【步步高】（江苏专用）2021届高考数学二轮专题冲破 专题四 第1讲 空间几何体 文(1)

第1讲空间几何体

【高考考情解读】柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其大体性质尽管没有单独考查，但作为立体几何最大体的要素是融入在解答题中考查的，它是立体几何的大体．关于立体几何表面积和体积考查要求不高，一样以填空题为主．

1．棱柱、棱锥、棱台

(1)棱柱的性质

侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形．

(2)正棱锥的性质

侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也组成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也组成一个直角三角形．

(3)正棱台的性质

侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形．

(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．

2．圆柱、圆锥、圆台

(1)圆柱、圆锥、圆台的概念

别离以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体别离叫做圆柱、圆锥、圆台．

(2)圆柱、圆锥、圆台的性质

轴截面别离是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆．

3．球

(1)球面与球的概念

半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面．

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心．

(2)球的截面性质

球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系为d ＝R 2－r 2. 4． 空间几何体的两组经常使用公式(不要求经历)

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：

①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)；

②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；

③S 台侧＝1

2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 别离为上下底面的周长，h ′为斜高)；

④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．

(2)柱体、锥体和球的体积公式：

①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)；

②V 锥体＝1

3Sh (S 为底面面积，h 为高)；

③V 台＝1

3(S ＋SS ′＋S ′)h ；

④V 球＝4

3πR 3.

考点一 几何体的表面积

例1 如图，斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为a 的正三角

形，侧棱长为b ，侧棱AA ′与底面相邻两边AB 与AC 都成45°角，

求此斜三棱柱的表面积．

由题意，可知A ′在平面ABC 内的射影D 在∠BAC 的角

平分线上，从而可证得四边形BCC ′B ′是矩形．

解 如图，过A ′作A ′D ⊥平面ABC 于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，

DF ⊥AC 于F ，

连结A ′E ，A ′F ，AD .

那么由∠A ′AE ＝∠A ′AF ，

AA ′＝AA ′，

得Rt△A ′AE ≌Rt△A ′AF ，

∴A ′E ＝A ′F ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ，

又∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥AA ′，

而AA ′∥BB ′，∴BC ⊥BB ′，

∴四边形BCC ′B ′是矩形，

∴斜三棱柱的侧面积为2×a ×b sin 45°＋ab ＝(2＋1)ab . 又∵斜三棱柱的底面积为2×34a 2＝3

2

a 2， ∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)a

b ＋3

2a 2.

此题构作辅助线的方式具有典型意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮忙．

一个正三棱台的上、下底面边长别离是3 cm 和6 cm ，高是32

cm. (1)求三棱台的斜高；

(2)求三棱台的侧面积和表面积．

解 (1)设O 1、O 别离为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三

角形的中心，如下图，那么O 1O ＝32

，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ， 则D 1D 为三棱台的斜高；

过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，那么D 1E ＝O 1O ＝32

， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36

×6＝3，

则DE ＝OD －O 1D 1＝

3－32＝32. 在Rt△D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′别离为上、下底的周长，h ′为斜高，

S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732 (cm 2)， S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934

(cm 2)． 故三棱台斜高为

3 cm ，侧面积为2732 cm 2， 表面积为9934

cm 2. 考点二 几何体的体积

例2 如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长都是a ，

截面AB 1C 和截面A 1BC 1相交于DE ，求四面体B —B 1DE 的体积．

解 方式一 取BB 1中点F ，连结DF ，EF ，

则V 四面体B —B 1ED ＝V 锥B 1—DEF ＋V 锥B —DEF

＝1

3B 1F ·S △DEF ＋13

BF ·S △DEF ＝13BB 1·S △DEF ＝13a ·34×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝348

a 3. 方式二 取BB 1中点F ，连结DF ，EF ，

则V 四面体B —B 1DE ＝2V 锥B 1—DEF

＝2·18

·V 锥B 1—ABC ＝2×18×13×34a 3＝348

a 3. 方式三 设A 、D 两点到平面BCC 1B 1的距离别离为h 、h ′，那么h ′＝12h ＝34

a . V 锥D —BB 1E ＝13h ′·S △BB 1E ＝13h ′×14

S 正方形BB 1C 1C ＝13×34a ×14a 2＝348

a 3. 计算体积要注意几何体的割补，棱锥的性质和选择适当的底面求出对应的高．

(1)(2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设