河流动力学概论(清华版)习题

河流动力学概论(清华版)习题
第二章
1. 等容粒径、筛分粒径、沉降粒径的定义各是什么？为什么筛析法得到的泥沙颗粒粒径接近于它的等容粒径？ 答：
（1）等容粒径为与泥沙颗粒体积相同的球体直径。

如果泥沙颗粒的重量W 和容重γs （或体积V ）可以测定，则其等容粒径可按下式计算：
113
3
66n s V W D ππγ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）如果泥沙颗粒较细，不能用称重或体积法确定等容粒径时，一般可以采用筛析法确定
其筛分粒径。

设颗粒最后停留在孔径为D 1的筛网上，此前通过了孔径为D 2的筛网，则可以确定颗粒的粒径范围为D 1＜D ＜D 2。

（3）对于粒径小于0.1 mm 的细砂，由于各种原因难以用筛析法确定其粒径，而必须用水析法测量颗粒在静水中的沉速，然后按照球体粒径与沉速的关系式，求出与泥沙颗粒密谋相同、沉速相等的球体直径，作为泥沙颗粒的沉降粒径。

（4）对形状不规则的泥沙颗粒，可以量测出其互相垂直的长、中、短三轴，以a ，b ，c 表示。

可以设想颗粒是以通过中轴筛孔的，因此筛析所得到的颗粒的中轴长度b 。

对粒径较粗的天然泥沙的几何形状作统计分析，结果可以表达如下式：
()13
b ab
c =
即中轴长度接近（实测结果为略大于）三轴的几何平均值。

如果把颗粒视为椭球体，则其体积为
6
V abc π
=
等容粒径为
()11
3
36n V D abc π⎛⎫== ⎪⎝⎭
因此，如果上述各假设成立，则筛析法所得到的泥沙颗粒粒径（颗粒恰好通过的孔径）接近于它的等到容粒径。

2. 100号筛的孔径是多少毫米？当泥沙粒径小于多少毫米时就必须用水析法做粒径分析？ 答：查表2-2知100号筛的孔径是0.149 mm ，当泥沙粒径小于0.1 mm 时就必须用水析法做粒径分析。

3. 什么是颗粒的形状系数？
答：有时采用形状系数（shape factor ）来综合表示颗粒形状特点，定义如下：
SF =
4. 密度、容重、干容重在概念上有什么区别？ 答：
颗粒的密度ρs 即颗粒单位体积内所含的质量，国际单位制单位为kg/m 3或g/cm 3
，工程
中常用t/m 3。

容重γs 的定义是泥沙颗粒的实有重量与实有体积的比值（即排除孔隙率在外），国际
单位制单位为N/m 3，工程中常用kgf/m 3。

一般把单位体积沙样干燥后的重量称为干容重，记为γs ’，其国际单位制单位取N/m 3。

有时也用干密度，单位为kg/m 3或g/cm 3
等。

由于颗粒之间存在着孔隙，干容重一般小于单个颗粒的容重。

随着淤积物不断密实，其干容重也逐渐接近其极限值。

5. 什么是级配曲线？给出中值粒径、算数平均粒径、几何平均粒径的定义或定义式。

答：
级配曲线通常都画在半对数坐标纸上，横坐标表示泥沙粒状径，纵坐标表示小于某粒径的泥沙在总沙样中所占的重量百分比。

中值粒径，即累积频率曲线上纵曲线上纵坐标取值为50%时所对应的粒径值。

换句话说，细于该粒径和粗于该粒径的泥沙颗粒各占50%的重量。

算数平均粒径D m ，即各粒径组平均粒径的重量百分比的加权平均值，其计算公式为
1
1100n
m i i i D D p ==⋅∆∑ 几何平均粒径D mg ，对天然泥沙的级配分析结果表明，泥沙粒径的对数值常常是接近于
正态分布的。

如果点绘在特制的对数正态概率纸上，则累积频率曲线会接近于一条直线。

粒径取对数后进行平均运算，最终求得的平均粒径值称为几何平均粒径，其计算过程如下：
因为 1
1ln ln 100n
m i i i D D p ==⋅∆∑ 故 11exp ln 100n mg i i i D D p =⎛⎫=⋅∆ ⎪⎝⎭
∑
6. 某海滩的沙粒粒度范围是 1.4
3.6φ=，试给出以毫米为单位的颗粒粒径范围。

答：由2log D φ=-，推出2D φ
-=
故得 3.6
1.42
20.08247
0.37893D mm --=≈
7. 细颗粒泥沙有什么特殊性质？试说明该性质在实际工程中的重要意义。

答：细颗粒泥沙又称为粘性泥沙。

细颗粒泥沙的粒径多属于粘土和胶粒范畴，由于比表面积很大，其界面化学效应极为突出。

水体化学条件的变化可导致细颗粒泥沙的絮凝或分散。

细泥沙在输运、沉降和再悬浮过程中都会发生电化学变化，其起因主要是组成细颗粒泥沙的粘土矿物表面带有电荷。

8. 从流体力学的观点来看，粗颗粒与细颗粒在沉降时有什么不同？ 答：粗颗粒的绕流阻力系数接近为一个常数，而细颗粒的绕流阻力系数与颗粒绕流雷诺数成
反比。

9. 试分别给出：圆球的重力与阻力的平衡表达式（极限沉速状态下）；层流绕流和紊流绕流两种状态下的圆球沉速表达式；绕流流态从层流向紊流过渡状态下的圆球沉速表达式。

答：
圆球的重力与阻力的平衡表达式（极限沉速状态下）：()
3
22
6
4
2
s D
D D C ππρωγγ-=
层流绕流状态下的圆球沉速表达式：2118s gD γγωγν
-=
紊流绕流状态下的圆球沉速表达式：ω=绕流流态从层流向紊流过渡状态下的圆球沉速表达式：
214k k D νω=-
10. 由关于泥沙沉速ω的一元二次方程式（2-55），推求沉速ω的表达式。

答：一元二次方程式（2-55）整理得：()
22
3
1
204
2
6
s D D k k D πρωππμωγγ+--=
故
21
4
2
D a k πρ
=，2b k D πμ=，()
3
6
s D c πγγ=--
于是得22211
42242
k D k b
D a
k D k πμνπρ==，
()3
211
46
34
2
s s D c
gD D a k k πγγγγ
πρ
γ
----=-=
又因泥沙沉速ω是非负值，所以舍去负根。

代入求根公式即得沉速ω的表达式：
2142k b a k D νω=-=-
11. 形状和温度对沉速各有什么影响？含沙浓度对沉速有什么影响？ 答：
形状对沉速的影响：
层流情况：2
D ω∝
过渡区情况：粒径越大，沉速越大 紊流情况：12D
ω∝
温度对沉速的影响：
层流情况：1
ων
∝
，温度越高，ν越小，则沉速越大
过渡区情况：13
1
ων
∝
，温度越高，ν越小，则沉速越大
紊流情况：温度对沉速没有影响 含沙浓度对沉速的影响： （1）低含沙量的情况：0
12
1 1.24v
kS ωω=
+
故体积比含沙量越大，沉速越小。

（2）高含沙量的情况：()01m
v S ωω=-，m 值在 2.39～4.56之间
故体积比含沙量越大，沉速越小。

12. 定性分析粘性颗粒泥沙的沉速。

答：略（详见书上第39至40页）。

13. 泥沙颗粒的存在为什么能影响浑水的粘性系数和流变特性？ 答：略（详见书上第43至44页）。

14. 什么是推移质？什么是悬移质？它们在物理本质上有什么不同？对实际的河床演变过程中有什么不同的影响？
答：泥沙以群体形式运动时，以滚动（包括层移）、跃移形式运动的颗粒统称为推移质，以悬移形式运动的则统称为悬移质。

略（详见书上第45页）。

15. 如何划分床沙质与冲泻质？它们在物理本质上有什么不同？对实际的河床演变过程有什么不同的影响？
答：略（详见书上第46页）。

16. 比重为2.65的石块质量为5 kg ，求其等容粒径。

解：因为3
2.65/kg m ρ=,5M kg =
故11
13
3
3
66650.1533122650n V M D m ππρπ⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫
====
⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
17. 一粒天然泥沙颗粒的主要成分为斜长石（比重为2.65），恰好能通过10号筛，求此颗粒的大致重量。

解：10号筛的孔径为2.00 mm ，因为筛分粒径相当于等容粒径（例2-1） 故D n = 2.00 mm ，因此
()
3
33
26509.8 2.0010 1.0886
6
n
gD W N ππρ-⨯⨯⨯⨯=
=
=
18. 从表2-4的级配数据，求：（1）自选作图软件，点绘颗粒分布频率累积曲线图；（2）由图上量出84.1D 和15.9D
的值，计算均方差g σ
和中值粒径mg D =；
（3）由图上量出50D ，与表2-4中计算得到的mg D 进行比较。

解：（1）利用Excel 图表画出颗粒分布频率累积曲线图，如下图：
（2）由上图量得84.10.480D mm =，15.90.280D mm = 故
1.309g σ=== 0.367mg D mm ==
（3）由图上量出500.360D mm =，而表2-4中计算得到的0.366mg D mm =，前者略小于后者，但两者相差甚微。

19. 证明312100
100100
100
100
1
2
3
1
i n p p p p p n
mg i
n
i D D
D
D D D ∆∆∆∆∆==
=⋅⋅⋅∏
证明：书上第29页公式（2-9）已推出11exp ln 100n mg
i i i D D p =⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭
∑
继续化简得：100100
111exp ln exp ln exp ln 100i i
p p n n
n i mg
i
i i i i i p D D D D ∆∆===⎡⎤⎛⎫⎛⎫∆⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∏ 又因为 ()exp ln (0)a a a => 故 312100
100100
100
100
1
2
3
1
i
n p p p p p n
mg i
n
i D D
D
D D D ∆∆∆∆∆==
=⋅⋅⋅∏，即得证。

20. 一次洪水后，在一段长20 km 、宽1000 m 的河道中产生的泥沙淤积以重量计共为3000
万tf 。

试求：（1）设淤积物为粒径D 50 = 0.2 mm 的沙粒，干密度为1.20 t / m 3
，该河段的
平均淤积厚度为多少？（2）若设淤积物为粒径D 50 = 0.3 mm 的粉沙，干密度为0.70 t / m 3
，则该河段的平均淤积厚度又是多少？
解：（1）4
3
300010 1.251.2020101000s W h m A γ⨯∆===⨯⨯⨯' （2）4
3
300010 2.1430.7020101000
s W h m A γ⨯∆===⨯⨯⨯'
21. 动床模型试验中常采用量瓶法测量浑水浓度。

量瓶的容积约为1000 cm 3
，每次使用前需在当时水温下精确测量其容积。

已知某次测量数据为：水温20℃，空瓶的质量为113.0 g ，空瓶加水清水的质量为1146.14 g ，空瓶加浑水的质量为1149.42 g ，滤出瓶中浑水中的沙
样烘干后得沙的质量为52.99 g 。

已知模型沙颗粒容重为1.065 gf / cm 3
，20℃时清水容重
为0.9982 gf / cm 3。

试求：量瓶体积、沙样固体的体积、浑水的体积比和重量比浓度。

解：清水质量1146.14113.01033.14g =-=
浑水质量1149.42113.01036.42g =-=
量瓶体积31033.14
1035.0030.9982
cm =
=
沙样固体的体积352.99
49.7561.065cm ==
浑水的体积比浓度49.756
0.0481 4.81%1035.003===
浑水的重量比浓度52.99
0.0511 5.11%1036.42
===
22. 推导例2-6中给出的重量ppm 值S 与重量比含沙量S w 的关系。

解：公式2-32推出()()
w
m s v s s
S S γγγγγγγγ=+-=+-代入
666101010w m
S S γ=
⨯=⨯=⨯⨯泥沙固体重量泥沙固体重量
浑水总重量浑水总体积浑水容重
得：()
610w
w
s s
S S S γγγγ=
⨯+- 整理得到
()6
6
101110
w s S S S γγγ--=--⨯
23. 将含沙水体的容重γm 分别表达为重量比含沙量S w 的和体积比含沙量S v 的函数。

解：公式2-32得：()()()11m w v v s v s v S S S S S γγγγγγγ=+-=+-=+- 又因为 w
v s
S S γ=代入得：
24. 动床河工模型设计中的一个重要参数是沉速比尺λω = ωp /ωp ，其中下标p 表示原型沙的沉速，下标ω表示模型沙的沉速。

为了达到原型、模型淤积部位相似，常令λω = λv =
(λh )1 /2，其中λh 是模型的垂向长度比尺。

已知原型沙的容重是γs = 2650 kgf / m 3
，原型沙的中值粒径是D 50 = 0.03 mm ，原型中水温为20℃。

模型的垂向长度比尺λh = 40,模型中
用容重为γs = 2650 kgf / m 3
的电木粉末作为模拟沙。

试求： （1）试验中水温控制在20℃，则模型沙的中值粒径D 50应是多少？
（2）试验中的实际水温是5℃，此时仍按（1）算出的模型沙中值粒径D 50进行试验，则试验中实际的沉速比尺λω是多少？
（3）试验时水温控制在20℃，但模型中悬沙浓度为100 kg / m 3
，此时试验中实际的沉速比尺λω是多少？
提示：沉速用层流区公式计算，粒径用D 50代表，水的物理性质如下：
0 v 解：（1）
6.3246p
ω
ωω=== 层流区沉速计算公式为 2
118s gD γγωγν
-=，且模型与原型水温同为20℃
()1w
m s w s s S S γγγγγγγγ⎛⎫
=+-=+- ⎪⎝⎭
故 ()(
)22
502250502650998.20.031500998.2p sp p p s D D D ωωωωωωγγωγγ--⨯===--⨯，得 500.02164D mm ω=且 ()()
2
32
506
42650998.29.80.0310********.2 1.004108.0761110/sp p p
p p p
gD m s
γγωγν----⨯⨯⨯-=
=
⨯⨯⨯=⨯
（2）模型水温为5℃，原型水温为20℃，此时
()()
2
32
506
5150010009.80.0216410118181000 1.514108.4200010/s gD m s
ωωω
ωωωγγωγν----⨯⨯⨯-==
⨯⨯⨯=⨯
故 4
5
8.07611109.591588.4200010p h ωωλω--⨯===⨯
（3）模型与原型水温同为20℃
4
40 1.2769510/m s ωω--===⨯
1001
150015
v S =
==模型悬沙浓度模型沙密度
故 ()
5
5
44011 1.276951010.9043910/15v S m s ωωω--⎛
⎫=-=⨯⨯-=⨯ ⎪⎝⎭
所以 4
44
8.07611108.9299010/0.9043910
p m s ωωωλω---⨯===⨯⨯
第三章 1~6题略
1. 写出明渠均匀流动断面平均流速的经典阻力方程式。

答：
2. 试述明渠均匀流动断面平均流速的对数律公式各变量的意义。

答：对数律公式
* 5.75lg 12.27s U
R k U χ⎛⎫
'= ⎪'⎝⎭
其中，s k 为边界粗糙突起的高度，也称边壁粗糙尺度或床面粗糙尺度；R '为沙粒阻力对应
的水力半径；*U '=
为沙粒阻力对应的剪切流速；χ为校正系数，由图3-10确定，
图中*11.6U δν=，为粘性底层的计算厚度。

3. 分析下列针对明渠水流阻力问题所作的判断是否正确： （1）Manning 系数n 只随边界粗糙度而变；
（2）Darcy-Weisbach 系数f 不仅与边界粗糙程度有关，还与水深有关。

答：
（1）错，如河底沙波的消长，或当河渠中的杂草生长时，水流强度低的情况下杂草直立使n 值较大，而水流强度大的情况下（例如发生洪水时），杂草会倒伏，使得n 值较小。

（2）对，由公式（3-21）得：2
138gn f R
=，而式中R 与h 有关。

4. Shields 数可以看作哪两个力的比值？
答：Shields 数可以看作水流作用在床面上的剪切力与床沙水下重力的比值。

5. 试说明水流的流区与床面形态之间的关系。

答：对应于定床水流的缓流、临界流、急流三种情况，可以将动床明渠水流的能态分为如下三种，各自对应于不同的床面形态，如书上图3-4所示。

（1）低能态流区：其床面形态包括：①沙纹；②沙垄。

（2）过渡区。

其床面形态是平整床面，这是从沙垄到逆行沙垄的过渡区。

（3）高能态流区。

其床面形态包括：①平整床面；②逆行沙垄和驻波；③急滩与深潭。

非平整状况下沙质河床形态统称为沙波。

6. 试推导Chezy 阻力系数C 、Manning 糙率系数n 、Darcy-Weisbach 阻力系数f 、对数公式中粗糙突起高度k s 、床沙代表粒径D 65五者之间的关系。

答：略，详见书上第60页公式（3-21）的推导。

7. 某渠道断面为梯形，底宽为 5.0 m ，边坡 1﹕2，坡降 J = 3/10000（万分之三），边壁
突起高度k s = 0.008 mm ，无床面形态，试用Einstein 的断面平均流速公式求 Q = 35 m 3
/s 时的水深。

解：已知 b = 5.0 m ，m = 2，J = 0.0003，k s = 0.008 m ，Q = 35 m 3
/s 水力半径
52b mh h
h h R ++=
=
Einstein 统一公式为
* 5.75lg 12.27s U
R k U χ⎛⎫
'= ⎪'⎝
⎭，无床面形态，所以**,R R U U ''==
又因为()35
52Q U A h h
=
=+
，*U ===
，6
*0.0080.00811.611.610
s
k U δ
ν-=
==⨯χ可查图3-10，代入得：
5.75lg 12.270.008R χ⎛
⎫= ⎪
⎝
⎭ 此公式两边皆为关于h 的函数，故采用试算法
得水深h = 2.586 m
也可采用Fortran 编程调用IMSL 库，源程序如下： program main use IMSL
implicit none
real(8), parameter :: ERRABS = 0.0
real(8), parameter :: ERRREL = 0.000001 integer :: MAXFN = 100 real(8) :: A,B
real(8), external :: F A=2. B=3.
call DZBREN (F, ERRABS, ERRREL, A, B, MAXFN) write(*,*) B,MAXFN end program
real(8) function F(X) implicit none real(8) X,r
r=(2.*x+5.)*x/(5.+2.*sqrt(5.)*x)
F = 35./((2.*x+5.)*x)/(sqrt(9.8*r*0.0003))-5.75*log10(12.27*r/0.008) return end function
得水深 h = 2.586016 m
8. 已知：梯形断面渠道如图，Q = 40 m 3
/s ，坡降 J = 8/10000（万分之八），b = 5 m ，ν
= 10-6 m 2
/ s ，泥沙粒径 D 35 = 0.3 mm ，D 65 = 0.9 mm ，水深 h = 2.0 m 。

设断面平均流速U 由沙粒阻力决定，即
* 5.75lg 12.27s U
R k U χ⎛⎫
'= ⎪'⎝⎭，求沙粒阻力对应的水力半径R ’。

解：忽略岸壁阻力，即 R = R ’。

* 5.75lg 12.27s U
R k U χ⎛⎫
'= ⎪'⎝⎭
令 k s = D 65 = 0.9 mm = 0.0009 mm 。

为了从图3-10查出χ，需要用到粘性底层厚度δ′
的值：
64
*11.6U νδ--'==='
故
s
k δ='
用 R ’的试算值计算Einstein 的水流强度参数 ψ′。

35 2.65 1.00.00030.61875
1.00.0008s D R J R R
γγψγ--'=
=⨯='''⨯ 由图3-10可查出此ψ′值所对应的 *U U '值为80。

计算*U '和R ''的值
**U U U U ⎛⎫
''= ⎪ ⎪''⎝⎭
()()
2
2
**0.00784
U U R g J ''
''
''=
=
水力半径 R 与水深的关系为：
5252 2.0 2.0 1.29085
h h R m
++⨯⨯===
水深与面积的关系为：()()2
5252 2.0 2.018A h h m =+=+⨯⨯= 求出Q AU =，与给定的流量值比较。

采用试算法:
得 R ’ = 1.100 m
9. 用于床面上的全部剪切力中只有一部分对沙波的形成(也即推移质的运动)直接起作用,这就是所谓的 B 。

(A)沙波阻力 (B)沙粒阻力
10. 在宽2.4 m 的水槽中测得如下数据：
试运用图3-5到图3-9所示的判别准则估计其床面形态，并与实测结果对比。

解：
已知D 、U 、J 、h 及实测床面形态，得下表：
根据Θ与Re *及图3-5得两种情况下床面形态分别为短沙垄和短沙垄。

根据Θ与Fr 及图3-9得两种情况下床面形态分别为沙垄和过渡区。

11. 某河流中平均流速U = 1.7 m/s ，平均水深h = 3.0 m ，水力坡降J = 7.7 / 10000（万分之七点七），推移质粒径D = 0.51 mm ，试用图3-9判断河床上有无沙波形态。

解：010009.8 3.00.0007722.638ghJ Pa τρ==⨯⨯⨯=
()()03
22.638
2.74510265010009.80.5110
s D τγγ-Θ=
==--⨯⨯⨯
0.31353Fr =
== 根据Θ与Fr 查图3-9得：河床形态为沙垄。

12. 已知宽浅型冲积河道，单宽流量q = 2.5 m 3
/(s ·m)，比降为J = 3/10000（万分之三），D 50 = 0.5 mm ，D 35 = 0.3 mm ，D 65 = 0.9 mm 。

试用Einstein 方法求其水深，并求此种情况下的糙率n 和Darcy-Weisbach 系数f 各为多少？ 解：忽略岸壁阻力，即R = R b 。

计算步骤如下： （1）给出R ’的初始试算值。

（2）用R ’的试算值计算平均流速。

* 5.75lg 12.27s U
R k U χ⎛⎫
'= ⎪'⎝⎭
其中令k s = D 65 = 0.9 mm = 0.0009 mm 。

为了从图3-10查出χ，需要用到粘性底层厚度δ′
的值：
64
*11.6U νδ--'==='
故
s
k δ='
（3）用R ’的试算值计算Einstein 的水流强度参数 ψ′。

35 2.65 1.00.0003 1.65
1.00.0003s D R J R R γγψγ--'=
=⨯='''
⨯
由图3-10可查出此ψ′值所对应的 *U U '的值。

（4）计算*U '和R ''的值
**U U U U ⎛⎫''= ⎪ ⎪''⎝⎭
()()
2
2
**0.00294
U U R g J ''
''
''=
=
（5）因为是宽浅型河道，故水力半径 R 与水深的关系为：R h ≈
（6）求出q hU =，与给定的单宽流量比较。

最终试算成果为R = 1.919 m 时q = 2.494 m 3
/(s ·m) 故
1.919h R m ==
22113322
1.9190.0003
0.020591.299
R J n U ⨯=
== 22
889.8 1.9190.00030.026751.299
gRJ
f U ⨯⨯⨯===
13. 某梯形断面渠道，边坡1﹕2，b = 5 m ，J = 8/10000（万分之八），D 50 = 0.5 mm ，D 35 =
0.3mm ，D 65 = 0.9 mm ，水的容重为γ = 1000 kgf/m 3，泥沙的容重为γs = 2650 kgf/m 3
，
水的动力黏滞系数为ν = 10-6 m 2
/s 。

用Engelund 方法求h-Q 关系曲线，要求包括h-Q 关系的双值区域。

解：可以按以下步骤进行求解： （1）假定一个水深h 。

（2）计算Θ。

52b mh h
h h R ++
=
=， ()350520.00080.969701.650.510s h h RJ R D γγγ-+Θ=
=⨯=-⨯⨯ （3）求Θ′。

按Engelund 的()f 'Θ=Θ经验关系查出，或由其拟合方程式(3-40)~式（3-40）求得。

对不同的Θ′值的范围，用相应的公式计算。

（4）由Θ′值求R ’。

由()50
s R J
D γγγ''Θ=
-可知()50s D R J γγγ-''=Θ。

（5）求平均流速：
506 2.5ln 2h U D ⎤
⎛⎫'=+⎥ ⎪⎝⎭⎦
（6）求过水断面面积：()52A h h =+⨯。

（7）求流量:Q Q A U =⨯。

至此，求得h-Q 关系曲线上的一个点。

绘制曲线如下：
14. 已知宽浅型冲积河道，湖宽 B = 850 m ，流量 Q = 2500 m 3
/s ，比降为 J = 3 / 10000（万分之三），D 50 = 0.06 mm 。

试用李昌华、刘建民方求其平均水深和流速，并求此种情况下的糙率 n 和 Darcy-Weisbach 系数 f 各为多少？
解：按李昌华、刘建民方法求水深—流量关系的步骤如下： （1）根据已知的水深 h 、D 50、D 95（≈2 D 50），用冈恰洛夫公式（3-42）计算起动流速 U c ； （2）给出断面平均流速的一个初始试算值U c 计算U/U c ，按照U/U *的是量值和床沙粒径值，
选用式（3-43）～ 式（3-46）中适当的表达式计算50y
D n ；
（3）根据已知的D 50和50y
D 求出n ，再由Manning 公式求出流速值U ；
（4）将第（3）步算出的值与初始试算值U 比较，如有相差较大，则可采用第（3）步中计算得出的U 值，代回到第（2）步重复计算，直到满意为止； （5）计算流量Q = AU 。

最终得到：h = 0.89666 m ，
U = 3.28015 m/s ，n = 0.00491， 22
889.80.896660.0003
0.001963.28015gRJ f U ⨯⨯⨯===
若取y = 1/6 得：
最终得到：h= 1.26535 m ，
U = 2.32440 m/s ，n = 0.00872， 22
889.8 1.265350.0003
0.005512.32440
gRJ f U ⨯⨯⨯=
==
第四章
1. 判别泥沙起动主要有哪几种方法？ 答：泥沙起动主要有两种方法： （1） 流速大于等于临界起动流速 （2） 拖曳力大于等于临界起动拖曳力
2. 推导指数型的起动流速公式，设：()16
*U U K y D = 解：
由
1
6
*U y K U D ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
① 其中，U —距床面距离为y 处的流速，U *—断面的剪切流速 将①式积分得
断面的平均流速16
116**160
0611111167h h
KU h U Udy KU y h h D D +⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎣⎦+⎝⎭
⎰ ② 结合①、②得： 16
76y U U h ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
③
以y D α=处流速作为作用于泥沙的代表流速，此时c U U =，则
16
1676b c D U U h α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
④
又因为上举力 2
24
2
b L L
U D F C ρπ= ⑤
绕流阻力 2
24
2
b d d U D F C ρπ= ⑥
水下重量 ()31
6
s W D γγπ'=
- ⑦ 床面沙粒开始滑动的条件为 ()tan d L F W F ϕ'=⋅- 将⑤、⑥、⑦及④式代入上式得：
()
()
16
3
216
7
tan tan 6
4
26s d L c
D D D C C U h ππρϕγγϕα⎡⎤
⎛⎫⋅-=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
化简得到：16
c h U D ⎫
=
⎪
⎭
实验资料确定
1.14η=
=
即得指数型的起动流速公式—沙莫夫公式： 16
c h U D ⎫
=⎪⎭
3. 已知一宽浅河道，D 50 = 0.6 mm ，h = 3.5 m ，求： （1）根据Shields 曲线求其临界起动床面剪切力τc ；
（2）采用不同形式的临界起动平均流速公式计算起动流速U c 。

解： （
1
18.69== 查图4-4得：0.033c Θ=，*Re 10.5= 因此临界起动剪切应力为
()()30.033265010009.80.6100.320166c c s gD Pa τρρ-=Θ-=⨯-⨯⨯⨯=
（2）宽浅河道 b
h ,故 3.5R h m ==
①采用对数型流速公式计算
12.27c s R U χκ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
33.5112.270.610-⨯⎛
⎫=⨯ ⎪⨯⎝⎭
0.49949/m s =
②采用沙莫夫公式计算
16
c h U D ⎫
=⎪
⎭
16
33.51.140.610-⎛⎫
= ⎪⨯⎝⎭
0.47642/m s =
4. 已知无粘性颗粒，比重为2.65，粒径分别为D = 10.0 mm ，1.0 mm 和0.1 mm ，求： （1）根据Shields 曲线，分别求其临界起动Shields 数、临界起动剪切力和临界起动剪切流速。

（2）分别采用对数型临界起动平均流速公式和沙莫夫公式计算水深为1 m ，10 m ，30 m 时
的临界起动平均流速值。

（3）设水深分别为h = 0.2 m ，1 m ，10 m ，30 m ，分别采用张瑞瑾公式（4-31）和窦国仁公式（4-32）计算临界起动平均流速值。

解：
（1）求解过程同第3题
（2）对数型临界起动平均流速公式：12.27lg
c R
U D
= 沙莫夫公式：1
6
c h U D ⎫
=⎪⎭
得下表：
（3）张瑞瑾公式：0.14
c h U D ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
窦国仁公式：c U =得下表：
5. 分析粘性细颗粒泥沙起动的影响因素。

答：粘性细颗粒泥沙起动的影响因素有：水深、粒径、细颗粒泥沙容重、床面粗糙高度、细颗粒之间的粘结力。

而沙粒之间的空隙、沙粒在水平面上的投影及沙粒所受垂直压力（取决
于水深h）都能影响细颗粒之间的粘结力。

6. 分别用Shields 曲线法和沙莫夫公式判断例3-1中的两条河流能否使例4-2中各组粒径的泥沙起动，并分析两者的异同及其原因。

解：求解过程略。

结果得下表：
7. 论述输沙强度参数与水流强度参数之间的关系及变化趋势。

试说明Meyer-Peter 公式隐含的无量纲临界起动应力是Θ = 0.047。

答：
输沙强度参数Φ与水流强度参数Ψ之间的关系满足图4-14所示曲线或公式（4-68）：
5.5
4 4.17ln
3.5ln 27e
--ψ
Φ=ψ<
两者的变化趁势为：当输沙强度参数Φ很小时，水流强度参数Ψ为一常数，随着前者的增大，后者逐渐减小，并且减小的强度越来越大。

由公式（4-41）及图4-10知：拟合曲线在y 轴上的截距为0.047，即单宽输沙率为0时，此时对应的床面上的剪切应力()00.047s D τγγ=-
即 ()0
0.0470.047s D
τγγΘ=
=-
8. 某山区河流平均水深h = 0.45 m ，河宽B = 21.6 m ，水力比降J = 0.00144，流速U = 0.98 m/s ，泥沙平均粒径D = 3.05 mm 。

试用Meyer-Peter 公式计算其单宽推移质输沙率。

解：
21.60.45
0.432221.620.45
b Bh R m B h ⨯=
==++⨯，b b Q BR U =，Q BhU =，故b b Q Q R h =
b K 为河床阻力系数，())21221210.980.4320.0014445.19139
b b K n U R J ===⨯=
沙粒阻力对应的)
16
16
3902626 3.0510
68.27421b K D -'==⨯=
代入Meyer-Peter 公式得：
得：0.38518/()0.03930/()b g N s m kgf s m ==
9. 有一沉沙池，设计水深h = 3 m ，来流流量为4.5 m 3
/s ，不计紊动对泥沙颗粒沉速的影响，问：在尽量节约工程量的前提下，为保证将来水中粒径D ≥0.5 mm 的泥沙颗粒完全除去，沉沙池的长度和宽度各应不小于多少？ 解：
设长度和宽度分别为a 和b
因为D ≥0.5 mm,故根据沙莫夫公式得：
16
16
331.140.5100.43696/c h U D m s
-⎫
≥⎪
⎭
⎛⎫
= ⎪
⨯⎝⎭
= 断面面积3A bh b ==，故 4.5 1.5
/3Q U m s A b b
===
为保证将来水中粒径D ≥0.5 mm 的泥沙颗粒完全除去，则c U U ≤ 即
1.5
0.43696b
≤，得 3.43281b m ≥ 又因为尽量节约工程量，故沉沙池的内表面积要求最小，即
()23236A ab b a ab a b =+⨯+⨯=++表要最小
得：
32
23
31323
0.43245.1913998000.450.001440.4568.2742116500.04716509.8 3.05100.2510002650b
g -⎛⎫
⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
第五章
1. 写出扩散方程推导过程中的各种条件和假定。

答： 条件：
⑴脉动值的长时间平均值为零，分子扩散系数为常数；
⑵对于二维水流来说，垂直方向的时均流速为零0V =，对于均匀流，0U x ∂=； ⑶紊流中流体微团随机运动的规模远大于分子热运动的规模，故一般可以忽略分子扩散项的影响。

⑷悬移质含沙量的垂线分布达到平衡状态时，泥沙的紊动扩散过程是均匀的、恒定的。

假定：
⑴εy 为常数（意味着在垂线上紊动是均匀的）； ⑵ω为常数。

2. 试举出确定水流挟沙力的主要方法，并给出有关的数学形式。

答：
确定水流挟沙力的主要方法有： ⑴理论公式
①Einstein 方法
推移质输沙率：12
3s b s g gD γγγγ⎛-⎫
=Φ ⎪⎝
⎭
先求出s b
D
R J γγγ-ψ=
'，再根据图4-23从ψ求出Φ。

悬移质单宽输沙率：()*
1211.6s s va g U aS PI I γ'=+ 其中： 2.303lg 30.2
s h P k χ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，1I 和2I 可查图5-4得到。

②Bagnold 方法
床沙质全沙输沙率公式：
00.01tan s b
L
t L s e U g U a γτγγ
ω⎛⎫=
+
⎪-⎝⎭
式中
****0.45.75lg 1c b L
h U U U MD e U U ω⎛⎫
+ ⎪-=- ⎪ ⎪
⎝⎭
其中，*c U 为泥沙起动的摩阻流速，M 为一比例系数：
0.6
*0*c U M K U ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
对于单颗泥沙或均匀沙，0 1.4K =，在天然河流中，0K 值可能增加一倍，0K 值7.3～9.1的范围内变化。

⑵经验或半经验方法 ①张瑞瑾方法
3m
L m U S K gh ω⎛⎫
= ⎪⎝⎭
式中的系数K 和指数m 由图5-5给出。

②Engelund-Hansen 公式(1972)
()30500.05t s s g U D τγγγ⎤=⎥
-⎦
其中，R 为过水断面的完整水力半径（不作阻力分割）。

③Ackers-White 公式(1973)
4
21*31C C g s F
D U S C R U C γγ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中，常数1C 、2C 、3C 、4C 的值见表5-3，参数g F 和g d 的表达式为：
颗粒运动判数(mobility number)：
2
21C C g F -⎡⎤=
颗粒无量纲粒径： 13
21s g g d D γνγ
⎡⎤
⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
3. 证明：动量交换系数εm 的水深平均值为κU *h/6，即0.067U *h （图5-3中垂直虚线）。

解：
将式(5-18)积分后在全水深上平均，可知动量交换系数εm 的水深平均值为
23***20001111236
h
h h m y U U h
h y dy U y dy hy y h h h h κκεεκ-⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰，故得证。

4. 对于例5-1中能够起悬的各种粒径的泥沙，计算其在不同河流中的一半水深处，相对浓度在大小(S v /S va =?)。

解：
取0.05a h =，当1
2
y h =时，1211120119z
z z
v va S y h S h a ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，计算结果如下：
5. 长江中游某河段实测平均水深h = 18 m 、水力坡降J = 0.5 /10000、平均流速U = 1.4 m/s 、床沙质平均粒径为D = 0.25 mm 。

黄河下游某河段的一组实测值则为h = 3.0 m 、J = 3.5 /10000、U = 1.8 m/s 、D = 0.05 mm 。

若水温为1℃，求粒径分别为D = 0.01、0.025、0.1、0.25、1.0、2.5 mm 的颗粒在各河流中的悬浮指标量值，并以Z = 5为界限判断各粒径是否能够在相应的河流里起悬。

（长江中D = 2.5 mm 颗粒不可起悬；黄河中所有颗粒均可起悬） 解：
长江中游某河段：
剪切流速 *0.093915U =
==
同理得到黄河下游某河段 *0.101440U =
颗粒沉速 9D ν
ω=-+其中，水温为1℃时，取ν = 1.725×10-6 m 2
/s 当0.01D mm =时
6
5
31.725109 5.2076410/
0.0110m s ω---⨯=-⨯=⨯⨯故5* 5.20764100.0013950.40.093915
Z U ωκ-⨯===<⨯，所以能起悬
6. 重力理论的基本观点是什么，在实际应用中存在哪些缺陷？
答：
重力理论的基本观点是：挟带悬移质的水流在运动过程中要消耗能量。

所消耗的能量分为两部分，一部分用克服边界的阻力；另一部分用于维持悬移质的悬浮。

重力是理论认为，悬移质的比重一般比水大得多，要使它在水里不下沉，水流必须对它做功以维持悬浮，即水流必须为此而消耗能量。

在实际应用中存在的缺陷：它所建立的两个能量方程存在严重的问题。

因为悬移质被水流托起所消耗的能量并不是水流的平均机械能，而是水水流已经转换成紊动动能而消耗掉的那部分平均机械能，它不管通过何种途径做功或耗散，终将转化为热能而消失，所以在液相的能量平衡方程中不能计入这一部分能量。

7. 有一宽浅河道，水深h = 1.5 m ，断面平均流速U = 1.10 m/s ，坡降J = 0.0003。

已知床沙中值粒径为D 50 = 0.6 mm ，水温T = 20℃。

实测垂线含沙浓度如下：
题5.7表
试求：
（1）理论悬浮指标Z 和实测悬浮指标Z 1；
（2）在河道岸边修一取水工程，要求取水口的最大含沙浓度小于2.0 kg/m 3
,求取水口的高度；
（3）悬移质单宽输沙率g s (采用三种不同方法)； （4）床沙质单宽输沙率g t 。

解：
（1）水温T = 20℃，故运动黏滞系数ν = 10-6 m 2
/s 剪切流速 *0.06641/U m s ==
颗粒沉速 9D ν
ω=- 631090.610--=-⨯⨯ 0.08463/m s = 故理论悬浮指标*0.08463
3.1858950.40.06641
Z U ωκ=
==<⨯ 因
0.05a
h
=，故340.0/va S kgf m = 相对含沙量沿垂线分布的方程式为：1
1Z
v va h S y h S a ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
，该方程两边取对数可化简为：
1ln ln 1v va h S y Z h S a ⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，在双对数坐标下绘制
v
va S S 与⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--11a h y h 之间的关系曲线，通过拟合曲线确定出曲线方程，该方程自变量的指数即为实际悬浮指标Z 1。

将v va S S 与⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎣⎡--11a h y
h 的计算结果列于下表：
在双对数坐标下绘制v
va S S 与⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎣⎡--11a h y h 的关系曲线：
通过上述拟合的v
va S S 与⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--11a h y h 之间关系曲线的方程y = 1.0111x 2.9775,可以得出实际悬浮指标Z 1 = 2.9775。

（2）取悬浮指标为实际悬浮指标，即Z 1 = 2.9775，
0.05a
h
=，340.0/va S kgf m = 1
2.9775
1140 2.02011Z v va h h y y S S h a ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥
==≤⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，得：
7.94704h
y
≤ 即 1.5
0.188757.94704
y m ≥
=
（3）首先计算基本水力要素和颗粒特性（如沉速、悬浮指标）： 因河流为宽浅型，可令b R h ≈
床面剪切应力：09800 1.50.0003 4.41hJ Pa τγ==⨯⨯=
()
03
4.41
0.4545516509.80.610s D τγγ-Θ=
==-⨯⨯⨯ 剪切沉速：*0.06641/U m s = 3
**6
0.066410.610Re 39.84610
U D
ν
--⨯⨯=
== 粒径为D = 0.6 mm 颗粒沉速为 0.08463/m s ω=
悬浮指标为： 3.18595Z =<，故颗粒在作推移运动的同时也作悬移运动。

Froude
数0.28690Fr =
== 查图3-9可知此时有床面形态存在，必须求解沙粒阻力对应的水力半径b R '，试算过程如下： ①假设一个b
R '的初值 1.0b R m '=，得到沙波条件下的粘性底层厚度为*11.6U δν'=，设边界凸起高度s κ等于D ，则s κ与δ之比为
()12
360.61011.6109.8 1.00.0003 2.80457s κδ--⎡⎤=⨯⨯⨯⨯=⎣⎦
②由图3-10可查得 2.80457s κδ=时，Einstein 流速公式（3-18）中的校正系数 1.20χ=，代入式（3-18）得：
5.75lg 12.27b s R χκ⎛⎫'= ⎪⎝
⎭
或
31.205.75lg 12.270.610b R -'⨯⎛
⎫= ⎪
⨯⎝
⎭
由此得到b
R '所满足的方程：()()13.528184=lg 24540b b
R R ''，将假设的b R '值代入右边得到4.38987，与左边不符（显然所设b R '太大），重设0.6b
R m '=，回到第①步重算。

试算过程如下表所示，最终结果为0.688b
R m '=
③通过试算求得0.688b
R m '= 相应地()()
12
12
*
9.80.6880.00030.04497/b U gR J m s ''==⨯⨯=
Einstein 水流强度：30.6101.65 4.796510.6880.0003
s b D R J γγγ--⨯ψ==⨯='⨯
代入式式（4-68）计算得到：0.69602Φ=
求粒径为D = 0.6 mm 颗粒的临界剪切应力τc ：先计算Shields 图中的辅助线参数：
18.68882== 查Shields 曲线图4-4得Θ = 0.032，即
()
0.032c
s D τγγ=-，因此得到
临界剪切应力()3
16509.80.6100.0320.310464c s D Pa τγγ-=-Θ=⨯⨯⨯⨯= 临界剪切流速()
()
12
12
*0.31046410000.01762/c c U m s τρ===
I ．按照Einstein 理论求其悬移质单宽输沙率：
前已计算得0.69602Φ=，由式（4-55）可知其推移质单宽输沙率g b 满足正式：
112
1212
3311000126509.816509.80.0006g
b s s g g gD γγγγ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
Φ== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⨯⨯⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ 0.651550.69602
b g ==
所以 1.06825/()0.10901/()b g N s m kgf s m =⋅=⋅
假定推移质层厚度为2D 、运动速度为*
11.6U '则有： ()()3*
/11.62 1.0682511.60.0449720.61026509.8va b s S g U D γ-'=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 0.06571()=体积含沙量
其重量含沙量为：33
1706.51763/174.13445/wa va s S S N m kgf m γ=⨯==。

由本题前面
计算结果：33
0.61021.50.810A a h --==⨯⨯=⨯， 3.18589Z = 查图5-4得I 1 = 0.1，I 2 = -0.78，代入公式得到：
*1230.211.6 2.303lg s s va s h g U aS I I k γ⎡⎤⎛⎫'=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
()2.303lg 30.2 1.50.00060.10.78b g =⨯⨯⨯⨯-⎡⎤⎣⎦
()2.303 4.877950.10.780.343390.36683/()b b g g N s m =⨯⨯-==⋅ 0.03743/()kgf s m =⋅
II ．根据张瑞瑾公式（5-54）、（5-55）计算悬移质单宽输沙率：
1.1/L U m s =，
)3
31.19.8 1.50.08463 1.06988L
U gh ω
=⨯⨯= 由图5-5可见，取m = 1.6，K = 0.02，代入式（5-54）中可得：
3 1.63
0.02 1.069880.02228/m
L m U S K kgf m gh ω⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
因此悬移质单宽输沙率为：0.02228 1.1 1.50.03676/()s m L g S U h kgf s m ==⨯⨯=⋅ III ．根据Bagnold 公式（5-61）计算悬移质单宽输沙率：
02650 1.1
0.01
0.01 4.41 1.1 1.01266/()16500.08463
s L
s L
s U g U N s m γτγγ
ω
==⨯
⨯⨯⨯=⋅- 0.10333/()kgf s m =⋅ （4）依据Einstein 理论
0.109010.037430.14644/()t b s g g g kgf s m =+=+=⋅
可见，对于给定的水流条件，Einstein 理论的计算结果表明这种粒径的床沙挟沙力中以推
移质输运的数量为主。