2021年高中数学一轮复习·解三角形：第3节 判断三角形的形状

第3节判断三角形的形状
【基础知识】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【规律技巧】
注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【典例讲解】
例1、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B
＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝π
2，故选B.
【答案】B
【变式探究】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．
【针对训练】
1．在中，为内角，且，则是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，所以，因此，又因为和是三角形内角，所以或者，即或，所以是等腰或直角三角形.故选D.
考点：1、二倍角公式；2、诱导公式.
2．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，所以，
即，即（舍）或，所以，即三角形为直角三角形；故选B．
考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．三角形的内角和定理．
3．在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
试题分析：
,三角形为等腰三角形
考点：1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式
【练习巩固】
1．在中,若,则是（）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．等腰或直角三角形
D．直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：或
，因此三角形为直角三角形
考点：1．正弦定理；2．三角函数基本公式
2．（2012•惠州模拟）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（）A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】C
考点：三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．
3．（2015秋•宁德校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若b2+c2=a2+bc，求角A的大小；
（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．
【答案】（Ⅰ）A=；（Ⅱ）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=，又结合∠A是△ABC的内角，即可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函数的图象和性质可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．
解：（Ⅰ）∵由已知得cosA===，
又∵∠A是△ABC的内角，
∴A=．
（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B．
∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B或
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
考点：正弦定理．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B＝bcos A，则△ABC是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
试题分析：根据正弦定理，边化角，得到，整理为，得到，
即，所以是等腰三角形．
考点：三角函数恒等变换的应用；三角形形状的判定．
5．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定
【答案】A
【解析】
试题分析：
，三角形为直角三角形
考点：1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式
6．（2014秋•九原区校级期中）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D。