图形中的翻折问题

图形中的翻折问题
图形折叠问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分。

要充分运用以上结论，作辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数定义等知识来解决折叠问题。

解这类题目，通常可以借助现成材料，亲自动手操作，然后观察思考，得出答案。

但由于考场环境和条件的限制，应根据上述知识，动手画出折后的图形。

【基础自测】
1．AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ABC 沿 AD 对折，点C 落在C ′的位置，如果BC=
2 ，那么BC ′=________．
2.如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A ．50° B．55° C ．60° D．65°
3.如图，直线y ＝－x 3＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若把△AOB 沿直线AB 翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是________．
4.在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点， ∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B ’处，则B ’点的坐标为（ ）．
A 、(2，3
2
) B 、(2
3，3
2-
) C 、(2，3
2
4-) D 、(2
3，3
2
4-)
例题分析
5、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。

得到Rt AB E ∆'（图乙），再延长EB '交AD 于F ，所得到的∆EAF 是（ ）
B
D C
C
A
A
B
C
P 60° B
y
O
x
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形 6.如图，在ABC △中，
9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使
ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内）
，所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y
（1）用x 表示ADE △的面积； （2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
7.如图，在矩形ABCD 中，9AB =，33AD =，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PQ BD ∥，交CD 边于Q 点，再把PQC △沿着动直线PQ 对折，点C 的对应点是R 点，设CP 的长度为x ，PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ． （1）求CQP ∠的度数；（2）当x 取何值时，点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？（3）①求
y 与x 之间的函数关系式；②当x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
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？
图12
E A '
D
B
C
A B C
A
D
Q
C B
P
R
A
（第6题）
B
A
D C （备用图1）
B
A
D C
（备用图2）
跟踪练习
1、如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为（ ） A ．1cm B ．1.5cm C ．2cm D ．3cm
2、如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ）
（A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-
3、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. ∠=∠+∠A 12
B. 212∠=∠+∠A
C.3212∠=∠+∠A
D. )21(23∠+∠=∠A
4、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）．
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:3
D ．3:1
A
E
F
B
D C
A
5、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，
连结AE ．
证明：（1）BF DF ．
（2）AE BD ∥．
6.在矩形纸片ABCD 中，
AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，•点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30°．（1）求BE 、QF 的长；（2）求四边形PEFH 的面积．
7、生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状 ， 折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm ，宽为xcm ，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x 的取值范围．
(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点A 的距离(用x 表示)．
8.（2009年浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别
为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.
(1)填空：菱形ABCD 的边长是 、面积是 、 高BE 的长是 ； (2)探究下列问题：
A
B
C
D E F
①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；
②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。

O
x
y A
B
C D
E (第8题)。