分点突破式学案2:2.3.2 离散型随机变量的方差

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2.3.2离散型随机变量的方差

学习目标:

1. 理解离散型随机变量的方差或标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.

2. 掌握公式D (aX +b )=a 2D (X ),以及两点分布和和二项分布的方差公式,能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的方差或标准差. 学习重点:离散型随机变量的方差或标准差的意义

学习难点:公式D (aX +b )=a 2D (X ),以及两点分布和和二项分布的方差公式,能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的方差或标准差. 知识链接

1. 离散型随机变量的分布列与均值:

2.二项分布与相应的均值公式.(超几何分布的均值公式不作要求) 预习检查

离散型随机变量X 的方差与标准差的定义: 合作探究

(1)离散型随机变量X 的方差与标准差反映随机变量的什么特征?

(2)随机变量的方差与样本的方差有何区别与联系?

5. 方差的性质: )()(2

ξξD a b a D =+ 证明:

6.两点分布、与二项分布的方差公式:

类型1: 利用随机变量的方差的定义求方差

例1:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X的均值、方差和标准差.

例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

类型2: 利用两点分布与二项分布的方差公式求随机变量的方差或标准差

例3:某人投弹命中目标的概率p=0.8.

(1)求投弹一次,命中次数X的均值和方差;

(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差.

当堂检测

1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3次,若X表示取到次品的次数,则D(X)=________.

2.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分.没有击中记0分,某人每次击中目标的概率为23

.此人得分的数学期望与方差分别为________. 3.若随机变量ξ的分布列如下:

且E (ξ)=1.1,则D (ξ)=________. 4.已知随机变量ξ的分布列为

ξ 0 1 x P

12

13

p

若E (ξ)=2

3.

(1)求D (ξ)的值;

(2)若η=3ξ-2,求D η的值.

5.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求X 的分布列、期望和方差;

(2)若Y =aX +b ,E (Y )=1,D (Y )=11,试求a ,b 的值.

参考答案

例1.解:抛掷散子所得点数X 的分布列为:

从而111111123456 3.56

6

6

6

6

6

EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

2222221111

(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611

(5 3.5)(6 3.5) 2.92

66

DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯

+-⨯+-⨯≈

1.17

例2.解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 E (X 1)= 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,

D (X 1)= (1200-1400) 2×0. 4+(1400-1400)2×0.3+(1600-1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;

E (X 2)=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,

D (X 2)= (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l= 160000 . 因为

E (X 1)=E (X 2), D (X 1)<D (X 2),所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 例3.【解析】(1)随机变量X 的分布列为

因为X 服从两点分布,故E (X )=p =0.8,D (X )=p (1-p )=0.8×0.2=0.16. (2)由题意知,命中次数Y 服从二项分布,即Y ~B (10,0.8), ∴E (Y )=np =10×0.8=8,D (Y )=np (1-p )=10×0.8×0.2=1.6. 当堂检测:

1.【解析】因为是有放回地取产品,所以每次取产品(试验)取得次品(成功)的概率为14

,从中取3次(做3次试验)X 为取得次品(成功)的次数,则X ~B 1

(3,)4

,∴D (X )=3×14

×34=916. 2.【解析】记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分,

则η~B 2

(3,)3

,ξ=10η,

∴E (ξ)=10E (η)=10×3×23

=20,D (ξ)=100D (η)=100×3×23

×13=2003

. 3.【解析】由分布列性质得p =1-13()510+=12,E(ξ)=0×15+1×12+x ×3

10

=1.1,解得x =2,∴D (ξ)=2(0 1.1)-×

15+2(1 1.1)-×12+2(2 1.1)-×3

10

=0.49. 4.解 ∵12+13+p =1,∴p =16.又E (ξ)=0×12+1×13+x ×16=2

3.∴x =2.

故(1)D (ξ)=⎝⎛⎭⎫0-232×12+⎝⎛⎭⎫1-232×13+⎝⎛⎭⎫2-232×16=1527=5

9. (2)∵η=3ξ-2,∴D (η)=D (3ξ-2)=9D (ξ),∴D η=9D ξ= 5.

5.【解】 (1)X 的分布列为:

X 0 1 2 3 4 P

1

2

120

110

320

15

∴E (X )=0×12+1×120+2×110+3×320+4×1

5

=1.5.

D (X )=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×1

5=2.75.

(2)由D (Y )=a 2D (X ),得a 2×2.75=11,得a =±2.

又∵E (Y )=aE (X )+b ,所以当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2;

当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =-2或⎩

⎪⎨⎪

a =-2,

b =4,即为所求.

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