推荐-高中数学人教A版必修1课件1.3习题课 单调性与奇偶性的综合应用(1)

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探究一应用函数的单调性与奇偶性判定函 数值的大小 【例1】已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数, 则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)
∵-2<-3<-1,又 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
2
∴f(-2)<f
-
3 2
<f(-1).故选 D.
答案:D
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4.若偶函数 f(x)在(-∞,0]上是增函数,则 f(-5),f( 3),f(-2),f(4)的大小关
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探究二应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式
【例 2】已知定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上是减函 数,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值范围.
解:因为 f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数, 所以 f(x)在[-2,2]上为减函数.
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变式训练1 若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不 变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
解:因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π). 又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-
2)>f(-3)>f(π).
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1.函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上 的概念,因此在判断函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区 间. 2.在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函 数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数. 3.如果f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们定义域中的公共区 间上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶. 4.若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区间[b,-a]上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减) 函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称 的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上 的单调性相反. 5.若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则
f(x)=f(-x)=f(|x|).
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做一做1 若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)( ) A.在[1,7]上是增函数 B.在[-7,2]上是增函数 C.在[-5,-3]上是增函数 D.在[-3,3]上是增函数 解析:因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1,即 f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的图象(图略)知选C. 答案:C
)<0,则
f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列
为
.
解析:由已知条件可知 f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以 f(3)<f(2)<f(1).
再由偶函数的性质得 f(3)<f(-2)<f(1).
答案:f(3)<f(-2)<f(1)
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∴f(-1)=f(1). 又f(4)>f(1),f(4)>f(-1). 答案:D
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2.已知当x>0时,f(x)=x-2 017,且f(x)在定义域上是奇函数,则当x<0 时,f(x)的解析式是( ) A.f(x)=x+2 017 B.f(x)=-x+2 017
解:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,f(a+1)>f(3-a), ∴f(-|a+1|)>f(-|3-a|), ∴-|a+1|>-|3-a|,∴|a+1|<|3-a|, ∴a2+2a+1<9-6a+a2, ∴a<1.故实数a的取值范围为(-∞,1).
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5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值 范围. 解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a), ∵f(x)为奇函数, ∴-f(4-2a)=f(2a-4), ∴f(3a-10)<f(2a-4). 又f(x)在R上是减函数, ∴3a-10>2a-4,∴a>6. 故a的取值范围为(6,+∞).
C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析:∵f(x)在R上是偶函数, ∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3). ∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数, ∴f(2)<f(3)< f(π), ∴f(-2)<f(-3)<f(π).故选A. 答案:A
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1.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成 立的是( )
A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)
C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4) 解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
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3.若 f(x)满足 f(-x)=f(x),且 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f
-
3 2
<f(-1)<f(2)
B.f(-1)<f
-
3 2
<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f
-
3 2
D.f(2)<f - 3 <f(-1)
2
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),
系为
.
解析:由于 f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以 f(x)在[0,+∞)上
是减函数,且 f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).
因为 3<2<4<5,所以 f(5)<f(4)<f(2)<f( 3).
故 f(-5)<f(4)<f(-2)<f( 3).
答案:f(-5)<f(4)<f(-2)<f( 3)
C.f(x)=-x-2 017 D.f(x)=x-2 017 解析:当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x-2 017.
因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 017.故选A. 答案:A
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习题课——单调性与奇偶性的综合应用
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学习目标 思维脉络
1.掌握利用函数 奇偶性求函数 解析式的方法. 2.理解并运用函 数的单调性与 奇偶性解决比 较大小、求最 值、解不等式 等综合问题.
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做一做2 若奇函数f(x)满足f(3)<f(1),则下列各式中一定成立的 是( )
A.f(-1)<f(-3) B.f(0)>f(1)
C.f(-2)<f(3) D.f(-3)<f(5) 解析:因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)<f(1),所 以-f(-3)<-f(-1),所以f(-3)>f(-1). 答案:A
又 f(1-m)<f(m),
-2 ≤ 1-������ ≤ 2,
所以 -2 ≤ ������ ≤ 2,
1-������ > ������,
-1 ≤ ������ ≤ 3,
即 -2 ≤ ������ ≤ 2, ������ < 1 .
2
解得-1≤m<12. 故实数 m 的取值范围是-1≤m<1.
2
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做一做 3 定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意的 x1,x2∈
[0,+∞)(x1≠x
2),有������
(������1 )-������ (������2 ������1 -������2
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变式训练2 若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增函数,且f(a+1)>f(3-a), 求实数a的取值范围.
再见
2019/11/23