向同性的材料之上。如钢材、铸铁、
玻璃、混凝土等。若材料沿不同方向具有不同的力学性 质，则称为各向异性材料，如木材、复合材料等。本书 着重研究各向同性材料。 由于采用了上述假设，大大地方便了理论研究和计
弯曲变形为主的杆件，通常称为梁。
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梁是一类很常见的杆件，在建筑工程中占有重要的地位。 例如图所示的吊车梁、雨蓬、轮轴、桥梁等。
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一、梁的平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，这
根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称面。
如果作用于梁上的所
有荷载都在梁的纵向对称 面内，则变形后梁的轴线 将在此平面内弯曲，这种 弯曲称为平面弯曲。
例4-3
T2=Me1－Me2－Me3 ＝30 kN· m
(4)绘制出轴力图
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例4-4 图4－10(a)为一传动轴，已知轴的转速n=300r/min，主
动轮A的输入功率PA=50 kW，从动轮B、C输出功率分别为PB=30
kW，PC=20 kW。试求Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ截面的扭矩,并作出传动轴的 扭矩图。又问如何减小最大扭矩？ 解(1)计算外力偶矩 50 kW MeA=9549 ＝1592 N· m 300r/min 30 kW MeB=9549 ＝955 N· m 300r/min MeC=9549
（4） 弯曲
在一对大小相等、转向相反，位于杆的纵向平面
内的力偶作用下，或者在杆的纵向对称面内受到与轴
线垂直的横向外力作用，使杆件任意两横截面发生相
对倾斜，且杆件轴线变为曲线 。
M
M
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一、轴力 为了对拉、压杆的失效计算，首先必须要分析其内 第三步：平衡方程，求出未知内力，即轴力。由 第一步：沿需要求内力的横截面，假想地把杆件截成两 第二步：取任意一段作为研究对象，标上内力。由于 力。截面法是求杆件内力的基本方法。下面通过求解图 FN-F=0 部分。 内力与外力平衡，所以横截面上分布内力的合力 FN的 所示拉杆 m-m横截面上的内力来具体介绍截面法求内力。 得 FN＝F 作用线也一定与杆的轴线重合。这种内力的合力称为
即把结构看成完全弹性体。
工程中大多数结构在荷载作用下产生的变形与结构本身尺寸 相比是很微小的，故称之为小变形。本书研究的内容将限制在小
变形范围，即在研究结构的平衡等问题时，可用结构的变形之前
的原始尺寸进行计算，变形的高次方项可以忽略不计。 为了研究结构在荷载作用下的内力、应力、变形、应变等，
在作理论分析时，对材料的性质作如下的基本假设。
为了改善最大扭矩，使之处于受载合理，可以把A、B轮对调，
可见，传动轴上输入与输出功率的轮子的位置不同，轴的最大
绝对值扭矩也不同。显然采用后者布局方式较合理。
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5.3 剪力图与弯矩图
一、基本概念 1.弯曲
在工程中常常会遇到这样一类杆件，它们所承受
的荷载是作用线垂直于杆轴线的横向力，或者是作用 面在纵向平面内的外力偶矩。在这些荷载的作用下， 杆件相邻横截面之间发生相对转动，杆的轴线弯成曲 线，这类变形，在本章第1节中，定义为弯曲。凡以
FP
FP
FP
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（2）扭转 在一对转向相反、
位于垂直杆轴线的两平
面内的力偶作用下，杆 任意两横截面发生相对 转动。
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（3） 剪切
在一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的 横向力作用下，杆件的横截面将沿力作用线方向发生 错动
FP
FP
δ
FP
m一页
δ
返回
30kN· m。试计算Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的扭矩，并绘制出该 轴的扭矩图。 解(1) Ⅰ－Ⅰ截面 ∑Mx=0 －Me1+ T1 =0 T1=Me1＝60 kN· m (2) Ⅱ－Ⅱ截面 ∑Mx=0 －Me1＋Me2 + T2 =0 T2=Me1 －Me2 ＝50 kN· m (3) Ⅲ－Ⅲ截面 ∑Mx=0 T3－Me1＋Me2 ＋Me3 =0
2．杆件的基本变形 杆件在外力作用下，实际杆件的变形有时是非常 复杂的，但是复杂的变形总可以分解成几种基本的变 形形式。杆件的基本变形形式有四种：
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（1）轴向拉伸或轴向压缩
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重 合的外力作用下，使杆件发生长度的改变(伸长或缩短)。
轴向拉伸
FP 轴向压缩
必须要计算轴在扭转时的横截面上的内力。本节仅限
于圆轴的内力计算。
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一、外力偶矩Me的计算
工程中作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出
的，而是给出轴的传递功率及轴的转速，需要把它换
算成外力偶矩。它们之间的关系为： Me＝9549P/n（N· m） (4-1) 式中 P——轴的传递功率，单位为千瓦（kW）； n——轴的转速，单位为转/分（r/min）；
指由于构件受外力作用以后，其内部各部分间相对位置
改变而引起的相互作用力。
必须指出的是，构件的内力是由于外力的作用引起 的。因此，又称为“附加内力”。
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三、构件的基本变形 土木工程力学在研究构件及结构各部分的强度，
刚度和稳定性问题时，首先要了解杆件的几何特性及
其变形形式。
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面法求任意m-m截面上的 面上分布内力的合力偶矩。 内力。
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扭矩的正负号作如下规定：用右手四指沿扭矩
转向，若大拇指指向与截面的外法线方向相同，则 为正；反之，大拇指指向与截面的外法线方向相反， 则为负。该方法称为右手螺旋法则。
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三、扭矩图
若在轴上有多个外力偶矩作用时，显然，轴上不
第5章
杆件的内力图
第1节 基本概念与基本方法
第2节 轴力图与扭矩图 第3节 剪力图与弯矩图 第4节 结论与讨论
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第5章
杆件的内力图
之前已经研究了结构在荷载作用下的平衡 问题，那时都是假设结构不变形的，然而，实 际上任何结构都是可变形固体组成的。它们在 荷载作用下将产生变形，因而内部将由于变形 而产生附加的内力。本章就是要在了解结构的 基本变形的基础上，集中研究静定结构的内力。