上海2021年六年级数学 1.4 公因数与最大公因数

1.4公因数与最大公因数
思考
植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？
分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
32的因数有：1，2，4，8，16，32；
24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．
因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．
例1求8，9和30的最大公因数．
解：8的因数有：1，2，4，8；
9的因数有：1，3，9；
30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．
因此，8，9和30的最大公因数是1．
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
例1中的8和9就是互素．
例2求18和30的最大公因数．
解：把18和30分别分解素因数．
18＝2×3×3，
30＝2×3×5．
可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．
归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．
例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c 的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．
分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c ＝15，符合题意，从而可以求得答案．
解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a ＋b＋c的最小值为31．
练习1.4
1．2520的因数有多少个？
2．求24，44，60的最大公因数．
3．分数11111
15015是不是最简分数？
4．一块长方形木料，长72cm，宽60cm，高36cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？
5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？
练习1.4练习答案
1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．
2．4．
3．是．
4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12cm，共90块．
5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．
1.4《公因数与最大公因数》练习
1．填空．
12的因数是；
18的因数是；
12和18的公因数是；
12和18的最大公因数是．
2．填空．
（1）3、4和5的最大公因数是；
（2）18、24和36的最大公因数是；
（3）6、7和12的最大公因数是；
（4）8、9和15的最大公因数是．
3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）
4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．
A．2B．5C．10D．6
5．求出12、18和24的最大公因数．
6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．
7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？
1.4《公因数与最大公因数》练习答案
1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．
2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．
3．不一定．
4．C．
5．6．
6．6，10，15等（答案不唯一）．
7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。