高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数课时分层训练
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第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数课时分层训
练
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．
16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42
＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16
.]
2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.
【导学号：62172135】
3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－1
2
，
又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴sin α＝
3
2
，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝－23
1－－3
2
＝ 3.]
3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝________.
45 [∵cos 2θ＝cos 2
θ－sin 2
θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2
θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－1
3，∴cos 2θ＝1－1
91＋19＝45
.]
4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.
－75
[cos 2α2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4
＝
cos 2
α－sin 2
α
2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
22sin α＋22cos α
＝cos α－sin α.
∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，
∴cos α＝－4
5.
∴原式＝－7
5
.]
5．(2017·苏州模拟)已知sin(α－45°)＝－2
10
且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】
725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，
∴2sin αcos α＝24
25
，
∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝7
5，
∴sin α＝35，cos α＝4
5.
∴cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝725
.]
6．(2016·山东高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．
π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝
⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos x －12sin x
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
∴T ＝2π
2
＝π.
法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )
＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2
x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π
2
＝π.]
7．(2017·苏州模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】
－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3
＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3－α
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]
8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝
＋
＋21－2sin 4cos 4
＝2×2cos 2
4＋2－
2
＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·南通模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4
－α
，则sin 2α的值
为________．
－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，
∴3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－α，
∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1
6
，
即sin α＋cos α＝
2
6
， ∴sin 2α＝－3436＝－17
18
.]
10．已知cos 4α－sin 4
α＝23，且α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，