线性代数第三章 线性方程组

性质2. 若是Ax = 0的解向量, kR , 则k也
是Ax = 0的解向量.
A = 0 A(k )= k(A )= 0.
综上所述, 若, 都是Ax = 0的解向量, k1, k2R, 则k1 +k2也是Ax = 0的解向量.
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
Ax = 0的解集 V = { Rn | A = 0}
am1x1+am2x2+…+amnxn = 0
零解/平凡解, 非零解/非平凡解
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
一. 齐次线性方程组有非零解的条件(P.92-93)
定理3.1. Asn x = 0有非零解 r(A) < n
推论3.1. 若s < n , 则 Asn x = 0 有非零解
推论3.2. Ann x = 0有非零解 |A| = 0
第三章 线性方程组
1. 线性方程组的概念
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
线性方程组一般形式:
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 ………………… as1x1+as2x2+…+asnxn = bs
概念: 齐次线性方程组
非齐次线性方程组
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2.(P.94) 设ARsn , 秩(A) = r . 若 r < n , 则 Ax = 0 有基础解系, 且任 一基础解系均含有 nr 个解向量.
x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + … + c1nxn x2 = c2,r+1xr+1 + c2,r+2xr+2 + … + c2nxn ………………………ห้องสมุดไป่ตู้
x1 = x3 1
因而原方程组的通解为 x2 = x32 x3 是自由未知量
x1
1 1
或,令x3 = c, x2 = c 1 + 2 (其中, c为任意实数).
x3
10
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组 齐次线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn = 0 a21x1+a22x2+… a2nxn = 0 …………………
xr = cr,r+1xr+1 + cr,r+2xr+2 + … + crnxn
xr+1 =
xr+1
xr+2 =
xr+2
………………………
xn =
xn
第三章 线性方程组
定理3.2
§3.2 齐次线性方程组
x1
c1,r+1
c1,r+2
c1n
x2
c2,r+1
c2,r+2
c2n
……
…
…
xr xr+1
=
cr,r+1 1
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3 0 1 1 2 (1) 00 0 0
1 0 1 1 0 1 1 2 00 0 0
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1 0 1 1 0 1 1 2 00 0 0
原方程组同解于
x1 x3 = 1 x2 x3 = 2
as1x1+as2x2+…+asnxn = bs
常数项
Ax = b
解向量
第三章 线性方程组
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
as1 as2 … asn
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
为(3.1.1)的系数矩阵
a11 a12 … a1n b1
[A, b] =
a21 a22 … a2n b2 ……………
例. 当 取何值时, 齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0
有非零解?
第三章 线性方程组
二. 齐次线性方程组解的性质
§3.2 齐次线性方程组
性质1. 若, 都是Ax = 0的解向量, 则 +也
是Ax = 0的解向量.
A = 0, A = 0 A( +)=A +A = 0.
解: 1 1 1 3
0 1
初等行变换
1 1 2 3 1/2
1 1 0 1 1/ 2 0 0 1 2 1/2 0 0 0 0 0
原方程组一般解为
x1 x2 x4 1/ 2
x2 x3
x
2
2
x4
1/
2
x4 x4
第三章 线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
由此可得原方程组的结构式通解
x1 1 1 1/ 2
为(3.1.1)的增广矩阵
as1 as2 … asn bs
第三章 线性方程组
2. Gauss消元法: 例 2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3 2x1+2x2 6x3 = 2 1/2
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
x1+2x2 x3 = 3 2 (1) 2x13x2+4x3 = 4
x2
x3
x4
c1
1
0
0
c2
0
2
1
0
,
1/ 2
0
(c1, c2 R).
向量组的极大线性无关组的计算
x4 5 2
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
性质: 与Ax = 0的基础解系等价的线性无关 向量组也是Ax = 0的基础解系.
定理3.3.(P.96) 若 A Rmn, 秩(A) = r, 则 Ax = 0 的任意 nr 个线性无关的解向量都是 Ax = 0 的 基础解系.
第三章 线性方程组
0
2/7 3/7
该方程组的基础解系可取为
1
51/7,
2
40/ 7 ,
0 1
x1 2/7 3/7
一般解为
x2 x3
c1
5/7
1
c2
4/ 0
7
,
(c1 ,c1R).
x4 0 1
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
1
比较:
2 7
1 5 7
1 3 3
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1+ 1 1 0 [A,b] = 1 1+ 1 3
1 1 1+
1 1 1+ (1) 1 1+ 1 3 1+ 1 1 0
1 1 1+ (1 ) 0 3 1+ 1 1 0
1 1 1+
0
3 1
0 (2+ ) (1+ )
1 1 1+
0
由此可得原方程组的通解
x1 = 5x3+1 x2 = 2x32 x3 是自由未知量
其中c为任意数
或写成
5x3 = 1 x2+2x3 = 2
0=0
5c+1 x = 2c2 ,
c
第三章 线性方程组
3. 线性方程组的初等变换
* 对换变换 * 倍乘变换
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
* 倍加变换
注: 倍乘变换用非零的数去乘 某一个方程
(教材P.86, 3.1.1)
解
第三章 线性方程组
a11 a12 … a1n
设A =
a21 a22 … a2n …………
as1 as2 … asn
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
x1
b1
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
xn
bs
未知量
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
则
a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
3
0 0 (3+ ) (1)(3+ )
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
1 1 1+
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解;
(2) 当 = 0时, 方程组无解;
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 因为此时
1 1 1+
1 1 2 3
.
0
…
1
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
例. 求
x1 2 x1
x2 x3 x4 0 5x2 3x3 2x4 0
的基础解系与一般解.
7 x1 7 x2 3x3 x4 0
1
解:
2 7
1 5 7
1 3 3
1 2
初等行变换
1
1 0 0
0 2/7 1 5/7 00
3/7
4/7
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
无解
2 3 1 1 02 1 2 00 0 1
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0=0
有唯一解 有无数解
1 1 2 8 02 1 1 00 1 5
12112 00143 00000
第三章 线性方程组
例. 设线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
(x11(1)x1)
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 (1 )x3
讨论 取何值时, 此线性方程组
(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解.
解: 对其增广矩阵[A, b]作初等行变换, 化为阶 梯形,
§3.3 非齐次线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
一. 非齐次线性方程组的相容性
定理: 设ARsn, bRs, 则
(1) Ax = b有解 秩(A, b) = 秩(A)
(2) 当秩(A, b) = 秩(A) = n时, Ax = b有 唯一解
(3) 当秩(A, b) = 秩(A) < n时, Ax = b有 无穷多解, 且通解中含有n秩(A) 个自由未知量
行
(A
b)
初等 行变换
阶 梯
形
行
秩(A) = = 初等 最 秩(A b)? 行变换 简
不相等
形
无解
解 最简 方程
第三章 线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
例. 求方程组
x1 x1
x2 x2
x3 x4 0 x3 3x4 1
的通解.
x1 x2 2 x3 3 x4 1/ 2
1 1 1 1
xr+1 +
cr,r+2 0
xr+2
+
…
+
crn 0
xn
xr+2
0
1
0
……
…
…
xn
0
0
1
第三章 线性方程组
定理3.2.
§3.2 齐次线性方程组
c1,r+1 c2,r+1 …
c1,r+2 c2,r+2 …
1 =
cr,r+1 , 1
2 =
cr,r+2 , 0
0
1
…
…
0
0
c1n c2n …
nr =
crn 0
第三章 线性方程组
定理: 特解
§3.3 非齐次线性方程组
—— Ax = b的一个解 1, …, nr —— Ax = 0 的基础解系
Ax = b的(结构式)通解为
x = + k11 +…+knrnr
(k1, …, knr 是任意常数)
第三章 线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
3. 解非齐次线性方程组 Amn x = b 的一般步骤
第三章 线性方程组
§3.3 非齐次线性方程组
二. 非齐次线性方程组的解的结构
1. 齐次线性方程组 Ax = 0 称为非齐次线性
方程组Ax = b 的导出组
2.非齐次线性方程组的解向量的性质
性质1. 设1, 2都是 Ax = b 的解, 则1–2是
Ax = 0 的解.
性质2. 是 Ax = b的解, 是Ax = 0 的解, 则 + 是 Ax = b 的解.
x1 + x2 3x3 = 1
阶梯形
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 1
x22x3 = 2
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0=0
第三章 线性方程组
阶梯形
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
最简形
x1+2x2 x3 = 3
x1
x2+2x3 = 2 (2)
0=0
构成一个向量空间 ——Ax = 0的解空间.
三. 基础解系 齐次线性方程组Ax = 0的解空间的基称为 该齐次线性方程组的基础解系.
若1, 2, …, s是Ax = 0的一个基础解系, 则Ax = 0的任何一个解就可以表示成
=k11+k22+…+kss
其中k1, k2, …, ks为常数. 基础解系的组合
第三章 线性方程组
4. 同解的线性方程组 性质
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
例题: 教材P.88,例3.1 教材P.89,例3.2 教材P.90,例3.3
线性方程组有解判定条件
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
例.线性方程组的形状与此方程组解的数目: Ax = b A~x = ~b 解的数目 [A, b] [A~ , ~b]
1 2
初等行变换
1
5 2
4 3
0
0
0 1
1 0
0
0
故原方程组化为
x3 x4
4x1 3x2 5x1 2x2
1
0
该方程组的基础解系可取为
1
0 4
,
2
1 3
,
5 2
一般解为
x1 1 0
x2 x3
c1
0 4
c2
1 3
,
(c1 ,c2 R).