江苏省无锡市第一学期九年级数学期末试卷(含解析)

江苏省无锡市第一学期九年级数学期末试卷（含解析）
一、选择题
1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
2．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
（ ） A ．3cm
B ．6cm
C ．12cm
D ．24cm
3．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，
90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）
A ．32或42
B ．3或4
C ．22或42
D ．2或4
4．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是优弧BC 上一点，如果∠AOB ＝58º，那么∠ADC 的度数为（ ）
A ．32º
B ．29º
C ．58º
D ．116º
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为（0，3），点B 为（2，1），点C 为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是（ ）
A ．()0,0
B ．()1,0
C ．()2,1--
D ．()2,0
6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AB
AD
=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）
A ．
1
2
AE EC = B ．
2EC
AC
= C ．
1
2
DE BC = D ．
2AC
AE
= 7．一元二次方程x 2
－x ＝0的根是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝0
C ．x 1＝0，x 2＝1
D ．x 1＝0，x 2＝－1
8．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面
积为（ ）
A ．8
B ．12
C ．14
D ．16
9．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 10．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）
A ．3
B ．234
C 14
33
D 22
33
12．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和
D 、
E 、
F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4
13．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根 14．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴是y 轴
C ．有最低点
D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的
15．将抛物线2
3y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A ．23(1)2y x =++
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =-+
D ．23(1)2=--y x
二、填空题
16．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段
AP =______.（结果保留根号）
17．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．
18．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____． 19．如图，已知
O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则
AB =__________．
20．若关于x 的一元二次方程12
x 2
﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．
21．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 为格点（即小正方形的顶
点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为_________．
22．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与
BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.
23．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__． 24．关于x 的方程220kx x --=的一个根为2，则k =______.
25．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．
26．二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)
27．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．
28．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____． 29．若点 M （-1， y 1 ），N （1， y 2 ），P （
7
2
, y 3 ）都在抛物线 y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0）上，则y 1、y 2、y 3 大小关系为_____（用“＞”连接）． 30．已知3a ＝4b ≠0，那么
a
b
＝_____． 三、解答题
31．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100 m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组． （1）甲分到A 组的概率为 ； （2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．
32．如图，抛物线y=-x 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A （-1，0）．过点A 作直线y=x+c 与抛物线交于点D ，动点P 在直线y=x+c 上，从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度向点D 运动，过点P 作直线PQ ∥y 轴，与抛物线交于点Q ，设运动时间为t （s ）.
（1）直接写出b ，c 的值及点D 的坐标；
（2）点 E 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE 的面积为6时，求出点E 的坐标；
（3）在线段PQ 最长的条件下，点M 在直线PQ 上运动，点N 在x 轴上运动，当以点D 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N 的坐标．
33．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点A （-3，0），与y 轴交于点B （0，4），在第一象限内有一点P （m,n)，且满足4m+3n=12. （1）求二次函数解析式.
（2）若以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，求点P 的坐标.
（3）若点A 关于y 轴的对称点为点A′，点C 在对称轴上，且2∠CBA+∠PA′O=90◦.求点C 的坐标.
34．已知，如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
35．（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物
线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l 3：21
(2)12
y x =
-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．
四、压轴题
36．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．
（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．
（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？
37．如图1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），试探索AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为△ABC 外的一点，且∠ADC ＝45°，线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，且∠ADC ＝45°． ①若AD ＝6，BD ＝8，求弦CD 的长为 ；
②若AD+BD ＝14，求2
AD BD CD ⎛⎫⋅+
⎪ ⎪⎝⎭
的最大值，并求出此时⊙O 的半径．
38．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上（不与点A ，B 重合）的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点．若∠APD ＝∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．
（1）若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点E ）；
（3）若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为3AP 的长．
39．抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求
c 的取值范围；
（3）若1c b =--，2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1
tan 2
α=
，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．
40．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，
DE
DC
等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求
DE
DC
的值；
（3）如图③，若DE CF =，求
DE
DC
的值.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据顶点式2
()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选D ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以
2π即为圆锥的底面半径. 【详解】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=， ∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=. 故答案为：C. 【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
3．A
解析：A
【解析】 【分析】
利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】 解：如图所示，
∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形， ∴A,B,C,D 四点共圆， ∵AC=BC ，
∴BAC ABC 45∠∠==︒， ∴ADC ABC 45∠∠==︒， 作AE CD ⊥于点E,
∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD 2x =，
∵CD=7,CE=7-x, ∵AB 52= ∴AC=BC=5，
在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+， ∴()2
2257x x =+- 解得，x=3或x=4， ∴AD 232x ==2.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据垂径定理可得AB AC =，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC ，进而可得答案． 【详解】
解：∵OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ， ∴AB AC =， ∴∠ADC=1
2
∠AOB=29°. 故选B. 【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．C
解析：C 【解析】
外心在BC 的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.故选C.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 只要证明AC AB
AE AD
=，即可解决问题． 【详解】 解:A. 1
2AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定 B.
2EC
AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB
AD
=，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；
1
2DE BC = D.
2AC AB
AE AD ==，可得DE//BC ， 故选D. 【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用因式分解法解方程即可解答.
【详解】
x2－x＝0
x(x-1)=0,
x=0或x-1=0,
∴x1＝0，x2＝1.
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟知用因式分解法解一元二次方程的方法是解决问题的关键.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=1
2
BC，再利用相似三角形的判定与性质得出
答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=1
2 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE
BC
=
1
2
，
∴
1
4
ADE
ABC
S
S
∆
∆
=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选D．
【点睛】
考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝8．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC+PE＝PA+PE，推出当A、P、E共线时，
PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，
∴易证AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA＝PC，
∴PC+PE＝PA+PE，
∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．
观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，
∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，
∴在Rt △AEB 中，BE ＝
∴PC +PE 的最小值为
∴点H 的纵坐标a ＝
∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB
= ＝2，
∵BD ＝
∴PD ＝233
⨯=
∴点H 的横坐标b ，
∴a +b ＝=； 故选C ．
【点睛】 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵////a b c ∴
AB DE BC EF
= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4 故答案为D ．
【点睛】
本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
13．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
14．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ＝﹣(x 12-)2+14
， ∴a ＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A 错误；
对称轴是直线x ＝
12，故选项B 错误； 当x ＝12时取得最大值14
，该函数有最高点，故选项C 错误； 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．
15．A
解析：A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】
抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()2
31y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2
312y x =++．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 二、填空题
16．【解析】
【分析】
根据黄金比值为计算即可.
【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴
故答案为：.
【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
解析：2
【解析】
【分析】
根据黄金比值为
12计算即可. 【详解】
解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）
∴1AP 22
AB =⨯=
故答案为：2.
【点睛】
本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.
17．【解析】
【分析】
分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100
解析：
9
π
【解析】【分析】
分别计算半径为10cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算
S
S
半圆正方形
即可求出飞镖落在圆内的概率；
【详解】
解：（1）∵半径为10cm的圆的面积=π•102=100πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）=
100
==
9009
S
S
ππ
半圆
正方形
，故答案为：
9
π
.
【点睛】
本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．
18．【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】
解：根据题意得x1+x2═
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1
解析：
1 2 -
【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．【详解】
解：根据题意得x1+x2═
1
2 b
a
-=-
故答案为
1
2 -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则
x1+x2=
b
a
-，x1•x2=
c
a
．
19．【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△AB
解析：22
【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴2，
故答案为：2
点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】
解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，
∴
解析：7 2
【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】 解：∵一元二次方程
12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,
整理得，2
2410k k ， ∴21+22
k k 2221k k k 224k k
224k k
当21+22
k k 时， 224k k
142=-+ 72
= 故答案为：
72. 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.
21．【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.
【详解】
解：
【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.
【详解】
解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF=1
2
BE=
1
2
，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴
1
1
2
48 BO BF
AO AD
===，
∴
8
9
AO AB
=，
∵22
1417 AB=+=，
∴
817
9 AO=.
故答案为：
817
【点睛】
本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
22．【解析】
【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a的值，再利用tanA即可求解.
【详解】
设BC=EC=a,
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△ECF，
∴,即
解得a=（-舍去）
∴
51
-
【解析】
【分析】
设BC=EC=a,根据相似三角形得到
222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.
【详解】
设BC=EC=a,
∵AB ∥CD ，
∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222
a a =+
解得1（-1舍去）
∴tan DAE ∠=tanF=
2EC a CF =
. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.
23．【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【详解】
二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟
解析：2500(1)720x +=
【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2
500(1)720x +=.
【详解】
二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2500(1)720x +=.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 24．1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1
故
解析：1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】
把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1
故答案为:1．
【点睛】
本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
25．（，2）．
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x，则AE=4-x，
在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，
∴（4-x）2+22=
解析：（3
2
，2）．
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x ，则AE=4-x ，
在RT △ABE 中，∵EA 2+AB 2=BE 2，
∴（4-x ）2+22=x 2，
∴x=
52
， ∴BE=ED=52
，AE=AD-ED=32， ∴点E 坐标（32
，2）． 故答案为：（32
，2）． 【点睛】 本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．
26．>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数的图像开口方向向上，
所以有>0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次
解析：>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，
所以有a >0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0． 27．3000(1+ x)2=4320
【解析】
【分析】
设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．
【详解】
解析：3000(1+ x)2=4320
【解析】
【分析】
设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000
（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．
【详解】
解：设增长率为x，由题意得：
3000（1+x）2=4320，
故答案为：3000（1+x）2=4320．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
28．-4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2+4x5＝0的两个根，
∴x1 x2＝-=-4，
故答案为：-4．
【点睛】
此题主要考
解析：-4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵x1、x2是关于 x 的方程 x2+4x-5＝0的两个根，
∴x1+ x2＝-4
1
=-4，
故答案为：-4．【点睛】
此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知x1+ x2＝-b
a
．
29．y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y
解析：y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝
4
2
2
m
m
-=
-
，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．30．．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．
【详解】
解：两边都除以3b，得
＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此
解析：4
3
．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．【详解】
解：两边都除以3b，得
a b ＝
4
3
，
故答案为：4
3
．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．三、解答题
31．（1）1
3
；（2）
1
3
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求出甲分到A组的概率；
（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】
解：（1）1 3
（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)
＝1
3
．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
32．（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)
【解析】
【分析】
（1）将点A
分别代入y=-x 2+bx+3，y=x+c 中求出b 、c 的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D 的坐标；
（2））过点E 作EF ⊥y 轴，设E （x ，-x 2+2x+3），先求出点B 、C 的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE 的面积，即可求出点E 的坐标. （3）分别以点D 、M 、N 为直角顶点讨论△MND 是等腰直角三角形时点N 的坐标．
【详解】
（1）将A （-1,0）代入y=-x 2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，
∴y=-x 2+2x+3，
将点A 代入y=x+c 中，得-1+c=0，解得c=1，
∴y=x+1，
解2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得11
23x y =⎧⎨=⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩（舍去）， ∴D （2,3）.
∴b= 2 ，c= 1 ，D （2,3）.
（2）过点E 作EF⊥y 轴，
设E （x ，-x 2+2x+3）,
当y=-x 2+2x+3中y=0时，得-x 2+2x+3=0，解得x 1=3，x 2=-1（舍去），
∴B(3，0).
∵C(0，3)，
∴CBE CBO CFE S S S
梯形OFEB -S ， ∴22111633(3)(23)(2)222
x x x x x x ， 解得x 1=4,x 2=-1（舍去），
∴E(4，-5).
（3）∵A(-1，0),D(2，3),
∴直线AD 的解析式为y=x+1,
设P （m ，m+1），则Q （m ，-m 2+2m+3），
∴线段PQ 的长度h=-m 2+2m+3-（m+1）=219()24m
， ∴当12
m ==0.5，线段PQ 有最大值. 当∠D 是直角时，不存在△MND 是等腰直角三角形的情形；
当∠M是直角时，如图1，点M在线段DN的垂直平分线上，此时N1（2,0）；
当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,
∴∠H=∠E=90︒,
∵△M2N2D是等腰直角三角形，
∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90︒,
∵∠N2M2H=∠M2DE,
∴△N2M2H≌△M2DE,
∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，
∴E(2，-1.5)，
∴M2H=DE=3+1.5=4.5，
∴ON2=4.5-0.5=4，
∴N2(-4，0)；
当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，
∴∠N3HM3=∠DEN3=90︒,
∵△M3N3D是等腰直角三角形，
∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90︒，
∵∠DN3E=∠N3M3H，
∴△DN3E≌△N3M3H，
∴N3H=DE=3，
∴N3O=3-0.5=2.5，
∴N3(-2.5，0)；
当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，
∴∠N4HM4=∠DEN4=90︒,
∵△M4N4D是等腰直角三角形，
∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90︒，
∵∠DN4E=∠N4M4H，
∴△DN4E≌△N4M4H，
∴N4H=DE=3，
∴N4O=3+0.5=3.5，
∴N4(3.5，0)；
综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N 的坐标.
33．（1）24(3)9y x =
+；（2）P(1511,2411)；（3）C(-3,-5)或 (-3，2513) 【解析】
【分析】
（1）设顶点式，将B 点代入即可求；
（2）根据4m+3n=12确定点P 所在直线的解析式，再根据内切线的性质可知P 点在∠BAO 的角平分线上，求两线交点坐标即为P 点坐标；
（3）根据角之间的关系确定C 在∠DBA 的角平分线与对称轴的交点或∠ABO 的角平分线与对称轴的交点，通过求角平分线的解析式即可求.
【详解】
（1）∵抛物线的顶点坐标为A(-3,0),
设二次函数解析式为y=a(x+3)2，
将B （0，4）代入得，4=9a
∴a=49
∴24(3)9
y x =
+ （2）如图 ∵P （m,n)，且满足4m+3n=12 ∴443
n m =-+ ∴点P 在第一象限的443y x =-
+上， ∵以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，
∴点P 在∠BAO 的角平分线上，
∠BAO 的角平分线：y=
1322x +， ∴134=4223
x x +-+， ∴x=1511,∴y=2411
∴P(1511,2411
)
(3)C(-3,-5)或 (-3，25
13
)理由如下：
如图，A´(3，0),可得直线L A´B的表达式为
4
4
3
y x
=-+，
∴P点在直线A´B上，
∵∠PA´O=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,
∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,
在对称轴上取点D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G点,设D点坐标为(-3,t)
则有(4-t)2+32=t2
t=25 8
,
∴D(-3,25 8
),
作∠DBA的角平分线交AG于点C即为所求点，设为C1
∠DBA的角平分线BC1的解析式为y=
9
13
x+4,
∴C1的坐标为 (-3, 25 13
)；
同理作∠ABO的角平分线交AG于点C即为所求，设为C2，∠ABO的角平分线BC2的解析式为y=3x+4,
∴C2的坐标为(-3,-5).
综上所述，点C的坐标为(-3, 25
13
)或(-3,-5).
【点睛】
本题考查了二次函数与图形的结合，涉及的知识点角平分线的解析式的确定，切线的性质，勾股定理及图象的交点问题，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.
34．（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)-．
【解析】
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解；
（2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+，
将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，
故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，
则点()3,5B ，。