走美杯孩子考试情况分析和试题分析

2012年走美杯孩子考试情况分析和试题分析
2012年3月18日举行了2012年走美杯比赛，考试时间90分钟，试卷满分150分。

试题分布：1～5题各8分，6～10题各10分，11～15题各12分。

15道题目，孩子做了13道空了2道。

答案正确的： 3道(前五题)+3道(中间五题)+4道(后五题)＝10道，得分102分。

答案错误的和没有作答的：2道(前五题)+2道(中间五题)+1道(后五题)＝5道，这5道题目的题号是：3(空)、4(错)、6(错)、7(错)、12(空)。

做了13道对了10道，仅从正确率来看，孩子本次考试还是不错的。

错的题目中也有简单题目，例如数字迷那道题不是很难，做错了，但是同时也有不是难题孩子做出来了，例如年龄问题的第8题，五个数的数论问题的第10题都做对了，而且12分的5道题目做了4道都对了，有1道12题不会做。

从整体表现来看，孩子是值得表扬和肯定的。

从大家的反映情况来看，似乎比去年的题目要难，而且比前一天举行的华杯赛初赛和上周举行的希望杯初赛更要难上很多，从这个角度来看，孩子对于越难的题目得分越好，越简单的题目分数越不理想。

前一天参加的华杯赛初赛，10道题目满分100分(6道选择题4道填空题，每题10分)，挺简单的，但是孩子只得了60分，选择题错了2个（第5、6题），填空题错了1个空着1个（第8题不会做），很多孩子满分或者八九十分。

前一周参加的希望杯初赛，20道题目满分120分(20道题全部是填空
题，每题6分)，更简单，但是孩子只得了83分，全对11道，部分对5道，全错4道（第18题已经算到最后一步56÷4了，计算错误得个16，这种错误多冤枉呀，不是不会而是不仔细呀），很多孩子超过了100分。

希望杯虽然进了复赛，但是也反映出来孩子的问题，希望孩子以后对于所有题目不管简单与否都能认真一些。

以下详细分析各道试题。

第1题，计算，等差数列，分组，难度级别：☆☆☆☆☆
2012+2011+2010+……+1007-1006-1005-1004-……-1=________。

正数的个数：2012-1007+1=1006，和负数的个数相同，分组。

(2012-1006)+(2011-1005)+(2010-1004)+……+(1007-1)
=1006×1006=1012036
或者：
(2012-1)+(2011-2)+(2010-3)+……+(1007-1006)
=2011+2009+2007+……+1=(1+2011)×1006÷2=1012036
第2题，周期问题，星期，难度级别：★☆☆☆☆
某年的7月恰有4个星期一和四个星期四，这月的15号是星期____。

学而思网校上兰海老师的讲解很好，记录如下。

7月有31天，包含4个完全的星期，31-7×4=3，剩余的3天星期必定是连续的，而根据“一、二、三、四、五、六、日”排列可以看出来，剩余的3天中不能有星期一（恰有4个星期一）也不能有星期四（恰有4个星期四），二、三左面邻
着一右面邻着四，所以剩余的连续的三天也不可能是二、三，因此剩余的三天一定是星期五、六、日。

当然这三天就是7月29日、30日和31日，即7月31日是星期日，7月29日是星期五。

这个月的每一天是星期几都可以求出来了，15日和29日星期相同（加2周14天），星期五。

第3题，等差数列，采用估算技巧，难度级别：★★★★☆。

从正整数1～N中去掉一个数，剩下的N-1个数的平均值是16.3；去掉的数是________。

这道题很多孩子都空着没有做出来，说明还是挺有难度的，不知道组委会为什么把挺有难度的题目放在第3题而且是8分题的位置上了？有点不理解。

因为列方程：(1+N)×N÷2=16.3(N-1)+x是无法求解的，即便去掉x 也是个一元二次方程，孩子无法求解，所以采用“估算”求解。

因为不知道去掉的数比16.3大还是比16.3小，所以去掉一个数后的平均数可能变大了也可能变小了，即：原N个数的平均数可能比16.3大也可能比16.3小，用16.3进行估算。

从1开始的N个正整数的平均数是：(1+N)÷2，用(1+N)÷2=16.3进行估算，N=31.6。

去掉的数=(1+N)×N÷2-16.3(N-1)，尝试N=32或者N=31。

N=32时，(1+32)×32÷2-16.3×31=22.7，不是正整数，舍去；N=31时，(1+31)×31÷2-16.3×30=7，为所求。

兰海老师给出了另外一种估算办法。

N-1个数的平均值=16.3，而平均值=和÷个数，和÷个数=16.3，和=16.3×个数，和是整数，个数必然是
10的倍数，可以尝试10、20、30……。

当然可以进一步锁定30，平均数是16.3说明中间的数大约是16，那么最后的数大约是30多，这样直接从30尝试即可，30不行再40。

N-1=30，N=31，(1+N)×N÷2-16.3(N-1)= (1+31)×31÷2-16.3×30=7。

第4题，数的拆分，应该属于数论，难度级别：★★★☆☆。

葛大财主请园艺师为其整修花园，要求一个月完成，3月1日开始31日结束，每天的工钱为一钱黄金。

葛大财主是出了名的守财奴，园艺师要求每天结束时结算工钱，葛大财主恰有一块31钱的金条。

崇明绝顶的葛大财主只做了______次(填最少次数)切割，就解决了这个问题。

这道题看似简单，但是有陷阱。

大人的第一印象是二进制，2的5次方是32，大于31，所以想当然的认为切5次。

我家孩子大的就是5。

其实这道不仅仅是二进制，还有一个数的表示方法的问题，如果大家想到了天平上砝码就更容易理解了。

例如7如何表示？7=1+2+4，7用1、2、4三个数字表示，如果是天平的话，就用1克、2克、4克的砝码称7克的物品（当然砝码可能没有4克的，仅仅是举例）。

大家知道二进制可以表示任何数，所以从1、2开始考虑。

先切个1钱，再切个2钱，3就不需要了（3可以由1+2组成），再切个4钱，4、5、6、7就都有了，再切个8钱，8～15就都有了，切完前面4次后，还剩下：31-1-2-4-8=16，所以最后的16钱是不需要切的，剩下的就是16，这个地方就是一个陷阱，有人会认为再切第5次就错误了。

最后分成了1、2、4、8、16五块金条，共需要切4次。

解释一下，用1、2、4、8、16这5个基本数是可以拼装出来1～31这31个数的，这就是二进制的表示方法，用五个二进制数位来表示0～31的十进制数。

如下表就直观了：
当然，以上解释把这个问题搞得有点深奥了，就本题考察的知识点来看，就是考察孩子对数的拆分的理解能力（二进制的拆分）。

第5题，最值的应用题，难度级别：☆☆☆☆☆。

在台球“斯诺克”比赛中，有红球15个，黄、绿、棕、蓝、粉、黑球各一个，其中红球落袋积1分，黄、绿、棕、蓝、粉、黑球落袋分别积2、3、4、5、6、7分。

比赛中，第一阶段要将15个红球全击落袋而每击落1个红球必须再击落1个其他颜色的球，红球落袋不拿回，而其他颜色球在此阶段被击落后再放回台面；第二阶段要按黄、绿、棕、蓝、粉、黑的顺序依次将这些球击落袋。

那么，“斯诺克”比赛中最高能得______分。

本题没有任何难度，都没有第1题的计算题难。

只是题目太长，如果孩子以前没有接触过台球，就需要耐性的去读题，题读明白了，就没有问题了。

(1+7)×15+(2+3+4+5+6+7)=147。

第6题，幻方，难度级别：★★☆☆☆。

小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2、3、6三个数，那么小华的乘积魔方构造完毕后，x等于________。

方法一：老师讲过幻和，也讲过幻积，但幻积不是
重点，如果知道幻积和中间数的关系，题目就简单了，
幻积=中间数的3次方。

幻积=63，2·3·x=63，所以x=36。

方法二：老师说过一般只出加法魔方很少出乘法魔方，这题出的不好，因为会了不难、不会了就有点难。

不用中间数的3次方，采用解方程也可
以求出来，但是列这个方程不是很容易的，下面求法是兰海老师视频上的。

由2·x·3=x·6·C，得到右边中间的数C是1。

由3x=6·B，得到右下角的数B是3x/6。

由2x=6·A，得到右上角的数A是2x/6。

所以：2·x·3=2x/6·1·3x/6，得出x=36。

方法三：我再给出一种不用列方程的方法，不用求出来右边竖列的3个数，中间竖列的3个数是可求的。

从B看对角线和横行，有：2×6=3×j，j=4。

从A看对角线和横行，有：3×6=2×i，i=9。

如图所示。

这样，就有2·x·3 = 9×6×4，所以x=36。

第7题，数字迷，难度级别：★★☆☆☆。

十进制下的三位数TWO和四位数FOUR满足：TWO+TWO=FOUR，其中不同字母代表不同数字，FOUR的最小可能的值是______。

先转换成竖式。

显然F=1，尝试O的取值。

T W O
+) T W O
------------------
F O U R
O=0，R=0，数字重复。

O=2，R=4，T=6，W=0、3都出现数字重复(大于4会进位)。

O=3，R=6，T=6(和为13，T也必须为6)，数字重复。

O=4，R=8，T=7，W=3，U=6。

FOUR=1468为所求。

第8题，年龄问题，难度级别：★★★★☆。

今年，丹丹和父亲、母亲和弟弟的年龄和是120岁。

当父亲的年龄是丹丹年龄的3倍时，母亲的年龄恰好也是弟弟的3倍，当时弟弟12岁。

那么丹丹今年_______岁。

个人认为这道题的条件有二义性，“丹丹和父亲、母亲和弟弟的年龄和是120岁”是4个人的年龄和是120岁，还是“丹丹和父亲的年龄和”、“母亲和弟弟的年龄和”各是120岁。

如果是4人，为什么不写成“丹丹、父亲、母亲和弟弟的年龄和是120岁”而在丹丹和父亲之间多一个“和”字？如果2个120岁，为什么不写成“丹丹和父亲、母亲和弟弟的年龄和分别都是120岁”(多加“分别都”几个字)？我真的搞不明白出题者的语文水平！
大家的解题都是按照4人年龄和来求的，这个需要质问组委会。

某年，弟弟12岁，母亲36岁，设丹丹x岁，父亲3x岁，4人年龄和4x+48。

今年，4人年龄和120岁。

今年和某年相比，分3种情况：
(1)今年>某年，4人年龄和今年比某年多：120-(4x+48)=72-4x，
今年比某年多的年头数：(72-4x)÷4=18-x。

丹丹今年年龄=某
年年龄+今年比某年多的年头数=x+(18-x)=18。

(2)今年=某年，120=4x+48，x=18，丹丹今年年龄=某年年龄=x=18。

(3)今年<某年，4人年龄和今年比某年少：(4x+48)-120=4x-72，
今年比某年少的年头数：(4x-72)÷4=x-18。

丹丹今年年龄=某
年年龄-今年比某年少的年头数=x-(x-18)=18。

不管哪种情况，计算出来丹丹今年都是18岁。

此题对于孩子而言，有如下几个难点和关键点：
1)为什么要设某年丹丹的年龄为x？设了有什么用处？其实设这
个是为了把某年的4个人的年龄都能表示出来。

2)求4个人某年的年龄和，有什么用处？这个年龄和跟120岁有
什么关系？孩子不是很清楚，因为不知道今年和某年相差多少年。

只是感觉求4个人的年龄和会有用，但具体什么用处说不上来。

实在搞不明白了，稀里糊涂就把120岁当作这个年龄和进行求解了，于是稀里糊涂的就列了个等式：4x+48=120，也不知道为什么，然后就求出来个x=18，于是就把它当作了答案。

3)今年与某年的差是多少不清楚，也不知道如何下手，即便做了
个差：4x+48-120=4x-72，也不知道干什么用。

4)4个人的年龄和今年与某年做差后，不知道除以4，其实也很简
单，除以4以后就是今年与某年的年头差。

5)今年丹丹的年龄、某年丹丹的年龄(x)、今年与某年的年头差，
这三者之间的关系，孩子们也不会思考到，更让人无法正常理解的是：“某年丹丹的年龄”与“今年与某年的年头差”相减以后居然把x抵消掉了，这一点不是正常思维可以想到的，只是做到这一步了才会发现。

所以此处是最不好理解的，为什么就
会抵消掉了呢？为什么一相减就求出了结果呢？
基于以上几点考虑，此题还是很有难度的，我把它修订为4星级难度。

第9题，鸡兔同笼问题，难度级别：★★★☆☆。

玉米炮有单筒玉米炮、双筒玉米炮、三筒玉米炮三种。

单筒玉米炮每次发射1根玉米，可以消灭20个僵尸；双筒玉米炮每次发射2根玉米，每根玉米消灭17个僵尸；三筒玉米炮每次发射3根玉米，每根消灭16个僵尸。

玉米炮一共开炮10次，发射23根玉米，消灭________个僵尸。

个人认为答案详解偏离出题者的意图，本题应该是鸡兔同笼问题，考察的是鸡兔同笼问题常用的假设法。

假设10次全是三筒玉米炮，则玉米数为30，多了30-23=7根玉米，这7根玉米应该是单筒玉米炮、双筒玉米炮的。

三筒玉米炮与单筒玉米炮每次相差3-1=2根玉米，而三筒玉米炮与双筒玉米炮每次相差3-2=1根玉米，对多出来的7根玉米进行分解，(单筒、双筒)玉米数可以是：(0、7)，(2、5)，(4、3)，(6、1)，对应的(单筒、双筒)次数是：(0、7)，(1、5)，(2、3)，(3、1)。

即有4种开炮方法，(单筒、双筒、三筒)次数为：(0、7、3)，(1、5、4)，(2、3、5)，(3、1、6)，对应的(单筒、双筒、三筒)玉米根数：(0、14、9)，(1、10、12)，(2、6、15)，(3、2、18)。

为什么会有这么4种情况呢？有什么理论根据吗？有的，其实鸡兔同笼问题的假设法就是求解二元一次方程组的过程。

本题是三元一次不定方程，当然也可以使用鸡兔同笼问题的假设法来求解的。

三元一次不定方程是：x+y+z=10，x+2y+3z=23，三个未知数两个方程，所以是三元不定方程。

利用次数计算，4种情况计算出来的消灭僵尸的个数都是382，0×20+7×34+3×48=382，1×20+5×34+4×48=382，2×20+3×34+5×48=382，3×20+1×34+6×48=382。

以上4种情况，孩子肯定会找到其中一种的，一计算就搞定结果了。

根据走美杯试题答案唯一性的特点，找到一个结果就可以了，所以孩子不需要完整考虑全部的4种情况。

从这个角度来看，本题只有3星难度，如果把4种情况都搞明白（包括我下面的内容也搞明白），本题就有4星的难度了。

为什么4种情况的计算结果是一样的呢？先看标准答案详解给出的解法：三种玉米炮消灭的僵尸数：20、34、48，成等差数列，公差为14，说明每增加1根玉米多消灭14个僵尸，20-14=6，34-2×14=6，48-3×15=6，还说明除了每根玉米消灭14个僵尸外每次都可以再多消灭6个僵尸。

消灭的总僵尸数：23×14+10×6=382。

这个解法正好证明了4种情况的计算结果是一样的理由：每根玉米消灭14个僵尸，每次再消灭6个僵尸，所以不管玉米是单筒、双筒还是三筒，玉米根数23是固定的，次数10是固定的，所以结果是不变的。

于是，有人会问：结果是一样的，你讨论这4种情况不是瞎讨论吗？我的回答：不是瞎讨论，请继续往下看就知道了。

虽然20、34、48这3个数字是出题者专门给出的，又恰巧构成了等差数列，但个人认为出题者并非想考察这3个数的规律，我始终认为出题者还是要考察鸡兔同笼问题的。

为什么这么说呢？我想，如果把三筒玉米炮每根玉米消灭的僵尸从16变成15，这3个数就变成了20、34、45，当然，此时要求的是消灭僵尸的最少个数和最多个数。

这样按照标准答案该如何
求解呢？这难道就没有解了吗？不是的，按照我上面的求解，因为10次23根玉米没有变，4种情况依然正确，根据4种情况的次数，可以求得：0×20+7×34+3×45=373，1×20+5×34+4×45=370，2×20+3×34+5×45=367，3×20+1×34+6×45=364。

所以最少消灭364个僵尸，最多消灭373个僵尸。

从我修改后的题目求解过程来看，本题就是将鸡兔同笼问题的假设法应用在三元一次不定方程上，并不是考察标准答案详解给出的等差数列规律，考察“等差数列和做差后都剩余6”能有什么意义呢？个人认为，标准答案的解法只是我的解法的一个补充（用来证明为什么4种情况的结果是一样的，仅仅是数字的巧合而已），不能作为本题的正规解法提供给家长和孩子们。

本人的见解是否正确，有待大家的考量。

第10题，数论，难度级别：★★★★☆。

有五个互不相等的非零自然数。

如果其中一个减少45，另外四个数都变成原先的2倍，那么得到的仍然是这五个数。

这五个数的总和是_____。

刚一看到这个题，没有思路，标准答案给的详解逻辑性很差，为什么一开始就拿1、2、4、8、16说事，没有根据。

学而思网校上的视频此题讲解的很清晰。

感觉此题还是比较难的，孩子做出来真的很不容易。

假设从小到大排列的五个数是：a、b、c、d、e，e是最大的不能再乘2了，只能是e-45，2d只能是e，2c只能是d，2b只能是c，2a只能是b，所以只能变成a。

重写这5个数：a、2a、4a、8a、16a，由16a-45=a得到：a=3，所以5个数是：3、6、12、24、48，五个数的总和是93。

第11题，几何面积，难度级别：★☆☆☆☆。

如图，大正六边形的面积是24平方厘米，其
中放了三个一样的小正六边形。

阴影面积是
________平方厘米。

此题难度不大，对图形进行分割即可。

每个小正六边形都分成6份，每个空白的小
平行四边形分成2份。

最后把大正六边形分
成了：6×3+2×3＝24，总面积是24平方厘
米，所以每个小三角形面积是1平方厘米。

阴影占6×3=18个小三角形，面积18平方
厘米。

第12题，行程问题，追及，方程或列表，难度级别：★★★★★。

甲、乙、丙三人同时同向骑车，各自的速度都保持不变，乙在甲、丙的正中间。

甲20分钟追上乙，又过10分钟追上丙。

再过____分钟乙追上丙。

这道题是本套试卷难度最高的题目，可能是孩子对分数不太掌握的缘故吧（因为计算时用到分数），或者没有想到列表(列等式)同比例放大的方法。

方法一：设一开始甲乙距离和乙丙距离为A，则20(V甲-V乙)=A，30(V
)=2A，求出：V甲-V乙=A/20，V甲-V丙=A/15，这一步孩子是不容易想甲-V丙
出来的，其实孩子们想一想就明白了：求出来甲乙的速度差、甲丙的速度
差，乙丙的速度差就出来了呀！ 两个等式相减得到：V
乙
-V
丙
A/15-A/20 = 4A/60-3A/60 = A/60，
找15和60的最小公倍数四年级的孩子可能还不是很擅长，也就是说两个分母不同的分数相减四年级的孩子还不一定会做。

不知道把分数线变成除号孩子们能否会做呢？
乙追丙的时间=A/( V 乙-V 丙)=A/( A/60)=60(分钟)，已经用了30分钟，还需：60-30=30分钟。

方法二：如果采用“任我意”法，把A 取做60(份)，则问题就简化了。

V 甲-V 乙=60/20=3，V 甲-V 丙=120/30=4，V 乙-V 丙=4-3=1。

乙追甲的时间=60/1=60分钟，已用30分钟，还需：60-30=30分钟。

如果采用这种方法，题目的难度就变成只有2星了。

方法三：忽然想起来，老师在行程问题中讲过类似的题目，当时老师没有使用分数，而是使用“20分钟走的路程”来表示“速度”，列的2个等式，采用比例的方法（同比放大）进行求解的。

我利用这个思路，转变成表格求解如下（列2个文字描述的等式也是一样的）：
时间同比放大：
同样的60分钟时间，甲比乙多走3A，甲比丙多走4A，所以可以得到：60分钟乙比丙多走4A-3A=A，而乙和丙一开始的距离是A，所以乙追上丙需用60分钟（如果距离不是A，例如2A或3A等，用“距离”除以4A-3A 总是可以得到倍数关系的，这个倍数×60分钟就是追上需用的时间，本题恰好是1倍）。

已经用了30分钟，还需：60分钟-30分钟=30分钟。

第13题，数论，难度级别：★★★☆☆。

六位数2□012□个位上填______时，万位上无论填入0～9中的哪一个数，都不能被11整除。

从能被11整除入手，被11整除有个特征：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差，能被11整除，则此数能被11整除。

这个法则不是所有孩子都能记得住，我们家是刚刚参加了冲刺班，刚学完有印象。

假设左边的框为a，右边的框为b。

方法一：偶数位数字和：2+0+2=4，技术位数字和：a+1+b，判断(a+1+b)-4能否是11的倍数，枚举即可。

(b,a)=(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)、(5,9)、(6,8)、(7,7)、(8,6)、(9,5)，当b=4时，(a+1+b)-4=a+1，a取0～9中的哪一个数都不能使得a+1是11的倍数。

所以答案是b=4。

方法二：如果a填0～9这10个数都不能使得这个六位数整除11，那么，连续的第11个数一定可以整除11，因为除以11的余数最多只能有
10个，不可能有11个余数，即a填10这个六位数必然能整除11，也就是万位上比9大1的六位数30012□(29012□万位大1)能整除11，所以(3+0+2)-(0+1)=4。

第14题，操作类问题，难度级别：★★☆☆☆。

1个4×4的棋盘，在每个小方格上染上黑白两色之一，染法与国际象棋的染法相同。

允许任意选择一个矩形(矩形的边都在格子上)，被选中的矩形中的每个小正方格改变颜色(黑变白，白变黑)。

至少需要_____次上述操作，才能使棋盘上的格子都同色。

题目不难，操作一下就出来了。

如下图选中水平的四个小格作为矩形，2次变换后，就变成了右图。

再垂直选择2次，即可转换完成。

第15题，操作类问题，立体图形，难度级别：★★★☆☆。

将一个5×5×5的正方体分割成若干个3×3
×3，2×2×2和1×1×1的小正方体。

1×1
×1的小正方体最少有_______个。

此题没有前面很多题目的难度大，主要考
察立体图形的空间想象能力。

认真画一画，可
以计算出来的。

3×3×3最多只有一个，2×2×2到底有多少是本题关键。

水平角度，从平面看，5×5的去掉3×3后，在边上只能画出3个2×2，如图所示，无论如何也画不出4个2×2来。

垂直角度，3×3×3上面会有2层5×5，这2
层5×5可以画出4个2×2，图如图所示。

去掉这7个2×2×2后，无论如何再也没有2
×2×2的空间和位置了，即便是这7个移动位置
也做不到。

答案就出来了，剩余的1×1×1的还有：5×5×5-3×3×3-2×2×2×7=42(个)。

――――――――――――――――――――――――――――
所有题目分析完毕，总结一下，见下表：
题号知识点难度答案孩子答案对错
一、填空题每题8分
1 计算☆☆☆☆☆1012036 1012036 √
2 周期问题(星期) ★☆☆☆☆五五√
3 等差数列、估算★★★★☆7 □×
4 数的拆分★★★☆☆ 4 8 ×
5 最值应用题☆☆☆☆☆147 147 √
二、填空题每题10分
6 幻方★★☆☆☆36 4 ×
7 数字谜★★☆☆☆1468 1002 ×
8 年龄问题★★★★☆18 18 √
9 鸡兔同笼★★★☆☆382 382 √
10 数论★★★★☆93 93 √
三、填空题每题12分
11 几何面积★☆☆☆☆18 18 √
12 行程问题、追及★★★★★30 □×
13 数论、整除11 ★★★☆☆ 4 4 √
14 操作类、平面图形★★☆☆☆ 4 4 √
15 操作类、立体图形★★★☆☆42 42 √
合计15 2★半10
2011年三年级走美杯获奖分数线：一等奖：103分(含)以上，二等奖：83分(含)--102分，三等奖：67分(含)--82分。

按照去年的情况和今年题目难易程度，今年比去年题目难度偏高，预计今年分数线会稍微低一些，60分以上有望获奖，祝孩子们好运！
Liqingzhou 2012年3月20日。