2012年北京市中考数学二模分类汇编

F
E
B A
O 2012年北京市中考数学二模分类汇编——圆
（一）与圆有关的填空选择题
1.（西城3）若⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距12O O 的结论正确
的是A
A.12O O =5
B.12O O =11
C.12O O ＞11
D. 5＜12O O ＜11
2.（延庆） 如图,⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ,1OD =,则BAC ∠的度数是B
A ．55° B．60° C．65° D ．70° 3.（通州7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A =60o
，则sin∠BDC 的值为（ ）
A ．
1
2
B ．
3
C ．
2
D ．
2
4.（丰台11）如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ， 如果1OD =，那么
BAC ∠=________︒．60°
5.（西城6）如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10，3
cos 5
BOD ∠=， 则AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
6.（顺义6）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为
A ．7个单位
B ．6个单位
C ．5个单位
D ．4个单位
7.（怀柔5=5m ，横截面的圆心O 到污水面的距离OC =3m ，则污水面宽AB 等于A
A ．8m
B ．10m
C ．12m
D ．16m
8.（密云7）如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，若:4:3A
C B C =，10AB =cm ，
则OD 的长为
A ．2 cm
B ．4 cm
C ．6 cm
D ．8 cm
D
O C
B
A
-
2 -
9．（延庆）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为D
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2π
10.（平谷11）如图，在⊙O 中，直径AB =6，∠CAB =40°，则阴影部分的面积是 ．
11.（东城区10） 一个扇形圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ．2
3
π
12.（石景山11）已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇
形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．
13．（延庆）如图，点A 、B 、C
在直径为O ⊙上，45BAC ∠=°，则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留π）
3π342
- 14.（西城8）如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形
A B CD '''，则AD 边扫过的面积(阴影部分)为
A . 21π B. 31π C.41π D. 5
1
π
15.（东城12） 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ，使∠MON ＝90°，
OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围
成的图形(阴影部分)的面积S= ．2π-
16.（密云12）如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将两条含120︒圆心角的 AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积比是 ______ ．
17.(通州8)如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ）
A ．132π平方厘米
B ．312π平方厘米
C ．25π平方厘米
D ．无法计算
18.(昌平10)圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ． 19.(房山7)已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（D ）.
A ．15π
B ．14π
C ．13π
D ．12π
20.(西城11)如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形
纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm ．
C
A
-
3 -
（二）与圆有关的计算问题
1.怀柔20. 如图，点D 在O ⊙直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC =CD ，∠ACD =120°. （1）求证：CD 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积. 20.（1）证明：连结O C .………………1分
∵ CD
AC =，120A C D ︒
∠=， ∴ 30
A D ︒
∠=∠=.……………2分 ∵ OC
OA =,∴ 230A ︒
∠=∠=. ∴ 290
O C D A C D ︒∠=∠-∠=. ∴ C D 是O ⊙的切线. ………………………………3分
（2）解:∵∠A=30o ， ∴ 1260
A ︒
∠=∠=. ∴ 2
602
360
O B C
S π⨯==扇形23π. ……………………4分 在Rt△OCD 中
, tan 60CD OC =⋅︒=
∴Rt 11
222
OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯=∴ 图中阴影部分的面积为-322
3
π. ……………5分
2.（石景山21）已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MP 的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =． （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若2
2
tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．
解：21.（1）联结CO , …………………………1分 ∵DM ⊥AB ∴∠D+∠A=90°∵PC PD =∴∠D=∠PCD ∵OC=OA ∴∠A=∠OCA ∴∠OCA+∠PCD=90°∴PC ⊥OC ∴直线PC 是⊙O 的切线 ……………………2分 （2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q
∴Rt △CQA 中∴2
2
tanD QAC tan ==∠
∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3
∵2
22AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x
∴22=AQ
∴242==AQ AN ∴16
3
CD =
=
……………… 5分 3.（门头沟20） 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D .
(1)求证：CD 为⊙O 的切线；
(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.
20.(1)证明：连接OC, ∵O A=OC,∴∠OCA=∠OAC .∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO . ………………………1分 ∴∠DC O =∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.
∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分
(2)解：过O
作O F⊥AB，垂足为F ，
∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF 为矩形，∴OC=FD ，OF=CD.
-
4 -
∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分 ∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt△AOF 中，由勾股定理得2
2
2
AF +OF =OA . 即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：2
11180x x -+=
解得2x =或9x =（舍）.∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB， AB=2AF=6.
4.（通州20）已知：如图直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径
AB ．
（1）求证：AC 平分∠DAB ．
（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径． 20. 答案：(1)连结OC ∵DC 切⊙O 于C ∴OC ⊥DC
又∵PA ⊥DC ∴ OC∥PA ∴∠PAC =∠OCA
又 OC =OA ∴ ∠OCA =∠OAC ∴∠PAC =∠OAC ∴AC 平分∠DAB (2)作OF ⊥AE 于F ，设⊙O 的半径为R ……………..(3分)
又∵PA ⊥DC OC ⊥DC ∴四边形OCDF 为矩形∴OF =CD =4 且 DF =OC =R 又 DA =2，∴ AF=DF-AD=R -2……………………………..(4分)
在Rt △OAF 中，OF 2+AF 2=OA 2∴ 42+(R -2)2=R 2
解得：R =5∴⊙O 的直径：2R =10 5.（海淀20）如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .
（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1
tan 2
D =
，求CD 和AD 的长． 20.（1）证明：连结OC .
∴ ∠DOC =2∠A . ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.
∵ BC =4, ∴ CE =
1
2
BC =2. ∵ BC //AO ,∴ ∠OCE =∠DOC . ∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒, ∴ ∠COE =∠D .
∵tan D =12,∴tan COE ∠=1
2
.
∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CE
OE COE
==∠.
在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得
OC == 在Rt △ODC 中, 由1
tan 2
OC D CD =
=
，得CD =, …………4分 由勾股定理可得 10.OD =
∴10.AD OA OD OC OD =+=+=…………………5分 6.（密云）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求PA 的长．
- 5 -
19．（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA AB
⊥．∴90
BAP
∠=-----------------1分
∵∠BAC=30，∴9060
PAC BAC
∠=-∠=．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA PC
=--------------2分
∴△PAC是等边三角形．∴60
P
∠=． ------------------------3分
( 2 ) 如图，连结BC．∵AB是直径，∠ACB=90． --------4分
在R t△ACB中，AB=6，∠BAC=30，∴cos6cos3033
AC AB BAC
=⋅∠==
又∵△PAC是等边三角形，∴PA AC
== --------------------------5分
7.（西城区21）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，
取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若OC=CP，AB=3
3，求CD的长.
21.(1)证明：连结AO，AC.(如图5)
∵BC是⊙O的直径，∴90
BAC CAD
∠=∠=︒.﹍﹍﹍﹍﹍1分
∵E是CD的中点，∴AE
DE
CE=
=.∴EAC
ECA∠
=
∠.
∵OA=OC，∴OCA
OAC∠
=
∠.
∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC.
∴90
ECA OCA
∠+∠=︒. ∴90
EAC OAC
∠+∠=︒.
∴OA⊥AP.∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线.
(2) 解：由(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中，∵90
OAP
∠=︒，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴ sin P
2
1
=
=
OP
OA
.∴30
P
∠=︒. ∴60
AOP
∠=︒.
∵OC=OA，∴60
ACO
∠=︒.
在Rt△BAC中，∵90
BAC
∠=︒，AB=33，60
ACO
∠=︒，
∴3
tan
AB
AC
ACO
===
∠
.
又∵在Rt△ACD中，90
CAD
∠=︒，9030
ACD ACO
∠=︒-∠=︒，
∴
3
cos cos30
AC
CD
ACD
===
∠︒
﹍﹍﹍﹍5分
8．（顺义）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．
（1）判断直线PC与⊙O位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，
11
sin
23
APC
∠=，求PC的长及点C到PA的距离．
O
C
B
A
P
- 6 -
D
8
56
7
432
1
O C B A
P
20．解：（1）直线PC 与⊙O 相切．
证明：连结OC ，
∵BC ∥OP ，∴∠1 =∠2，∠3=∠4． ∵OB=OC ， ∴∠1=∠3．∴∠2=∠4． 又∵OC=OA ，OP=OP ，∴△POC ≌△POA ．
∴∠PCO =∠PAO ．∵PA 切⊙O 于点A ，∴∠PAO =90°． ∴∠PCO =90°．∴PC 与⊙O 相切．…………… 2分 （2）解：∵△POC ≌△POA ，∴∠5=∠6=
12APC ∠．∴11sin 5sin 23
APC ∠=∠=． ∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．∴1
cos 2sin 53
∠=∠=．
∵∠3=∠1 =∠2，∴1
cos 33
∠=．
连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∴2
61
cos 33
BC AB ===∠．
∴OA=OB=OC=3
，AC ==Rt △POC 中，9sin 5
OC
OP =
=∠．
∴PC == 4分
过点C 作CD ⊥PA 于D ，
∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33
∠=∠=
． 在Rt △CAD
中，1cos 83AD AC =∠== 9.（延庆19）已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D , (1) 求证：∠AOD =2∠C (2) 若AD =8，tan C =
3
4
，求⊙O 的半径。

19. （1）证明：连接BD ……………….…1分 ∵BC 是⊙O 的切线 ∴∠ABC=90°
∵AB 是直径 ∴∠ADB=90°……………….2分 ∴∠ABD=∠C ∵OD=OB ∴∠OBD=∠ODB
∵∠AOD=∠ODB+∠OBD ∴∠AOD=2∠C ……………….3分
(2)由（1）可知：tanC=tan ∠ABD =3
4
……………….4分
在Rt △ABD 中有：tan ∠ABD =BD
AD
即BD 8=3
4 ∴BD=6∴AB=1022=+BD AD ∴半径为
5 ……………….……………….5分
10.（丰台20）已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ． （1）求证：OC ⊥OB ；
（2）如果OD =1，tan∠OCA
=AC 的长．
A
A
O
D C
B
A
4
32
1
O C
B
A
P
- 7 -
20．（1）证明：
∵OA =OB ，∴∠B =∠4．
∵CD =AC ，∴∠1=∠2．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1． ∵AC 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AC ．……1分
∴∠OAC =90°．∴∠1+∠4=90°．∴∠3+∠B =90°．∴OC ⊥OB ．……2分 （2）在Rt △OAC 中 ，∠OAC =90°， ∵tan∠OCA
∴OA AC =3分 ∴设AC =2x ，则AO
． 由勾股定理得，OC =3x ．
∵AC =CD ， ∴AC =CD =2x ．∵OD =1， ∴OC =2x +1． ∴2x +1=3x ．……4分 ∴x =1． ∴AC =21⨯=2．……5分
11.（大兴21）如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E ，延长
AB 、ED 交于点F ，AD 平分∠BAC ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径 为2，AE =3，求BF 的长． 21． 解：（1）连接OD ．
∵OA=OD ∴∠OAD =∠ODA ．
∵AD 平分∠BAC ∴∠OAD =∠CAD ， ∴∠ODA =∠CAD ．
∴OD ∥AC ． ∵DE ⊥AC ，∴∠DEA =∠FDO=90°∴EF ⊥OD ．
∴EF 是⊙O 的切线． ……………………………………2分 （2）设BF 为x ． ∵OD ∥AE ， ∴△ODF ∽△AEF ． ∴
OD OF AE AF =
，即22
34
x x +=+． 解得 x =2 ∴BF 的长为2． … 12.（昌平20）如图，⊙O 的半径OA 与OB 互相垂直，P 是线段OB 延长线上的一点，连结AP 交⊙O 于点D ，
点E 在OP 上且DE =EP ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）作DH ⊥OP 于点H ，若HE =6，DE =4
3
，求⊙O 的半径的长．
20．（1）证明：连结OD ． ……………………… 1分 ∵ OA =OD ，∴ ∠A =∠1．
∵ DE =EP ， ∴ ∠2=∠P ．∵ OA ⊥OB 于O ，
∴ ∠A +∠P =90°．∴ ∠1+∠2=90°．∴ ∠ODE =90°．即 OD ⊥DE ． ∵ OD 是⊙O 的半径， ∴ DE 是⊙O 的切线． （2）解：∵DH ⊥OP 于点H ，∴ ∠DHE =90°． ∴ cos ∠3=
HE DH =346=2
3
．∴ ∠3=30° 432A
B
C
D O
1
3
2
1
B
A
H E
D
O
P
-
8 -
∵ 在Rt △ODE 中，tan ∠3=
DE OD ，∴ 3
4OD =33
． ∴ OD =4.即 ⊙O 的半径为4．………………… 5分
13.（朝阳19）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线
HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；
（2）若sin∠HGF ＝
4
3
，BF ＝3，求⊙O 的半径长. 19. （1）证明：如图，连接OF ，
∵HF 是⊙O 的切线，
∴∠OFH = 90°…………………1分 即∠1 + ∠2 = 90º.
∵HF =HG ，∴∠1 = ∠ HGF . ∵∠ HGF = ∠3，∴∠3 = ∠1. ∵OF =OB ，∴∠B = ∠2. ∴∠ B + ∠3 = 90º. ∴∠BEG = 90º.
∴AB ⊥CD. ………………………………3分
（2）解：如图，连接AF ，
∵AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，
∴∠AFB = 90º. ………………………………4分 即∠2 +∠4 = 90º. ∴∠HGF = ∠1=∠4=∠A .
在Rt△AFB 中，AB =
A BF ∠sin 4
3
3
==4 .
∴⊙O 的半径长为2. …………………………5分
14.（东城区21）如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．
（1）请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若 DE:EC=1
2BC =，求⊙O 的半径．
21．解：（1）直线CE 与O ⊙相切 证明：∵矩形ABCD ， ∴BC//AD ,∠ACB =∠DAC ． ∵,ACB DCE ∠=∠ ∴.DAC DCE ∠=∠……1分 连接OE,则.DAC AEO DCE ∠=∠=∠
B A
B
A
-
9 -
90,90.90.
2DCE DEC AEO DEC OEC ∠
+∠=∴∠+∠
=∴∠
=分
∴直线CE 与O ⊙相切．
222
22 AB (2)
tan 2,2
tan 3,tan D 2
tan D 1.,4 ,
CO 3, 5ACB BC BC AB BC ACB AC ACB DCE CE DE DC CE Rt CDE CE O Rt CE O CE EO r r ∠=
==∴=⋅∠==∠=∠∴∠=∴=⋅∠=∆=∆=+=+=
分
在中分
设⊙的半径为r, 则在中即解得分
15.（平谷20）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是⌒
AD 的中点，连结BE 交AC 于点G ，BG 的垂直平分线
CF 交BG 于H 交AB 于F 点.
（1） 求证：BC 是⊙O 的切线； （2） 若AB =8，BC =6，求BE 的长.
20．（1）证明：连结AE .
∵ BG 垂直平分CF ， ∴ CB =CG ， ∴ ∠1=∠2. ∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠E =90°. ........................................1分 ∴ ∠3+∠4=90°. ∵ ∠3=∠1=∠2， ∴ ∠2+∠4=90°.
∵ ⌒AE =⌒ED ， ∴ ∠ABE =∠4.
∴ ∠2+∠ABE =90°.
∴ BC 是⊙O 的切线..........................................2分 （2）∵ BC 是⊙O 的切线，
∴ ∠ABC =90°.
由勾股定理，可得 AC =10....................................3分 ∵ CG =CB =6， ∴ AG =4.
可证 △AEG ∽△BEA ,
- 10 -
∴
41
82
AE AG EB AB ===................................................4分 设AE =x ，BE =2x .
由勾股定理，可得 222(2)10x x +=.解得
x =∴
2BE x ==.....................................................5分
16.（房山20） 如图，⊙O 中有直径AB 、EF 和弦BC ，且BC 和EF 交于点D ，点D 是弦BC 的中点，CD =4，DF =8.⑴求⊙O 的半径及线段AD 的长；⑵求sin ∠DAO 的值. 20． 解：⑴∵D 是BC 的中点，EF 是直径
∴CB ⊥EF 且BD =CD =4---------------- 1分 ∵DF =8
∴OD =R 8-
∵2
22DB OD OB =-
∴2
224)R 8(R =--
∴R =5 --------------------------2分 连结AC ，过D 作DH ⊥AB 交AB 于H ． ∵AB 是直径 ∴∠ACB =90°
∵CB =2CD =8，AB =10 ∴AC =6
∴∠ACD =90°，AC =6，CD =4
∴132AD =---------------------------------------3分
⑵∵Rt △DHB 中，DH =DB ·sin ∠DBH =
512534=
⨯--------------------4分
6513
6AD
DH DAO sin =
=
∠∴------------------5分
F
E
D
B
O A
C
A B。