江西省宜市万载县高二数学上学期期中试卷(含解析)

2016-2017学年江西省宜春市万载县高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）
A．11 B．10 C．7 D．3
2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）
A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个
3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）
A．a2＞b2B．
C．ac2＞bc2D．
4．下列函数中，最小值为2的函数是（）
A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）
C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．
5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，
）
7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）
A． m B． m C．
m D． m
8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2），则S n等于（）
A．B．C．D．
9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）
A．2 B．1 C．D．
10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：
①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，
=2cosC，则
c=（）
A．2B．4 C．2D．3
12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）
A．1992 B．1990 C．1873 D．1891
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．
14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则
等于．
15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．
16．设M是
，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p 分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，
的最小值是．
三、解答题
17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．
18．变量x，y满足
（1）设z=，求z的最小值；
（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．
19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
，
，且．
（I）求角C；
（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．
20．已知函数y=的定义域为R．
（1）求a的取值范围．
（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．
21．已知关于x的不等式 x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．
（Ⅰ）解该不等式；
（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．
22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n 与 4（n+1）b n+1的大小，并证明你的结论．
2016-2017学年江西省宜春市万载县株潭中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）
A．11 B．10 C．7 D．3
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，
∴2a1+4d=8，a1+3d=7，
解得a1=﹣2，d=3．
则a5=﹣2+4×3=10．
故选：B．
2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）
A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，
化为：c2+6c+11=0，
△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．
∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．
故选；A．
3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）
A．a2＞b2B．
C．ac2＞bc2D．
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；
B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；
C、当c=0时，则ac2=bc2，；
D、由c2+1≥1可判断．
【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；
对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；
对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；
对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；
故选：D
4．下列函数中，最小值为2的函数是（）
A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）
C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】A．x＜0时，y＜0．
B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．
C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．
D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．
【解答】解：A．x＜0时，y＜0．
B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴
y=sinθ+=2，最小值不可能为2．
C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥
=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．
D. +＞=2，最小值不可能为2．
故选：C．
5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【考点】HP：正弦定理．
【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．
【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∴2A=2B或2A+2B=180°，
∴A=B或A+B=90°，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）
D．（﹣3，）
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．
【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，
由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2
所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，
化为：（2x﹣1）（x+3）＜0
解得﹣3＜x＜，
所以不等式解集为：（﹣3，）
故选：D．
7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）
A． m B． m C．
m D． m
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【解答】解：如图，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．
故选：B．
8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2），则S n等于（）
A．B．C．D．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差
数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．
【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，
所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，
以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，
又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，
所以=，
则数列的前n项和为S n= = =，
故选：B．
9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）
A．2 B．1 C．D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，
∴﹣1=﹣2a，
解得a=．
故选：C．
10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：
①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．
【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，
∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，
且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；
再由S2016＞S2014，
得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，
S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；
S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．
故选：A．
11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，
=2cosC，则
c=（）
A．2B．4 C．2D．3
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．
【解答】解： =
==1，
即有2cosC=1，
可得C=60°，
若S△ABC=2，则absinC=2，
即为ab=8，
又a+b=6，
由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab
=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，
解得c=2．
故选C．
12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）
A．1992 B．1990 C．1873 D．1891
【考点】F1：归纳推理．
【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求
【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，
因此第100个括号应在第25组第4个括号，
该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，
因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，
故选A．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．
【考点】21：四种命题．
【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．
【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．
14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则
等于．
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】利用==，即可得出结论．
【解答】解：
====．
故答案为：．
15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．
【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，
由题意可知，即，
解得k＞1．
故答案为：（1，+∞）．
16．设M是
，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p 分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，
的最小值是18 ．
【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB
的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．
【解答】解：由，
得，
所以，
∴x+y=，
则
，
当且仅当时，的最小值为18．
故答案为：18
三、解答题
17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．
【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．
【分析】由题意可得 2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．
【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即 2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），
由于a1≠0，
∴2q2+q=0，又q≠0，
∴q=﹣．
18．变量x，y满足
（1）设z=，求z的最小值；
（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；
（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．
【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，
如图阴影部分所示：
由，解得A（1，），
由，解得C（1，1），
由，可得B（5，2），
（1）∵z==，
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，
观察图形可知z min=k OB=；
（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，
结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，
d min=4，d max=8．
故z的取值范围是．
19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
，
，且．
（I）求角C；
（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．
【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；
（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．
【解答】解：向量，
，且．
（I）∵，
∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．
由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，
∴a2﹣c2=（a﹣b）b．
由余弦定理：cosC=．
∵0＜C＜π，
∴C=．
（II）△ABC的面积S=absinC，
∵C=，R=，
∴c=2RsinC=．
由余弦定理：得a2+b2=6+ab．
∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）
∴ab≤6．
故得△ABC的面积S=absinC=．
∵C=，a=b．
此时△ABC为等边三角形．
20．已知函数y=的定义域为R．
（1）求a的取值范围．
（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．
【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．
【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；
（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0，求解集即可．
【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，
∴ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；
当a≠0时，须，
即，
解得0＜a≤1；
综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
（2）∵函数y的最小值为，
∴≥，a∈；
∴ax2+2ax+1≥；
当a=0时，不满足条件；
当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；
∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，
解得﹣＜x＜；
∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．
21．已知关于x的不等式 x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．
（Ⅰ）解该不等式；
（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）原不等式化为（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．
（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为（x﹣3a）＜0，…
当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，
原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…
当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，
原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…
综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，
当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，
当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．
（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…
当a≠1且a≠2时，，a∈．…设t=a2+2﹣3a，a∈，
则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…
∴当a=4时，d max=6．…
22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n 与 4（n+1）b n+1的大小，并证明你的结论．
【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．
【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式
（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与
4（n+1）b n+1的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）
=
通过讨论n的范围判断两式的大小
【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得
n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1
∵{a n}是等比数列
∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1
（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得
T n=b1+b2+…+b n
=
两式相减可得，
=
4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）
=
而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3
当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）
所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1
那么同理可得：当
时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1
综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1；
当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。