上海市年高二数学上学期10月月考试题(含解析)

上海市2021-2021年高二数学上学期10月月考试题（含解析）
(3,1)-和点(2,2)-的直线的点方向式方程是________.
【答案】
31
53
x y +-=- 【解析】 【分析】
先设直线上任一点坐标为(,)x y ，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果. 【详解】设直线上任一点坐标为(,)x y ，因为直线经过点(3,1)-和点(2,2)-， 所以直线的方向向量为(2,2)(3,1)(5,3)=---=-a ， 因此，直线的点方向式方程是：31
53
x y +-=-. 故答案为：
31
53
x y +-=- 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.
220x y +-=和10mx y -+=的夹角为
4
π
，那么m 的值为________. 【答案】3或13
- 【解析】 【分析】
先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果. 【详解】记直线220x y +-=和10mx y -+=的斜率分别为1k ，2k ， 则12k =-，2=k m ，
又两直线夹角为4
π
，
所以1212
tan
41-π=+k k k k ，即
2112--=-m m ，解得3m =或1
3m =-. 故答案为：3或1
3
-
【点睛】本题主要考查由直线的夹角求参数的问题，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题
型.
1l 的斜率为2，2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍，则2l 的斜率为________.
【答案】43
- 【解析】 【分析】
记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β，根据题意求出tan β，即可得出结果. 【详解】记直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为β， 因为直线1l 的斜率为2，所以tan 2α=， 又2l 的倾斜角为1l 的倾斜角的2倍， 所以2
2tan 44
tan tan 21tan 143
αβαα====---， 即2l 的斜率为43
-. 故答案为：43
-
【点睛】本题主要考查求直线的斜率，熟记斜率的定义，以及二倍角公式即可，属于基础题型.
(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称，则直线l 的一般式方程为________.
【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】
先由题意求出P 、Q 两点的中点坐标，以及直线PQ 的斜率，得到所求直线的斜率，从而可求出结果.
【详解】因为点(3,2)P 与点(1,4)Q 的中点坐标为(2,3)， 直线PQ
斜率为42
113
-=
=--PQ k ， 又点(3,2)P 与点(1,4)Q 最新直线l 对称， 所以直线l 过点(2,3)，且PQ l ⊥，
因此直线l 的斜率为11PQ
k
k ，
所以，直线l 的方程为32y x -=-，整理得：10x y -+=. 故答案
：10x y -+=
【点睛】本题主要考查由两定点求其对称直线的方程，熟记直线的点斜式方程以及一般式方程即可，属于常考题型.
(1,2)A -，(1,4)B ，若直线l 过点(2,3)M --，且A 、B 到直线l 的距离相等，则直线l 的一
般式方程为________.
【答案】10x y --=或330x y -+= 【解析】 【分析】
根据题意，分A 、B 两点在直线l 的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果.
【详解】设直线l 的斜率为k ，
因为点(1,2)A -，(1,4)B 到直线l 的距离相等，直线l 过点(2,3)M --， 若A 、B 两点在直线l 的同侧，则//AB l ，即42111
AB
k
k ，
所以直线l 的方程为：32+=+y x ，即10x y --=；
若A 、B 两点在直线l 的不同侧，则直线l 必过AB 中点(0,3)，即33302
k ，
所以直线l 的方程为：33y x =+，即330x y -+=. 故答案为：10x y --=或330x y -+=
【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.
a 、
b 、
c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则b 与c 的夹角为____.
【答案】
34
π 【解析】
【分析】
先由230a b c ++=得到23=--a b c ，分别代入a b b c ⋅=⋅和⋅=⋅b c c a ，求出2=-⋅b b c ，
=-⋅c b c ，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因为230a b c ++=，所以23=--a b c ， 代入a b b c ⋅=⋅得：(23)--⋅=⋅b c b b c ，即2=-⋅b b c ； 代入⋅=⋅b c c a 得：()
23⋅=⋅--b c c b c ，即=-⋅c b c ， 所以12cos ,2
2⋅⋅<>=
=
=-
=-⋅⋅-⋅b c b c b c b c
b c b c
，
因此b 与c 的夹角为34
π
.
故答案为：
34
π 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的数量积运算，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.
ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值
是________. 【答案】43【解析】 【分析】
先由题意，得到122∆∆=
=PBC ABC S S ，推出4sin ⋅=∠PB PC BPC
，由向量数量积得到4cos sin ∠=⋅∠BPC B P PC C PB ，再由余弦定理得到2
88cos sin -∠≥∠BC BPC BPC ，令=∠x BPC ，
84cos ()sin -=x f x x
，用导数的方法求函数的最小值，即可得出结果.
【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半， 所以2∆∆=ABC PBC S S ，
又4ABC S ∆=，所以1
2sin 2
∆==⋅⋅∠PBC S PB PC BPC ， 因此4sin ⋅=
∠PB PC BPC
，所以4cos cos sin ∠⋅⋅∠=∠⋅=BPC
PB PC BP PC P C P B B C ；
又由余弦定理可得：2
2
2
2cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC
22co 88cos sin s ≥⋅-⋅∠-∠∠=
PB PC PB PC BP BPC
C BPC
，
当且仅当PB PC =时，取等号；
所以2
4cos 88cos 84cos sin sin sin sin ⋅∠+≥
∠-∠+-=∠∠∠∠BPC BPC BPC
BP PC PB C BPC BPC BP BC C ，
令=∠x BPC ，84cos ()sin -=x
f x x
，()0,x π∈；
又2224sin (84cos )cos 48cos ()sin sin ---'==
x x x x
f x x x
， 由()0f x '>得1cos 2x <
，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2
x >，所以03x π
<< 所以()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增；
所以
min 82
()43
3
2
-=
=f x ， 因此2
43⋅+≥PC PB BC . 故答案
：43
【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值问题，熟记余弦定理，向量数量积的运算，基本不等式，以及导数的方法求最值即可，属于常考题型.
8.如图，设AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量，x ∈R ，有下列命题：
① 最新x 的方程20ax bx c ++=可能有两个不同的实数解；
② 最新x 的方程20ax bx c ++=一定没有实数解； ③ 最新x 的方程20ax bx +=的实数解为0x =或b x a
=-；
④ 最新x 的方程20ax bx +=没有非零实数解； 其中真命题是_______ . 【答案】②④ 【解析】 【分析】
根据题意，结合平面向量基本定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为AB a =，AC b =，AD c =是平面上两两不平行的三个非零向量， 对于①，方程20ax bx c ++=可化为，2=--c x a xb ，由平面向量基本定理分析可得：
20ax bx c ++=最多有一个解，故①错；
对于②，a ，b ，c 都是非零向量，方程20ax bx c ++=是最新向量的方程，因此方程在实数集内一定无解，故②正确；
对于③，因为a ，b 都是不平行的非零向量，因此，由20ax bx +=得到()
0+=ax b x ，所以
0+≠ax b ，只能0x =，即实数解为0x =，故③错，④正确；
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 9.“1
2
m =
”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】
先由两直线垂直求出m 的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直， 则(2)(2)3(2)0+-++=m m m m ，即(2)(42)0+-=m m ，解得2m =-或12
m =； 因此由“1
2
m =
”能推出“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”，反之不能推出， 所以“1
2
m =
”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的充分非必要条件. 故选：B
【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.
210x my --=（0m <）的倾斜角为（ ）
A. 2arctan
m B. 2arctan
m
- C. 2arctan
m
π+ D.
2
arctan m
π-
【答案】C 【解析】 【分析】
记直线的倾斜角为α，根据斜率的定义，得到2
tan α=
m
，从而可求出结果. 【详解】记直线的倾斜角为α，因为直线方程为：210x my --=，0m <， 所以2tan α=m ，因此2arctan απ=+m
. 故选：C
【点睛】本题主要考查由直线方程求直线倾斜角，熟记斜率定义，以及反三角函数的表示即可，属于常考题型.
11.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x 、y 分别为点O 到两个顶点的向量，若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写出ax by +的形式，则+a b 的最大
值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，作出图形，分别用x 、y 表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果. 【详解】要求+a b 的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下： （1）因为=OA x ，所以(,)(1,0)=a b ；
（2）因为3=+=+OB OF FB y x ，所以(,)(3,1)=a b ； （3）因为2=+=+OC OF FC y x ，则(,)(2,1)=a b ； （4）因
32=++=++=+OD OF FE ED y x OC x y ，则(,)(3,2)=a b ；
（5）因为=+=+OE OF FE y x ，则(,)(1,1)=a b ； （6）因为=OF y ，则(,)(0,1)=a b ； 因此，+a b 的最大值为325+=. 故选：C
【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，
l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？
【答案】见解析. 【解析】 【分析】
()1当两条直线不平行，即斜率不同时相交，
()2当两条直线k 相同，b 不同时平行 ()3当两条直线k 相同，b 也相同时重合
【详解】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交． 当m≠0且m≠2时，由
＝
得m ＝－1或m ＝3，由
＝，得m ＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．
【点睛】本题属于中档题，考查了两条直线的相交，平行，重合的条件，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此类题的时候应采用分类讨论的方法分情况得到所求的范围。

(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点. （1）若//PA PB ，求OP 的坐标；
（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值. 【答案】（1）1717(,)48；（2417-.
【解析】 【分析】
先由题意，设(2,)=OP x x ，得到(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，
（1）根据//PA PB ，得到(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，求出x ，即可得出结果； （2）先由题意，得到25(2)8⋅=--PA PB x ，得到当2x =时，PA PB ⋅取最小值，求出
(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =， 所以可设(2,)=OP x x ，因为(1,7)OA =，(5,1)OB =，
所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ，(52,1)=-=--PB OB OP x x ， （1）因为//PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=
x ，所以1717,48⎛⎫
= ⎪⎝⎭
OP ；
（2）因为(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，
所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅取最小值， 此时(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ， 所以35417
cos 179252
⋅--∠=
=
=-
+⋅⋅PA PB APB PA PB
. 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.
14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB .AD 边分别在x 轴.y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。

将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上。

（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； （2）当230k -≤≤时，求折痕长的最大值；
（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设2(2||1)t k PQ =-，试求t 的最大值。

【答案】（1）21
22
k y kx =++；
（2）2(62)；（3）22- 【解析】 【分析】
(1)对k=0,
0k ≠分类讨论，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，先求G 的坐标，再求折痕所在的直线与OG 的交点坐标，写出直线的点斜式方程.(2) 先求出折痕直线交BC 于点212,222k M k ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭，交y 轴于210,2k N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求22222211||22442
22k k MN k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦的最大值，即得折痕长的最大值.(3)先求得22222111||11222k k PQ k
k k ⎡⎤+⎛⎫=+---=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，再求t 的表达式和其最大值. 【详解】(1) ①当0k =时,此时A 点与D 点重合, 折痕所在的直线方程12
y =
②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，
所以A 与G 最新折痕所在的直线对称，
有1OG k k ⋅=-⇒
11k a ⋅=-⇒a k =- 故G 点坐标(),1G k -，
从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为1,22k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122
k y kx =++ 由①②得折痕所在的直线方程为：2122
k y kx =++ （2）当0k =时，折痕的长为2;
当230k -≤≤时，折痕直线交BC 于点212,222k M k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y 轴于210,2k N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∵(22222211||22444474332163222k k y MN k k ⎡⎤⎛⎫+==+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
321632
62-=。

而2622> ,故折痕长度的最大值为262 （3）当21k -≤≤-时，折痕直线交DC 于1,122k P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
∵22222111||11222k k PQ k
k k ⎡⎤+⎛⎫=+---=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦ ∴22(2||1)t k PQ k k =-=+ ∵21k -≤≤- ∴222k k
+≤-()22,1k =---时取“=”号） ∴当2k =-t 取最大值，t 的最大值是22-。

【点睛】（1）本题主要考查直线方程的求法，考查直线对称问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是函数的思想，求函数最值，常用函数的方法，先求函数的解析式和定义域，再利用函数的图像和性质求函数的最值.。