弹性与塑性力学基础-第二章应变分析报告

➢
对于剪应变，例如
xz
w x
u z
，
如果函数w随x的增大而增大，则 w 将为正值，如果函数u随z的增大
而增加，则 u
x 将是正值，由此可见，直角xOy的减小相当于正的剪
z
应变，即六面体夹角的减小对应于正的剪应变 xz ，夹角的增大对应
于负的剪应变。
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
w
x 1 u
x
x
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系
➢ 角应变
u 在分母中，x 与1相比是个微量，
故可略去，因而得
w
x
用相同的方法可得
u
z
在xOz平面内相对剪应变
可以得到 xOz和yOz平面内的剪应变为
zx
➢ 由上式可知式(2-11)中 u 则表示由于发生径向位移所引起的环向应
变分量。
r
➢ 如果平面变形体某一微元线段AB发生了下列形式的位移，即在变形
后线段上各点沿其环向方向移动了相同的距离v(图2-10)，这样变形
前与半径重合的直线段AB，变形后移动到CD位置，不再与C点的半
v
径方向CE相重合，而彼此的夹角为 ，于是微元线段AB变形后的
变形前：直角BAC或 BAC
变形时，棱边 AB转动角度 ；
棱边 AC 转动角度 。
xOz平面内：角应变用 zx 表示，
其值为角 和角 之和，
即
zx
由于变形是微小的，
角可以用正切之和表示， 也可以用位移表示。
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系
可以认为它的应变是均匀的。
变形前：A(x，y，z)
变形后：A' (x+u，y+v，z+w)
A点的位移u、v、w为
x，y，z的连续函数。 变形前：H [(x+dx),(y+dy),(z+dz)]
图2-11 变形的微元体
变形后: H' {[(x+dx)+(u+du)]，[(y+dy)+(v+dv)]，[(z+dz)+(w+dw)]}
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 名义应变(工程应变)
➢ 名义应变主要缺点：把基长看成是固定的，所以并不能真实地反
映变化的基长对应变的影响，因而造成变形过程的总应变不等于
各个阶段应变之和。
➢ 将50cm长的杆料拉长至总长为90cm，
总应变为， 90 50 80%
50
若由50cm→80cm→90cm，则
ln l1
l0
➢ 对数应变之所以是真实的就是因为它是某瞬时尺寸的无限小增量
与该瞬时尺寸比值（即应变增量）的积分：
dl l
ln
l1 l0
ln l1 l0
➢ 条件与困难：积分是在应变主轴方向基本不变的情况下才能进行。
➢ 特点：真实地反映变形的积累过程，具有可叠加性。
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第二章 应变分析
其中du、dv、dw为H点相对于A点的位移。
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第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.3 位移张量
如果
u f (x, y, z),(u du) f [(x dx),( y dy),(z dz)]
利用泰勒级数展开，则有
u du f (x, y, z) f dx f dy f dz (dx, dy, dz 的高阶项） x y z
§2-5 应变莫尔圆
2.5.1 应变莫尔圆 2.5.2 平面应变状态应变莫尔圆
§2-6 应变增量和应变速率张量
2.6.1 全量应变和应变增量的基本概念 2.6.2 速度分量 2.6.3 应变增量 2.6.4 应变速率张量
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第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
2.3.3 位移张量 后两项为刚体转动并不引起应变，可以略去，位移增量可写为
du dv
xdx xy yxdx y
dy dy
x y
z z
dz dz
dw
zx
dx
zy
dy
z
dz
如用张量表示，则有
(2-15)
dui ij dx j (i, j x, y, z)
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由于 u f (x, y, z) 是很小的量，因此高阶项都可以忽略掉，有
du u dx u dy u dz x y z
u x
dx
1 2
u y
v x
dy
1 u 2 z
w dz x
1 2
u y
v x
dy
1 2
u z
w dz x
(2-14)
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§2-3 主应变
(1) 名义应变(工程应变)
➢ 以线尺寸增量与最初线尺寸之比表示。
l l1 l0
l0
l0
式中 l0——原始长度；l1——变形后长度。
➢ 对于均匀伸长变形，由于体积不变，断面收缩率：
F0 F1
F0
(F0、F1：分别为变形前后的截面积)与 是等效的。
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§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
ln l1 ln l0 l ln(1 l ) ln(1 )
l0
l0
Fra Baidu bibliotekl0
80dl 90dl ln 90 0.59
50 l 80 l
50
➢ 分阶段变形之真实应变之和等于总的真实应变
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2.2.3 应变与位移的关系―柱坐标的变形几何方程
➢ 利用类似的方法导出柱坐标的变形几何方程为
r
u r
1 v
r
u r
r
v 1 u
r r
v r
z
1 r
w
v z
(2-10)
z
w z
zr
w r
u z
式中u、v、w―分别为径向( r )、环向( )及高度方向(z)的位移分量 。
r , , z ――分别为 r方向、 方向和z方向的正应变；
r 、 z 、 zr ――分别为剪应变。
在平面极坐标的情况下，则有
r
u r
，
1 v
r
u r
，
r
1 r
u
v v r r
(2-11)
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较
➢ 主要差别在于柱坐标中 和 r 中各多出一项，其几何意义如下：
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第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变 2.3.2 应变张量 2.3.3 位移张量 2.3.4 主应变与应变张量不变量
§2-4 应变偏量、球形应变张量以及有关应变参量
2.4.1 球形应变张量 2.4.2 应变偏张量 2.4.3 应变参量的表达
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第二章 应变分析
➢ 角应变
若A点在z轴方向的位移为
w f3 (x, y, z)
B点在z轴方向的位移为
w
w1
f (x dx, y, z)
w dx x
A点过渡到B点时，
位移由于x的变化而变化，
点 B与点 A 沿z轴方向位移之差为
BB
w1
w
w x
dx
由直角三角形 ABB 可得
tg
BB AB
w dx x dx u dx
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
➢ 当应变量不大时，名义应变它与真实应变相差不多。
2
3
4
（-1）(n1)
n
234
n
➢当 <1时，该级数收敛，忽略三次方项，
真实应变与名义应变之差为
2
2 两者绝对误差小于0.005，
相对误差小于5％，这时可以认为
u z
w x
，
xy
u y
v x
，
yz
v z
w y
(2-8)
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 ➢ 用位移表示应变的几何关系式――柯西(Cauchy)几何关系为
x
u x
y
v y
xy yz
u y w y
v x v z
(2-9)
z
w z
zx
w x
u z
➢ 对于正应变 x ，如果u随x的增大而增大，则为正值，相当于单元
dx的伸长；如果函数u随x的增大而减小，则将为负值，此时相当于 单元dx的缩短。
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系
du dx
如果变形的分布是均匀的，正应变可以写为
(2-2)
x
l l0 l0
l l0
(2-3)
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 ➢ 直角坐标系中变形物体的微小的平行六面体，研究微小六面体变形
变形前：A (x，y，z)；变形后：A(x+u,y+v, z+w)，
如用 x 表示沿x轴的相对伸长，则有
x
u1 u dx
u x
用同样方法可以得到平行于y轴和z轴边长的相对伸长为
y
v y
，
z
w z
(2-7)
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第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 ➢ 角应变
六面体的各直角由于剪应变而发生角变形
第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.4 主应变与应变张量不变量 研究垂直于主平面123的线单元r，假设线单元增加了一个长度dr， 但其方向不变，此时dr在Ox、Oy、Oz方向的投影是成比例的， 应变表达式为
假定平面物体的半径为r，圆周上微圆弧段发生了相同的位移u，则变
形后该微单元弧段长度为(r+u)d，而原始长度为rd，相对伸长为
(r u)d rd rd
u r
图2-9 具有相同径向位移的微圆弧 图2-10 具有环向移动的圆弧
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较
A 点 位 移 u、v、w 是 坐 标 x、y、z 的 连 续 函 数 ， 位 移 导 数 也 是 连 续 的．
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 ➢ 线应变
A点的位移是u和w，它们是坐标的函数，因此有
u f1(x, y, z) ， w f3 (x, y, z)
xy
1
2
xy
1 2
v x
u y
yz
1
2
yz
1 2
v z
w y
zx
1 2
zx
1 w 2 x
u z
应变张量为
x xy xz
ij yx
y
yz
zx zy z
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§2-3 主应变
2.3.3 位移张量 ➢ 设有ACDBEGHF正六面微单元体
。
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.1 应变
➢ 变形
物体中若任意两个点的相对位置发生了变化，即认为物体有了变形。
➢ 应变
发生变形的物体中将出现应变状态。
均匀应变：变形前相互平行的两条直线在变形后仍为平行直线
不均匀应变：不同点的位移是不同的
➢ 正应变定义为
x
lim u x0 x
(2-4)
B点沿x轴位移与A点位移不同，由泰勒级数展开并略去高阶微量后，
表达式为
u1
f1(x dx, y, z)
u
u dx x
如果边长AB=dx，则在x轴上的投影的全伸长量是
(2-5)
u1
u
u x
dx
(2-6)
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§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 ➢ 线应变
1
80 50 50
60%
， 2
90 80 12.5% 80
，
总应变量： 1 2 (60 12.5)%， 72.5%
与 80%不相等。
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§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 真实应变(对数应变)
➢ 工件变形后的线尺寸与变形前的线尺寸之比的自然对数值。
r
CD与C点圆周切线(坐标线正方向)夹角为
2
v r
，夹角比
2
增大
了，根据剪应变的定义，即发生了剪应变
r
v r
，这就说明了
所多出项的几何意义。
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第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变
对应于主方向的正应变则称主应变
2.3.2 应变张量
一点的应变状态也可用张量表示，这时应引进符号
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第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义 2.1.2 名义应变(工程应变) 与真实应变(对数应变)的关系
§2-2 应变与位移的关系
2.2.1 应变 2.2.2 应变与位移的关系―― 柯西(Cauchy) 几何关系 2.2.3 应变与位移的关系―― 柱坐标的变形几何方程 2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较