立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理定理推论
立体几何公理、定理推论汇总
一.公理及其推论
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：Ael,Bel,Aea.Bea^>l<^a
作用: ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的勺
公理2|如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一
条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一务冬直线）
〉 --- - 7
符号语言：= \
作用：①用来证明两个平面是相交关系；
②用來证明多点共线，多线共点。

/ / 公酮经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

X ;/
符号语言：A.B.C不共线确定一个平面
推论1|经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
符号语言：A^a=＞有且只有一个平面a,使Aw a, aua
推论2|经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：ar\b = Pd有且只有一个平面a,使aua, bua
经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号沽•言：a//b=＞有且只有一个平面a,使aua, bua
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

a // b
符号语言：
di b
作用：用来证明线线平行。

二.平行关系
面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（7）
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1） --------- ------------
all b\ 符号语詁cllb\^allC
线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行。

（2） a cc 符号语言：bua >=> a//a allb 图形语言: 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行。

（3） all a 符号语言：QU0 ‘ = allb a[}p = b
图形语乍 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行.（4） (a u a 、
b u = 0、
符号语言： d//0
blip
图形语言: 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

（5） a V oo 符号语言：0丄 图形语言 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（6） all p
符号语话：a(\y = a
0W"
> => a//b 图形语言: 符号语言r 〃" aaa
>=>d//0
图形语言:
而面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平
面。

（8）
符号语言:
山1卩
\ a丄
a）
=> "丄0
面面平行的性质3平行于同一个平面的两个平面平行。

all
符号语言：Y II p\aal"
平行垂直关系图系
三、垂直关系
三垂线定理在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（10）
符号语言:
PA丄a
POD Q =O丄
PA
aua且a丄AO
图形语言:
三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）
线面垂直的判定定理
那么这条直线垂直于这个平面。

（12）
llm
符号语言：
/丄〃
丄Q
图形语言：
线面垂直的判定I 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

(13)
a lib} 符号语言：(/丄& n
b 丄仪
线面垂直的性质定理|如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两
条首处平窣以八 符号语言：:二 图形语言： / ° / 线面垂直的性质如果一
条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
(15)。

丄&
符号诰言：<
?=>«丄b
bua
而面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

(16)
符号语言:
面面垂直的性质定理|如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面。

(17)
a 丄0
符号语言：
a^\P = CD
=> AB 丄0
图形语言：
AB u a 且A3 丄 CD
图形语言:
图形语言:
图形语言:
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，
且有cos3 = cos-cos02（其中如图中所示）
空间角和距离的概念
平面图形空间图形
异面直线直线和平面两个平面
夹角图示
定义异面直线所成的角：直线与平面所成的
角：
二面角的平面角：范围0° <(9<180°0° <6>< 90°0° <<9<90°0° <6><180°
距离图示
定义两平行直线间的
距离：异面直线间的距离：平行直线和平面的距
离：
平行平面间距离：
最小角定理。