初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第01章-代数基础知识

第一章代数式基础知识
第一节用字母表示数
1、什么是代数式
用运算符号将数或者表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。

单独一个数或字母也叫代数式。

代数式总能表达一个意思。

2、什么是单项式
任意个字母和数字的积的形式的代数式。

一个单独的数或字母也叫单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

任何一个非零数的零次方等于“1”。

单项式分母中不含字母(单项式是整式，而不是分式）。

3、什么是多项式
若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。

多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

不含字母的项叫做常数项。

4、循环小数化为分数
纯循环小数：小数中除了循环节外没有其它小数。

如3.0 、82.0 、283.0 等。

混循环小数：小数中除了循环节外还有其它小数。

如1032.0 、1032.5 等。

例、纯循环小数化为分数。

（1）3.0
（2）82.0
（3）283
.0 解：3.33.010 （1） 82.2882.0100 283.382283.01000 3.03.0 （2）
8
2.082.0
283.0283.0
（1）－（2）得：
（1）－（2）得：
（1）－（2）得：
33
.0)110(
2882.0)1100( 3822
83.0)11000( 9
3
11033
.0 9928
1100288
2.0
999
3822
83.0 例、混循环小数化为分数。

将（1）1032.0 、（2）1032.5 化为分数。

解：（1）设x 103
2.0 ， 那么：10
3.210 x ；103.230110000 ＝x ；
2230199901010000 x x x
99902299
x 。

∴ 9990
22991
032.0 解：（2）设x 1032.0 ，则1032.5 ＝5＋x 51032.0 那么：103.210 x ；1
03.230110000 ＝x ； 2230199901010000 x x x
9990
2299
x ∴ 9990
22995
1032.5 。

总结：
（1）纯循环小数化为分数：分数的分子是循环小数的循环节，分母是都是9,9的个数与循环节的位数相同；
（2）混循环小数化为分数：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

如果有整数部分，直接将化成的分数前加上整数变成带分数即可。

例1、或n 是整数，说明下列代数下列代数式的意义。

(1)2n (2)2n ＋1 (3)3n ＋2 (4)4n+1 (5)8n 2
(6)n 2010
(7)
1
52
n
(8)
)
2(53
n
(9)3
)1(5 n
例2、a 、b 、c 都是阿拉伯数字，且c ≠0，代数式c ×102
＋b ×10＋a 的意义是什么
例3、试用代数式表示（1）四个连续整数的和；（2）四个连续奇数的积与1的和。

例4、M 表示a 与b 的和的平方，N 表示a 与b 的平方的和。

如果a ＝7，b ＝－5，则M －N 的值是多少
例5、a 、b 、c 都是有理数，试说明下列式子的意义：
(1)a+b=0 (2)ab>0 (3)ab ≠0 (5)ab=1 (6)ab=-1 (7)3a 2
+5∣b ∣=0
(8)(a-b)(b-c)(c-a)=0
(9)(a-b)2
+∣b-c ∣+(c-a)2
≠0 (10)abc=0
例6、将一个三位数的个位数字移至最左边后形成一个新的三位数，新三位数比原三位数的3倍小8。

试用代数语言表示上述内容。

例7、果园有一堆桃子，第一个猴子拿走51再吃掉一个；第二个猴子拿走余下的5
1
再吃掉一个；第三个猴子拿走余下的5
1
再吃掉一个。

试用代数式表示所说的意思及剩下的桃子数。

例8、甲杯中盛有m 毫升酒精，乙杯中盛有m 毫升水。

从甲杯中倒出a 毫升（0＜a ＜m ）酒精到乙杯中，搅匀后再从乙杯中倒出a 毫升到甲杯里，这时（ ）
A 、 甲杯中混入的水比乙杯中混入的酒精少
B 、 甲杯中混入的水比乙杯中混入的酒精多
C 、 甲杯中混入的水和乙杯中混入的酒精同样多
D 、 甲杯中混入的水与乙杯中混入的酒精多少关系无法确定
例9、六个单项式2
15a 、xy 、223
2b a 、3
11.0m 、abc 、432b a 的系数之和是多少
例10、一个人上山和下山的路程都是s ，上山的速度是1v ，下山的速度是2v ，问这个人上山和下山的平均速度是多少
第二节图形关系的代数式表示
例1、如图，一个周长为a的大圆板中挖去了一个直径为b有圆洞及
一个连长为c的正方形孔，试用a、b、c三个量来表示阴影部分的面
积。

例2、斜边长为a的等腰直角三角形板中间挖去了一个直径为b的
小圆孔，试用a、b表示阴影部分的面积。

例3、下图阴影部分面积的表达式是_________________。

例4、如图是一个长为a、宽为b的长方形，两个阴影图形都是长为
c、底边在长方形对边上的平行四边形（水平方向是小长方形），试
写出表示长方形中阴影部分的面积表达式。

例5、如图，边长分别为a、b的两个正方形拼在一起，试写出△
ABC的面积表达式。

例6、如图，13个正方形拼成一个大长方形，其中
有3个小正方形的边长已标出为字母x、y、z。

试用x、y、z的代数式表示这个大长方形的长AB和宽CB。

第三节由代数式展开的推理
例1、证明一个奇数和一个偶数之和是奇数。

例2、证明两个数之和与这两个数之差的和，一定是第一个数的2倍。

例3、证明：两个奇数的乘积是奇数。

例4、证明：如果两个整数之和是奇数，则它们的差也是奇数。

例5、求证：一个三位数与的反序三位数以大减小所得的差，其中间数码必定是9，其余两个数码之和也必定是9。

例6、证明：如果一个三位数被37整除，则存在由交换已知三位数的数码所组成的另外的三位数也能被7整除。

例7、已知一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，试求满足上述条件的两位数。

第四节定义新运算。