新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件

所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n＋n 1·n－n 1·nn－ －21·…·23＝n＋2 1．
2，n＝1， 所以 an＝2nn－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的步骤 (1)利用 a1＝S1 求出 a1． (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时的值是否符合 n≥2 时的表达式，再写出通项公 式 an．
式 an＝59(10n－1)．
1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n， (－1)n＋1 表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项 公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题 (3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通 过联想 10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111 进而得 到通项公式．
考点2 由Sn与an的关系求通项——综合性
(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n，则此数列的通项 公式为 an＝________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为 an ＝________．
3，n＝1， (1)2n－11 (2)2n－1，n≥2.
解：(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式 an＝(－ 1)n·nn1＋1．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数 的乘积，故所求数列的一个通项公式 an＝2n－12n2n＋1．
4．数列的分类
如果数列的项先递增，后递减，则数列有最大项；如果数列的项 先递减，后递增，则数列有最小项．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)所有数列的第 n 项都可以用公式表示出来．
( ×)
(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．
考向 1 累加法 已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln 1＋1n，求数列{an}
的通项公式．
解：因为 an＋1＝an＋ln 1＋1n， 所以 an＋1－an＝ln n＋n 1， 所以 an－an－1＝ln n－n 1(n≥2)， 所以 an－1－an－2＝ln nn－－12，…，a2－a1＝ln 21(n≥2)，
且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2． 所以数列{bn}是以 b1＝4 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 bn＝4·2n－1＝2n＋1， 故 an＝2n＋1－3．
对形如 an＋1＝pan＋q(p≠1)模型求 an，设为 an＋1＋m＝p(an＋m)， 构造{an＋m}为公比为 p 的等比数列，先求出{an＋m}的通项公式，进 而求出 an．其中m＝p－q 1
考向 2 累乘法
在数列{an}中，a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2)，求数列{an}的 通项公式．
解：因为 an＝n－n 1an－1(n≥2)， 所以 an－1＝nn－－21an－2，an－2＝nn－－32an－3，…，a2＝12a1．所以aan－n 1＝ n－n 1，aann－－12＝nn－－21，…，aa21＝12，
公式 表示数列的方法
1．数列的图象是由离散的点(n，an)组成． 2．用递推公式表示数列时，必须含有初始值，初始值可能是一 项，也可能是两项或若干项．
3．an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1，n－nS＝n－11， ，n≥2.
1．当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 不能表示 a1． 2．需要验证当 n＝1 时是否满足统一的 an 与 n 之间的规律，如 果不满足，则通项公式是分段的．
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则 an＝ ________．
4，n＝1， 2n＋1，n≥2
解析：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1．
当 n＝1 时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，显然不满足上式．
4，n＝1， 因此 an＝2n＋1，n≥2.
考点3 由数列的递推关系求通项——应用性
考向 3 待定系数法 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通
项公式． 解：将递推公式 an＋1＝2an＋3 设为 an＋1－t＝2(an－t)，即 an＋1＝
2an－t，解得 t＝－3，故递推公式为 an＋1＋3＝2(an＋3)． 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，
1．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 log2(Sn＋1)＝n＋1，则数
列{an}的通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝32， n，n＝ n≥1， 2
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
B 解析：由 log2(Sn＋1)＝n＋1，得 Sn＋1＝2n＋1，即 Sn＝2n＋1－1． 当 n＝1 时，a1＝S1＝3． 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 显然当 n＝1 时不满足上式． 所以数列{an}的通项公式为 an＝32， n，n＝ n≥1， 2. 故选 B．
所以 an－a1＝ln n－n 1＋ln nn－ －12＋…＋ln 21＝ln n(n≥2)， 所以 an＝ln n＋a1(n≥2)． 又 a1＝2，所以 an＝ln n＋2．
对形如 an＋1＝an＋f(n)的模型求 an，可以将式子变形为 an－an－1 ＝f(n－1)(n≥2)，通过累加方法求通项公式．
概念
含义
数列{an}的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以 通项公式 用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项
公式
前 n 项和
把数列{an}从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数 列{an}的前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝ a1＋a2＋…＋an
(1)数列研究的是有顺序的一列数，归纳与猜想是研究数列的重 要方法．
3，n＝1， 综上有 an＝2n－1，n≥2.
将本例(1)的条件变为：数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝ 2n，求 an．
解：当 n＝1 时，由已知，可得 a1＝21＝2． 因为当 n≥2 时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，① 故 a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1．② 由①－②，得 nan＝2n－2n－1＝2n－1， 所以 an＝2nn－1． 显然当 n＝1 时不满足上式，
解析：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1
－10＝－9；
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11． 当 n＝1 时，2×1－11＝－9＝a1，所以 an＝2n－11．
(2)当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1． 当 n＝1 时，a1＝S1＝21＋1＝3，不满足上式，
第七章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
考试要求：1．了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、公 式法)．
2．了解数列是一种特殊函数．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．数列的概念
概念
含义
数列 按照 确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第 n 项 an
C 解析：因为每一项的绝对值都是该项序号的平方，奇数项符 号为正，偶数项符号为负，所以 an＝(－1)n＋1·n2．故选 C．
4．已知 an＝n2＋λn，且对于任意的 n∈N*，数列{an}是递增数列， 则实数 λ 的取值范围是________．
(－3，＋∞) 解析：因为{an}是递增数列，所以对任意的 n∈N*， 都有 an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
以上(n－1)个式子等号的两端相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n． 当 n＝1 时，a1＝1，上式也成立． 所以 an＝1n(n∈N＋)．
对形如 an＋1＝an·f(n)(f(n)可求积)的模型求 an，先变形为aan－n1＝f(n －1)(n≥2)，再用累乘法求出aan1与 n 的关系式，进而得到数列{an}的 通项公式．
整理得 2n＋1＋λ>0，即 λ>－(2n＋1)．(*) 因为 n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需 λ> －3．
02
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 考点2 考点3 考点4
考点1 由数列的前几项求通项公式——基础性
根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (2)23，145，365，683，1909，…； (3)12，2，92，8，225，…； (4)5,55,555,5 555，…．
(2)有序性是数列的主要特征，数列的项 an 是序号 n 的函数，其 中 n 是正整数．
(3)数列的前 n 项和是从 a1 一直加到 an，而不是从中间取出某 n 项的和．
2．数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an 的对应关系 图象法 把点(n，an) 画在平面直角坐标系中
通项 公 公式 用公式 an＝f(n)，n∈N*给出数列 式 法 递推 使用初始值 a1 和 an＋1＝f(an)或 a1，a2 和 an＋1＝f(an，an－1)等
形如 an＋1＝BaAn＋an C(A，B，C 为常数)的数列，可通过两边同时取 倒数的方法构造新的数列求解．
1．若 a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则 an＝________．
n2－2n＋2 解析：因为 an＋1＝an＋2n－1，所以当 n≥2 时，an －an－1＝2n－3，所以 a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，
( √)
(3)若 an＋1－an>0(n≥2)，则数列{an}是递增数列．
( ×)
(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对于任意 n∈N*，都有 an＋1
＝Sn＋1－Sn．
( √)
2．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－8n＋15，则( ) A．3 不是数列{an}中的项 B．3 只是数列{an}中的第 2 项 C．3 只是数列{an}中的第 6 项 D．3 是数列{an}中的第 2 项或第 6 项
D 解析：令 an＝3，即 n2－8n＋15＝3，解得 n＝2 或 n＝6， 故 3 是数列{an}中的第 2 项或第 6 项．故选 D．
3．数列 1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是( ) A．an＝n2 B．an＝(－1)n·n2 C．an＝(－1)n＋1·n2 D．an＝(－1)n·(n＋1)2
所以 an－a1＝1＋2n－23n－1＝(n－1)2，所以 an＝(n－1)2＋1＝ n2－2n＋2．
又当 n＝1 时，12－2×1＋2＝1，所以 n＝1 时符合上式． 所以 an＝n2－2n＋2．
2．若 a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则 an＝________．
2 n＋1
解析：因为 nan－1＝(n＋1)an，所以aan－n 1＝n＋n 1．又 a1＝1，
考向 4 取倒数法
已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝22＋aan n(n∈N＋)，则 an＝
________．
2 n
解析：因为 an＋1＝22＋anan，所以an1＋1－a1n＝12．因为 a1＝2，即a11
＝12，所以数列a1n是首项为12，公差为12的等差数列，所以a1n＝12＋(n
－1)12＝n2，故 an＝2n．
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都
统一成分数再观察，即12，42，92，126，225，…，从而可得数列的一个
通项公式 an＝n22．
(4)
将
原
数

列
改
写
为
5 9
×9
，
5 9
×99
，
5 9
×999
，
…
，
易
知
数
列
9,99,999，…的一个通项公式为 10n－1，故所求的数列的一个通项公