等差数列高考真题及答案

等差数列高考真题及答案
一、选择题
1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 2．已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）
A．a≥0 B．b≤0 C．c＝0 D．a﹣2b+c＝0 3．已知数列{a n}满足a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*），那么必有（）A．{a n}是等差数列B．{a2n﹣1}是等差数列
C．{a2n}是等差数列D．{a3n}是等差数列
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．设{a n}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．56
8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0] 9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
10．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d＜0
C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0
11．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100 B．210 C．380 D．400
12．已知等差数列{a n}中，a2+a8＝8，则该数列前9项和S9等于（）A．18 B．27 C．36 D．45
13．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值
14．在小于100的正整数中，能被3整除的所有各数之和为（）A．1632 B．1683 C．3264 D．3366 15．设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101＝0，则有（）
A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99＝0 D．a51＝51 16．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45
17．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝（）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
二、填空题
18．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0，则d的取值范围是．
19．已知{a n}为等差数列，a3+a8＝22，a6＝7，则a5＝．
20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则＝．
21．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为．
22．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1＝7，a3+b3＝21，则a5+b5＝．23．S n为等差数列a n的前n项和，S2＝S6，a4＝1则a5＝．
24．在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝﹣2，则a4+a5+…+a10＝．
25．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值
是．
26．在数列{a n}中，a n＝4n﹣，a1+a2+…+a n＝an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝．
27．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12＝21，则a2+a5+a8+a11＝．28．设数列{a n}的首项a1＝﹣7，且满足a n+1＝a n+2（n∈N），则a1+a2+…+a17＝．
29．设等差数列{a n}的公差d是2，前n项的和为S n，则＝．30．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．
三、解答题
31．记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．
32．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．
（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；
（2）设a1＝﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足
，记c n＝S n+2n﹣1•b n（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即≤c n对任意n∈N*成立）．
33．记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．34．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0．
（Ⅰ）若S5＝5，求S6及a1；
（Ⅱ）求d的取值范围．
35．已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由．
36．设公差不为零的等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且S32＝9S2，S4＝4S2，
求数列{a n}的通项公式．
37．已知等差数列{a n}中，a2＝9，a5＝21．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．
38．设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．
（Ⅰ）若a11＝0，S14＝98，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．
39．已知数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1+a2+a3＝12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n＝a n x n（x∈R），求数列{b n}前n项和的公式．
40．（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n＝4时，求的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5 B．a n＝3n﹣10 C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由S4＝0，a5＝5，得
，∴，
∴a n＝2n﹣5，，
故选：A．
2．已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）
A．a≥0 B．b≤0 C．c＝0 D．a﹣2b+c＝0 【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k＝x100+k+x300+k，代入化简即可得出．
【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]＝a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a＝0．
∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．
故选：A．
3．已知数列{a n}满足a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*），那么必有（）A．{a n}是等差数列B．{a2n﹣1}是等差数列
C．{a2n}是等差数列D．{a3n}是等差数列
【分析】通过a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*）可知a n+4﹣a n+1＝a n+3﹣a n，进而可得a n+6
﹣a n+3＝a n+3﹣a n，从而数列{a3n}是等差数列．
【解答】解：∵a n+a n+4＝a n+1+a n+3（n∈N*），
∴a n+4﹣a n+1＝a n+3﹣a n，
∴a n+5﹣a n+2＝a n+4﹣a n+1，a n+6﹣a n+3＝a n+5﹣a n+2，
∴a n+6﹣a n+3＝a n+3﹣a n，
∴数列{a3n}是等差数列，
故选：D．
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6＝2a1+8d＝2×（﹣11）+8d＝﹣6，解得d＝2，
所以，所以当n＝6时，S n取最小值．故选：A．
5．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由等差数列的性质和求和公式，将通项之比转化为前n项和之比，验证可得．
【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：
＝＝＝
＝＝＝7+，
验证知，当n＝1，2，3，5，11时为整数．
故选：D．
6．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝（）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d 的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．
【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得，
∴a7＝1+6×2＝13，
故选：B．
7．设{a n}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{a n}前8项的和为（）A．128 B．80 C．64 D．56
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可求解．或利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质a2+a7＝a1+a8求解．
【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由等差数列的通项公式以及已知条件得，
解得，故s8＝8+＝64．
解法2：∵a2+a7＝a1+a8＝16，
∴s8＝×8＝64．
故选：C．
8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．[﹣1，0] 【分析】由，能求出公差d的取值范围．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝4，S5≥S4≥S6，
∴，∴，
∴，
解得﹣1≤d≤﹣．
∴公差d的取值范围是[﹣1，﹣]．
故选：A．
9．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）
A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．
【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，
∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，
解得d＝﹣2，
∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．
故选：A．
10．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d＜0
C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0
【分析】由等差数列的求和公式可得S n＝na1+d＝n2+（a1+）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．
【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n＝na1+d＝n2+（a1﹣）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；
选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；
选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，
可得数列{S n}是递增数列，故正确；
选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，
但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，例如：是递增数列，但S1＜0，故
错误．
故选：D．
11．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100 B．210 C．380 D．400
【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n＝10得出结果．
【解答】解：d＝，a1＝3，
∴S10＝
＝210，
故选：B．
12．已知等差数列{a n}中，a2+a8＝8，则该数列前9项和S9等于（）A．18 B．27 C．36 D．45
【分析】根据等差数列的求和公式可知，要求s9，只需求出a1+a9，而已知a2+a8＝8，利用等差数列的性质即可求解．
【解答】解：已知等差数列{a n}中，a2+a8＝8，
∴a1+a9＝8，则该数列前9项和S9＝＝36，
故选：C．
13．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值
【分析】利用结论：n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7＝0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．
【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，
又∵S6＝S7，
∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，
∴a7＝0，故B正确；
同理由S7＞S8，得a8＜0，
∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；
而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C选项是错误的．
∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；
故选：C．
14．在小于100的正整数中，能被3整除的所有各数之和为（）A．1632 B．1683 C．3264 D．3366
【分析】在小于100的正整数中，能被3整除的数是等差数列3，6，9，…，99，由a1＝3，d＝3，a n＝99，得n＝33，由此能求出能被3整除的所有各数之和．
【解答】解：在小于100的正整数中，能被3整除的数是等差数列3，6，9， (99)
a1＝3，d＝3，a n＝99，
∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n＝99，解得n＝33，
∴在小于100的正整数中，能被3整除的所有各数之和：
＝1683．
故选：B．
15．设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101＝0，则有（）
A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99＝0 D．a51＝51 【分析】根据特殊数列a n＝0可直接得到a3+a99＝0，进而看得到答案．
【解答】解：取满足题意的特殊数列a n＝0，即可得到a3+a99＝0
选C．
16．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45
【分析】先根据a1＝2，a2+a3＝13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6＝3a5求得答案．
【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，
得d＝3，a5＝14，
∴a4+a5+a6＝3a5＝42．
故选：B．
17．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c＝10，则a＝（）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【分析】因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b﹣d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解．
【解答】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a＝b﹣d，c＝b+d，由题设得，
，
解方程组得，或，
∵d≠0，
∴b＝2，d＝6，
∴a＝b﹣d＝﹣4，
故选：D．
二、填空题
18．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0，则d的取值范围是．
【分析】由题设知（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，即2a12+9a1d+10d2+1＝0，由此导出d2≥8，从而能够得到d的取值范围．
【解答】解：因为S5S6+15＝0，
所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理得2a12+9a1d+10d2+1＝0，
此方程可看作关于a1的一元二次方程，它一定有根，故有Δ＝（9d）2﹣4×2×（10d2+1）＝d2﹣8≥0，
整理得d2≥8，解得d≥2，或d≤﹣2
则d的取值范围是．
故答案案为：．
19．已知{a n}为等差数列，a3+a8＝22，a6＝7，则a5＝15．
【分析】根据等差中项的性质可知a3+a8＝a5+a6，把a3+a8＝22，a6＝7代入即可求得a5．
【解答】解：∵{a n}为等差数列，
∴a3+a8＝a5+a6
∴a5＝a3+a8﹣a6＝22﹣7＝15
20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则＝1．
【分析】先用数列的通项公式表示出a6和S3，进而求得a1和d，根据等差数列求和公式求得S n，代入到答案可得．
【解答】解：依题意可知，
解得a1＝2，d＝2
∴S n＝n（n+1）
∴＝
∴＝＝1
故答案为1
21．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．
【分析】根据题意当且仅当n＝8时S n取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．
【解答】解：∵S n＝7n+，当且仅当n＝8时S n取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．
22．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1＝7，a3+b3＝21，则a5+b5＝35．【分析】根据等差数列的通项公式，可设数列{a n}的公差为d1，数列{b n}的公差为d2，根据a1+b1＝7，a3+b3＝21，可得2（d1+d2）＝21﹣7＝14．最后可得a5+b5＝a3+b3+2（d1+d2）＝2+14＝35．
【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，
∴设数列{a n}的公差为d1，设数列{b n}的公差为d2，
∴a3+b3＝a1+b1+2（d1+d2）＝21，
而a1+b1＝7，可得2（d1+d2）＝21﹣7＝14．
∴a5+b5＝a3+b3+2（d1+d2）＝21+14＝35
故答案为：35
23．S n为等差数列a n的前n项和，S2＝S6，a4＝1则a5＝﹣1．
【分析】由S2＝S6，a4＝1，先求出首项和公差，然后再求a5的值．
【解答】解：由题设知，
∴a1＝7，d＝﹣2，
a5＝7+4×（﹣2）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
24．在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝﹣2，则a4+a5+…+a10＝﹣49．【分析】先根据a5＝3，a6＝﹣2，进而根据等差数列的求和公式根据a4+a5+…+a10＝S10﹣S3求得答案．
【解答】解：由题意知，解得a1＝23，d＝﹣5
∴a4+a5+…+a10＝S10﹣S3＝﹣＝﹣49
故答案为﹣49
25．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．
【分析】由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．
【解答】解：∵a1，a3，a9成等比数列，
∴（a1+2d）2＝a1•（a1+8d），
∴a1＝d，
∴＝，
故答案是：．
26．在数列{a n}中，a n＝4n﹣，a1+a2+…+a n＝an2+bn，n∈N*，其中a，b为常数，则ab＝﹣1．
【分析】由题意可知，数列{a n}为等差数列，故根据等差数列的前n项和公式可得s n的表达式，又已知a1+a2+…+a n＝an2+bn，利用对应系数相等进行求解．
【解答】解：∵a n＝4n﹣，
∴数列{a n}为等差数列，a1＝，d＝4，
∴，
∴，
∴ab＝﹣1．
故答案为﹣1．
27．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12＝21，则a2+a5+a8+a11＝7．【分析】由s12解得a1+a12，再由等差数列的性质得出结果．
【解答】解：由题意得，
．
故答案是7
28．设数列{a n}的首项a1＝﹣7，且满足a n+1＝a n+2（n∈N），则a1+a2+…+a17＝153．【分析】根据a n+1＝a n+2得到a n+1﹣a n＝2，根据等差数列的定义可知此数列为等差数列，根据首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可求出值．
【解答】解：根据a n+1＝a n+2得到此数列为首项a1＝﹣7，公差d＝a n+1﹣a n＝2的等差数列，
则S17＝a1+a2+…+a17＝17×（﹣7）+×2＝153
故答案为：153
29．设等差数列{a n}的公差d是2，前n项的和为S n，则＝3．【分析】由首项a1和公差d等于2，利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出a n和S n，然后把表示的式子代入到极限中，求出极限的值即可．
【解答】解：由公差d＝2，得到a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+a1﹣2，S n＝na1+×2＝n2+n（a1﹣1）
则＝＝
＝3
故答案为3．
30．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，
∴，
即
∴
∴，5+3d≤6+2d，d≤1
∴a4≤3+d≤3+1＝4故a4的最大值为4，
故答案为：4．
三、解答题
31．记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．
【分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质和前n项和的应用求出数列的通项公式；
（Ⅱ）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）数列S n是公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
根据等差数列的性质，a3＝S5＝5a3，故a3＝0，
根据a2a4＝S4可得（a3﹣d）（a3+d）＝（a3﹣2d）+（a3﹣d）+a3+（a3+d），
整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），
故a n＝a3+（n﹣3）d＝2n﹣6．
（Ⅱ）a n＝2n﹣6，a1＝﹣4，
S n＝﹣4n+×2＝n2﹣5n，
S n＞a n，即n2﹣5n＞2n﹣6，
整理可得n2﹣7n+6＞0，
当n＞6或n＜1时，S n＞a n成立，
由于n为正整数，
故n的最小正值为7．
32．已知数列{a n}是公差为2的等差数列．
（1）a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；
（2）设a1＝﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足
，记c n＝S n+2n﹣1•b n（n∈N*），求数列{c n}的最小项（即≤c n对任意n∈N*成立）．
【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．
（2）由已知利用累加法能求出b n＝2﹣（）n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1＝2n﹣19+2n，由此能求出数列{c n}的最小项．
【解答】解：（1）∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．
解得d＝2，a1＝﹣8
（2）b n＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）
＝1+
＝
＝2﹣（）n﹣1．
，
，
＝2n﹣19+2n
由题意n≥5，上式大于零，即c5＜c6＜…＜c n，
进一步，2n+2n是关于n的增函数，
∵2×4+24＝24＞19，2×3+23＝14＜19，
∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，
∴．
33．记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22＝2a1（a3+1），结合s3＝12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得
，解得或，
∴s n＝n（3n﹣1）或s n＝2n（5﹣n）．
34．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0．
（Ⅰ）若S5＝5，求S6及a1；
（Ⅱ）求d的取值范围．
【分析】（I）根据附加条件，先求得s6再求得a6分别用a1和d表示，再解关于a1和d的方程组．
（II）所求问题是d的范围，所以用“a1，d”法．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知S6＝＝﹣3，
a6＝S6﹣S5＝﹣8
所以
解得a1＝7
所以S6＝﹣3，a1＝7；
（Ⅱ）因为S5S6+15＝0，
所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，
整理得，即，
因为，所以，
解得d≤﹣2或d≥2
故d的取值范围为d≤﹣2或d≥2．
35．已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由．
【分析】（1）由题意可知2a3＝a1+a2，根据等比数列通项公式代入a1和q，进而可求得q．
（II）讨论当q＝1和q＝﹣，时分别求得S n和b n，进而根据S n﹣b n与0的关系判断S n与b n的大小，
【解答】解：（1）由题意可知，2a3＝a1+a2，即a1（2q2﹣q﹣1）＝0，∴q＝1或q ＝﹣；
（II）q＝1时，S n＝2n+＝，∵n≥2，∴S n﹣b n＝S n﹣1＝
＞0
当n≥2时，S n＞b n．
若q＝﹣，则S n＝，同理S n﹣b n＝．
∴2≤n≤9时，S n＞b n，n＝10时，S n＝b n，n≥11时，S n＜b n．
36．设公差不为零的等差数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，且S32＝9S2，S4＝4S2，求数列{a n}的通项公式．
【分析】设出等差数列的首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式由S32＝9S2，S4＝4S2列出关于首项和公差的方程，解出首项和公差即可得到等差数列的通项公式．【解答】解：设数列{a n}的公差为d（d≠0），首项为a1，
由已知得：．
解之得：或（舍）
∴．
37．已知等差数列{a n}中，a2＝9，a5＝21．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）设出数列的公差，分别根据等差数列的通项公式表示出a2和a5联立方程求得和a1和d，则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中求得的a n代入b n＝2an中求得b n，判断出数列{b n}为等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得前n项的和．
【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意得
解得a1＝5，d＝4，
∴{a n}的通项公式为a n＝4n+1．
（2）由a n＝4n+1得
b n＝24n+1，
∴{b n}是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．
∴S n＝．
38．设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．
（Ⅰ）若a11＝0，S14＝98，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项．
（Ⅱ）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据{a n}的首项a1及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由S14＝98得2a1+13d＝14，
又a11＝a1+10d＝0，
∴解得d＝﹣2，a1＝20．
∴{a n}的通项公式是a n＝22﹣2n，
（Ⅱ）由
得
即
由①+②得﹣7d＜11．
即d＞﹣．
由①+③得13d≤﹣1
即d≤﹣
于是﹣＜d≤﹣
又d∈Z，故
d＝﹣1 ④
将④代入①②得10＜a1≤12．
又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12．
∴所有可能的数列{a n}的通项公式是
a n＝12﹣n和a n＝13﹣n，
39．已知数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1+a2+a3＝12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n＝a n x n（x∈R），求数列{b n}前n项和的公式．
【分析】（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．
（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．
【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，
则a1+a2+a3＝3a1+3d＝12．
又a1＝2，得d＝2．
∴a n＝2n．
（2）当x＝0时，b n＝0，S n＝0，
当x≠0时，令S n＝b1+b2+…+b n，
则由b n＝a n x n＝2nx n，得
S n＝2x+4x2++（2n﹣2）x n﹣1+2nx n，①
xS n＝2x2+4x3++（2n﹣2）x n+2nx n+1．②
当x≠1时，①式减去②式，得
（1﹣x）S n＝2（x+x2++x n）﹣2nx n+1
＝﹣2nx n+1．
∴S n＝﹣．
当x＝1时，S n＝2+4++2n＝n（n+1）．
综上可得，当x＝1时，S n＝n（n+1）；
当x≠1时，S n＝﹣．
40．（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当n＝4时，求的数值；
（ii）求n的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
【分析】（1）根据题意，对n＝4，n＝5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．
（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．
【解答】解：（1）①当n＝4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．
若删去a2，则a32＝a1•a4，即（a1+2d）2＝a1•（a1+3d）化简得a1+4d＝0，得
若删去a3，则a22＝a1•a4，即（a1+d）2＝a1•（a1+3d）化简得a1﹣d＝0，得
综上，得或．
②当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续
三项．
若删去a3，则a1•a5＝a2•a4，即a1（a1+4d）＝（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2＝0，因为d≠0，所以a3不能删去；
当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，a n﹣2，a n﹣1，
a n中，由于不能删去首项或末项，
若删去a2，则必有a1•a n＝a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；
同样若删去a n﹣1也有a1•a n＝a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；
若删去a3，…，a n﹣2中任意一个，则必有a1•a n＝a2•a n﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）
综上所述，n＝4．
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，b n，其中
b x+1，b y+1，b z+1（0≤x＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1＝b x+1•b z+1，
即（b1+yd）2＝（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2＝（x+z﹣2y）b1d（*）由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0
当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x＝y＝z与题设矛盾．
故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得
因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有
理数．
于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意
要求的数列．
例如n项数列1，，，…，满足要求．。