第9讲分层演练直击高考

A ．y ＝2x －2
B ．y ＝12(x2－1)
C ．y ＝log2x
D ．y ＝log 12x
解析：选B ．由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化
随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B ．
2．某工厂6年来生产某种产品的情形是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时刻t(年)的函数关系图象正确的是( )
解析：选A ．前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A ．
3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时刻叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A ．5.2
B ．6.6
C ．7.1
D ．8.3
解析：选B ．设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log0.912＝lg 12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1
≈6.6(年)．故选B ．
4．某单位为鼓舞职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工那个月实际用水为( )
A ．13 m3
B ．14 m3
C ．18 m3
D ．26 m3
解析：选A ．设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx(0<x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m(x>10)， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，
解得x ＝13.
5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )
A ．x ＝15，y ＝12
B ．x ＝12，y ＝15
C ．x ＝14，y ＝10
D ．x ＝10，y ＝14 解析：选A ．由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y)，因此S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，
因此当y ＝12时，S 有最大值，现在x ＝15.检验符合题意．
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情形．
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时刻内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时刻总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8，
由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：9
8．里氏震级M 的运算公式为：M ＝lg A －lg A0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，现在标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析：M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，
则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A0，则A1A0＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg A2A0，则A2A0＝105，因此A1A2＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
答案：6 10 000
9．某医药研究所开发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时刻t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量许多于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时刻． 解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t ＞1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，
由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4得a ＝3. 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25， 解得116≤t ≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时刻是5－116＝7916(小时)．
10．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)，
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会显现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时显现供水紧张现象．
解：(1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨，
则y ＝400＋60t －1206t ； 令6t ＝x ，则x2＝6t ，即y ＝400＋10x2－120x ＝10(x －6)2＋40， 因此当x ＝6，即t ＝6时，ymin ＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池存水量最少，只有40吨．
(2)令400＋10x2－120x<80，即x2－12x ＋32<0，
解得4<x<8，即4<6t<8，83<t<323.
因为323－83＝8，因此每天约有8小时显现供水紧张现象．
1．某食品的保鲜时刻y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时刻是192小时，在22 ℃的保鲜时刻是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时刻是( )
A ．16小时
B ．20小时
C ．24小时
D ．28小时
解析：选C ．由已知得192＝eb ，①
48＝e22k ＋b ＝e22k ·eb ，②
将①代入②得e22k ＝14，则e11k ＝12，
当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝e33k ·eb ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫123×192＝24，因此该食品在33 ℃的保鲜时刻是24小时．故选C ．
2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，能够生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：选C ．由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N*)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，因此当k ＝9时，获得利润最大．选C ．
3．拟定甲、乙两地通话m 分钟的 费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m ＞0，[m]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的 费为________元．
解析：因为m ＝6.5，因此[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.24
4．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x －0.1x2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，因此可得利润y ＝4.1x －0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，因此当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：43
5．(2021·山西孝义模考)为了迎接世博会，某旅行区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，治理这些自行车的费用是每日115元．依照体会，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车能够全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，同时要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的治理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去治理费用后的所得)．
(1)求函数y ＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115.令50x －115>0，解得x>2.3.
因为x ∈N*，因此3≤x ≤6，x ∈N*.
当x>6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.
令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x2－68x ＋115<0.
又x ∈N*，因此6<x ≤20(x ∈N*)， 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈N*)，－3x2＋68x －115(6<x ≤20，x ∈N*). (2)关于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N*)，明显当x ＝6时，ymax ＝185. 关于y ＝－3x2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈N*)， 当x ＝11时，ymax ＝270.又因为270>185，
因此当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
6．(2021·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，依照以往的种菜体会，发觉种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投
入a(单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x(单
元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，
则乙大棚投入150万元，
因此f(50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋42x ＋14(200－x)＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 故f(x)＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．
令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋2
82，
当t ＝82，即x ＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max ＝282.
因此甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。