2021届超级全能生高考数学联考试卷(文科)(5月份)(甲卷)(含答案解析)

2021届超级全能生高考数学联考试卷(文科)(5月份)(甲卷)

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.集合，，则()

A. B. C. D.

2.若复数z=，则ln|z|=()

A. −2

B. 0

C. 1

D. 4

3.“抛掷两枚骰子，所得的一个点数恰好是另一个点数的2倍”的概率为()

A. 1

6B. 5

36

C. 1

9

D. 1

12

4.已知a⃗=(−3,2),b⃗ =(−1,0)，向量λa⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 垂直，则实数λ的值为()

A. 1

5B. −1

5

C. 1

7

D. −1

7

5.已知等比数列的前n项和，则b的值为()

A. −4

B. −1

C. 0

D. 1

6.如图所示的程序框图中输出的a的结果为()

A. 2

B. −2

C. 1

2

D. −1

2

7.已知直线x+ay−1=0是圆C：x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴，过点A(−4,a)作圆C的

一条切线，切点为B，则|AB|=()

A. 2

B. 6

C. 4√2

D. 2√10

8.若函数f(x)=e x，则f′(1)=()

A. 0

B. 1

C. e

D. 1

e

9. (sin22.5°+cos22.5°)2的值为( )

A. 1−√22

B. 1+√22

C. √2−1

D. 2

10. 已知抛物线上一点P 到y 轴的距离为6，则点P 到焦点的距离为( )

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

11. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0，2)，B(1,−3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离

相等，则M 的坐标是( )

A. (0,−1,0)

B. (0,1，0)

C. (1,0，1)

D. (0,1，1)

12. 若双曲线

x 2a 2

−y 2

b 2=1的一条渐近线经过点(3,−√7)，则此双曲线的离心率为( )

A. √23

B. 4√77

C. 4

3

D. 5

3

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设x ，y 满足约束条件{x ≤0

y ≤0x 3a +y 4a

≤1(a <0)，若z =y−1x−1的最小值为(x 2−1

x 3)5的展开式的常数项的

140

，则实数a 值为______ ．

14. 已知函数f(x)=x(x +k)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y =3x +a ，则数列{1

f(n)}的前

2017项和为______． 15. 已知数列{a n }中，

a 1=,[ a n ]表示a n 的整数部分，

(a n )表示a n 的小数部分，a n+1=

(

)，数列{b­­n }中，b 1=1，b 2=2，()，则a 1b 1+ a 2b 2+…+a n b n = 16. 已知

，若

是

的充分条件，则实数a 的取值范围

是 ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a +1

2b =c ⋅cosB ． (Ⅰ)求角C ；

(Ⅱ)若a =2，b =3，求cos(2A −C)．

18. 根据辽宁省期初教育工作会议精神，我省所有中小学全部取消晚自习，某校高二年级共有学生

1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n

名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组

①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240)，得到频率分布直方图如下．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人；

(1)求n的值并补全下列频率分布直方图；

(2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完

成下列2×2列联表：

利用时间充分利用时间不充分总计

走读生502575

住宿生101525

总计6040100

是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽

到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望；

参考公式：K2=n(n11n22−n12n21)2

(n22+n21)(n11+n12)(n11+n21)(n12+n21)

．

19. 如图所示的几何体由斜三棱柱ABC−A1B1C1和A2B2C2−A1B1C1组成，

满足：平行四边形ABB1A1与A2B2B1A1、平行四边形BCC1B1与B2C2C1B1、

平行四边形CAA1C1与C2A2A1C1分别全等，且点T为AA2的中点．

(Ⅰ)若A1、C1、T三点不共线，求证：AA2⊥面A1C1T；

(Ⅱ)若AB=AC=AA1，面AA1B⊥面ABC，侧棱AA1和底面ABC所成的角

是60°，求证：面A1B2C2//面BCC1B1．

20. 已知椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0)，且过点(2√3,√3)．

(1)求椭圆的标准方程：

(2)设直线l：y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为M，另一个交点为G，过点F且斜率为−1的

直线与l交于点N，S△FGM

S△MNF =10

3

，求k的值．