人教高中数学选修1-1课件：阶段复习课 第三章

易错三 利用导数研究函数的单调性时忽略定义域而 出现错误 【案例3】已知函数f(x)=x2-5x+2ln x,则函数f(x)的 单调递增区间是_______.
【解析】函数求导可得f′(x)=2x-5+
2 2x2 5x 2
x
x
(x>0),当f′(x)= 2x2 >5x0,2
即(2x-1)(x-2)>0, x
(2)如图2, 点E在线段AD上,且铺设电缆线路为CE,EA,
EB,若∠DCE=θ (0
)
,试用θ表示出总施工费用
y(万元)的解析式,并求3y的最小值.
【解析】(1)根据题意得△ABC为等边三角形,因为CD⊥
AD,则水下电缆的最短长度为CD,过D作DF⊥AB于点F,则
地下电缆的最短长度为DF,
因为△ABC为等边三角形,
则DF=BDsin 60°= ,BF=BDcos 60°= ,
3
1
2
2
又因为CD=1,AB=2,则该方案的总费用为:1×4+3 ×2
2
+2×0.5=5+
(万元),此时点F到点B的距离为 3
1km.
2
(2)∠DCE=θ,BD=CD=1,
则BE=CE=1 ,ED=tan θ,AE= -tan θ,
y=
发电站C向村庄A,B供电.已知铺设地下电缆,水下电缆 的费用分别为2万元/km,4万元/km.
(1)如果村庄A与B之间原来铺设有电缆(如图1中线段AB 所示),只需对其改造即可使用,已知旧电缆的改造费用 是0.5万元/km,现决定在线段AB上找一点F建一配电站, 分别向村庄A,B供电,使得在完整利用A,B之间旧电缆进 行改造的前提下,并要求新铺设的水下电缆长度最短, 试求该方案总施工费用的最小值,并确定点F的位置.
1 ×4+cos ×1 2+(
3 -tan θ)×2=2×
+2 cos , cos
3
令g(3θ()0= 3,则) g′(θ)= 3 sin
cos
3sin 1有(1)导数计算错误, (2)不能区分“在”“过”,(3)不能掌握函数在某点处 的导数,就是函数图象在这个点处的切线斜率.
【避错警示】(1)熟练掌握求导公式及求导法则,是解 决导数问题的前提,(2)牢记导数的几何意义:f′(x0) 是曲线y=f(x)在点x0处的切线斜率.
易错二 导数的几何意义掌握不好而出现错误 【案例2】已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲 线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=______.
【解析】由y′=1+ 1 可得曲线y=x+ln x在点(1,1)处 x
的切线斜率为2,故切线方程为y=2x-1,与 y=ax2+(a+2)x+1联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由 Δ=a2-8a=0⇒a=8.
所以-1不是f(x)的零点, 所以选项A错误,选项B,C,D正确,故选A.
【错因探究】本例中,不能掌握函数的导数为零与极值 的关系而出错.
【避错警示】掌握:(1)可导函数在极值点处的导数为 零,反之不成立.(2)可导函数的极值点的个数等于导数 的变号零点个数.
易错五 利用导数解决生活中的优化问题时建模出现 错误 【案例5】(2019·六安高二检测)如图1,一条宽为1 km 的两平行河岸有村庄A和发电站C,村庄B与A,C的直线距 离都是2 km,BC与河岸垂直,垂足为D.现要铺设电缆,从
【补偿训练】已知函数f(x)=2ln x+x2-5x+c在(m,m+1) 上不单调,则m的取值范围是_________.
【解析】f′(x)=
+22x-5=
2 2x2 5x (2x 1)(x 2)
.
x
x
x
令f′(x)=0得x= 1或x=2,
则m<1 <m+1或2m<2<m+1,
解得m2∈ ∪(1,2). 答案: (0∪, 12()1,2)
解得x>2或0<x< ,综上所述,增区间是(2,+∞), .
1 答案: ,(2,+∞2)
(0, 1 ) 2
(0, 1 ) 2
【错因探究】本例中,容易出现增区间为 ( ，1 ) , (2,+∞)的错误,原因是忽略了函数的定义域是(20,+∞).
【避错警示】解答函数的单调性问题,应该首先确定函 数的定义域,否则,写出的单调区间易出错;另外,函数 的单调区间不能出现“并”的错误写法.
的平均加速度
≈3.47(m/s2).
v 100 000 125
a
t 3 6008 36
【错因探究】本例中,错误原因有(1)不知道速度的改 变量与时间的改变量的比值是平均加速度,(2)单位没 有换算,直接用100除以8算出结果为B.
【避错警示】准确理解平均速度,平均加速度,函数的 平均变化率以及瞬时速度,瞬时变化率(导数)的概念, 还要注意实际问题中的单位要统一.
【解析】选A.若选项A错误时,选项B,C,D正确,f′(x)=
2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,
所以 f(1) 即0, 解得 f(1) 3，
b 2a， c 3 a，
2a b 0， a b c 3，
因为点(2,8)在曲线y=f(x)上, 所以4a+2b+c=8, 即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得a=5, 所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8, 因为f(-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=23≠0,
阶段复习课 第三章
易错一 理解导数的概念不透彻而出现错误 【案例1】若一辆汽车从静止到速度为100 km/h只用了 8 s,则它的平均加速度大约为_____m/s2(精确到0.01)
() A.3.47 B.12.5 C.34.72 D.1.25
【解析】选A.因为速度的改变量为Δv=
100 000/3 600(m/s),时间的改变量为Δt=8 s,所以它
(0, 1 ) 2
易错四 利用导数研究函数的极值时忽略导数的符号 改变而出现错误 【案例4】对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数), 四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是 错误的,则错误的结论是 ( )
A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上