最新七年级数学下册典例讲解第章《平方根、立方根》沪科版

6.1 平方根、立方根
1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．
2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题．
3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．
1．平方根
(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，
也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2
＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．
(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．
【例1－1】求下列各数的平方根：
(1)0.64；(2)3625；(3)⎝⎛⎭
⎫－3
22．
分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．
解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．
(2)∵⎝⎛⎭±652＝3625，∴3625的平方根是±6
5.
(3)∵⎝⎛±322＝⎝⎛⎭⎫－3
22，
∴⎝⎛⎭⎫－322的平方根是±32. 求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因
为表达形式的改变而改变，如⎝⎛⎭
⎫－3
22是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它
的平方根仅有－3
2
.
【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)25
16；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2．
分析：
解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．
由于⎝⎛⎭⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±5
4.
(2)0只有一个平方根，是它本身．
(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．
(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．
(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2
为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．
2．算术平方根的概念 正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．
平方根与算术平方根的区别与联系
(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .
②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．
③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．
(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.
【例2】求下列各数的算术平方根：
(1)196；(2)17
9
；(3)16.
分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2
＝a ，则x 就是a 的算术平方根．
(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．
(2)因为179＝169，⎝⎛⎭⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是4
3
.
(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22
＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．
解：(1)196＝14．
(2)
179＝169＝43
. (3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2． 求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平
方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现
11649＝14
7
3．开平方
(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．
(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．
用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：
①在计算器上依次键入
529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为
529＝23．
②在计算器上依次键入
44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．
(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘
方一样的一种运算，是求平方根的过程．
(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是
平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2
＝a .
(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．
【例3】求下列各式中未知数的值：
(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2
＝16．
分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．
(1)因为x 2
＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；
(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．
解：(1)因为(±5)2
＝25， 所以x ＝±5．
(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．
当2a ＋3＝4时，解得a ＝1
2
.
当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－7
2
.
故所求a 的值是12或－7
2.
利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据
开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．
4．立方根
(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．
(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3
a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．
【例4】求下列各数的立方根：
(1)27；(2)－27；(3)33
8
；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．
分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3
＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．
解：(1)因为33＝27，所以3
27＝3． (2)因为(－3)3
＝－27，所以3
－27＝－3．
(3)因为338＝278，而
⎝⎛⎭⎫323＝278
，所以
3
338＝32
. (4)因为(－0.4)3
＝－0.064， 所以3
－0.064＝－0.4． (5)因为03
＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3
－5.
开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3
－5.
5．开立方
(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方．
①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．
②被开立方的数可以是正数、负数和0；
③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．
用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求3
1 845，在计算器上依次键入
2ndf
3
1845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，
则1 845的立方根为12.26，即3
1 845≈12.26．
【例5】解方程：
(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．
分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125x 是27
125
的立方根．(2)把5x －3看做整体，
则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .
解：因为125x 3－27＝0，
所以x 3＝27125.故x ＝3
5
.
(2)因为(5x －3)3
＝343，
所以5x －3＝3
343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．
利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3
m .特别地，要注意整体思想的应用．
6．立方根的性质
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的；
(3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3
a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根
C ．
125216的立方根是±5
6
D ．(－1)2
的立方根是－1
解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3
是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是5
6
C 是错误的；因
为(－1)2
＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．
答案：A
(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；
(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．
7．用平方根与立方根的定义及性质解题
已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．
(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零．
(2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3
－a ＝－3
a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再
取它的相反数即可．
(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．
【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．
分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．
解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．
当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；
当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72
＝49． 综上可知，所求的数为49或441．
【例7－2】若32a －1＝－3
5a ＋8，求a 2 012的值．
分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3
a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3
－5a ＋8，即2a －1＝－(5a ＋
8)．解得a ＝－1．
故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用
非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0； (2)平方a 2≥0；
(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；
②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0.
非负数有如下性质：
若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.
在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．
与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：
一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋＝0，( )2＋＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕；
二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．
【例8－1】如果y＝2x－1＋1－2x＋2，则4x＋y的平方根是__________．
解析：因为2x－1≥0且1－2x≥0，所以2x－1＝1－2x＝0，即x＝1
2
.于是y＝2x－1
＋1－2x＋2＝2．因此4x＋y＝4×1
2
＋2＝4．故4x＋y的平方根为±2．
答案：±2
【例8－2】如果y＝x2－4＋4－x2
x＋2
＋2 012成立，求x2＋y－3的值．
分析：由算术平方根被开方数的非负性知x2－4≥0,4－x2≥0，因此，只有x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，所以x＝2，y＝2 012，于是得解．
解：由题意可知x2－4≥0且4－x2≥0，
因此x2－4＝0，即x＝±2．
又∵x＋2≠0，即x≠－2，
∴x＝2，y＝2 012．
故x2＋y－3＝22＋2 012－3＝2 013．
【例8－3】已知a－1＋(b＋2)2＝0，求(a＋b)2 012的值．
分析：a－1表示a－1的算术平方根，所以a－1为非负数．因为(b＋2)2为偶次幂，所以(b＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．
解：因为a－1≥0，(b＋2)2≥0，且a－1＋(b＋2)2＝0，所以a－1＝0，(b＋2)2＝0，
解得a＝1，b＝－2．
故(a＋b)2 012＝(1－2)2 012＝1．
9．利用方根探索规律
(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律．
规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．
即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….
(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律．
规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．
即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….
(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索．
【例9】(1)观察下列各式：
1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415
，…，请你将发现的规律用含自
然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．
(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332
，…，观察上述各式特点，
__________. 解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数1
3
与左边被开方
数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数1
4与左
边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2
(n ≥1)．
(2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332
＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或
35555n
个
. 答案：(1)n ＋
1
n ＋2＝(n ＋1)1
n ＋2
(n ≥1) (2)5555n
个
10．平方根与立方根的实际应用
解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．
与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可． 注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．
【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．
解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．
由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.
【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)
体积为216 cm 3
，求组成它的每个小正方体的棱长．
解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a 3＝216，a 3
＝8，a ＝2(cm)．
故每个小正方体的棱长为2 cm.
6.2 实数
1．了解无理数、实数的概念和实数的分类，了解无理数的表现类型，会辨别有理数与无理数．
2．了解实数和数轴上的点是一一对应的关系，体会数形结合的思想；会进行实数的大小比较．
3．了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义；了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，能利用运算法则进行简单的四则运算．
1．无理数的概念及表现类型 (1)无理数的概念：
无限不循环小数叫做无理数．
无理数应满足的条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数．三者缺一不可．例如3.232 323 23…是无限小数，但它又是循环小数，因此3.232 323 23…是有理数；而3.141 592 6不是循环小数，但它是有限小数，所以3.141 592 6是有理数．
(2)无理数的表现类型：
第一类：π型，即圆周率π及含有π的数，如3π，2π－1，…； 第二类：根号型，即开方开不尽的数，如3，10，…；
xx 类：小数型，即无限不循环小数，如0.101 001 000 1…；2.383 883 888 388 88…(每两个3之间依次增加一个8)．
有理数与无理数的主要区别
(1)有理数包括整数和分数，任何整数和分数都可化为有限小数或无限循环小数，因此有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数．
(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整
数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数的形式． 【例1－1】下列说法正确的有( )．
①无理数是无限小数；②无限小数是无理数；③不能除尽的数都是无理数；④带根号的数都是无理数．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：②中，0.1·是无限小数，但0.1·
是有理数；③中，13除不尽，但1
3
是有理数；④中，
4带根号，但4＝2，是有理数．故正确的说法只有①. 答案：A 【例1－2】有下列各数：32，－π3，3.141 592 6，25，1
19
，3－8，3.101 001
000…(每两个1之间依次增加1个0)，其中无理数有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
分析：判断一个数是否是无理数，不能只根据其形式，主要根据其结果，如带根号的
数不一定是无理数，如25＝5，3－8＝－2；写成分数形式的数也不一定是有理数，如3
2，
－π3，本题中32，－π
3，3.101 001 000…是无限不循环小数．故无理数共有3个． 答案：C 由于开方的需要我们引入了无理数，这很容易给人以错觉，认为无理数就是
开方开不尽的数．开方运算可能产生无理数(如8等)，但也可能产生有理数(如4等)．开方开不尽的数是无理数，但无理数并不全是开方开不尽的数，如π，0.101 001 000 1…(每两个1之间依次增加一个0)等都是无理数，因此，对于含根号的数不能一概而论，应先化简再判断其是否为无理数．
2．实数的概念及其分类
(1)实数：有理数和无理数统称为实数． (2)实数的分类 ①按定义来分类
实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩
⎪⎨⎪⎧
正整数零负整数分数⎩
⎪⎨⎪
⎧ 正分数
负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫正无理数
负无理数无限不循环小数
②按正、负数来分类
实数⎩⎪⎨⎪
⎧
正实数⎩⎪⎨
⎪⎧ 正有理数
正无理数
负实数
⎩
⎪⎨⎪⎧
负有理数
负无理数
0既不是正数，也不是负数．
分类是一个重要的数学思想，分类时只要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏即可．如我们也可按照以下方式对实数分类：
实数
⎩⎪⎨⎪⎧
有理数⎩⎪⎨⎪⎧
⎭
⎪⎬
⎪⎫正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫正无理数负无理数无限不循环小数
【例2】把下列各数填入相应的集合内：－π，13，3.141 592 6，4
9，0.808 008 000
8…(每两个8之间的0的个数逐次加1)，174，2＋1，38，－52，36，325，π
2
.
整数集合{ ，…}；
负分数集合{ ，…}； 正实数集合{ ，…}； 有理数集合{ ，…}； 无理数集合{ ，…}； 负实数集合{ ，…}．
解析：本题要根据整数、负分数、无理数、负实数、有理数、正实数的概念进行分类，应注意带根号的数的判断，如3
8＝2，36＝6，它们都是整数．
答案：整数集合{3
8，36，…}；
负分数集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－52，…；
正实数集合⎩⎨⎧
13
，3.141 592 6，4
9，0.808 008 000 8…(每两个8之间的0的个数逐
次加1)，
17
4
，2＋1，38，36，325，
⎭
⎬⎫π
2； 有理数集合
⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，3.141 592 6，49，174，3
8，－52
，36，…； 无理数集合 { －π，0.808 008 000 8…(每两个8之间的0的个数逐次加1)，
2＋1，3
25，
⎭
⎬⎫π
2，…； 负实数集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－π，－5
2，….
将各数化简到最简后，再按有关概念进行分类，填入相应的括号内，要做到
不重不漏．
3．实数的有关性质
(1)实数与数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．也就是说，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
(2)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0.即若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．
在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两侧，并且这两点到原点的距离相等．
(3)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≥0，
－a ，a ＞0.实数a 的绝对值总是一个非负数，即
|a |≥0，并且若有|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .
在数轴上实数a 的绝对值就是实数a 所对应的点与原点的距离．
(4)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数．即若ab ＝1，则a ，b 互为倒数；反之，若a ，b 互为倒数，则ab ＝1．注意：0没有倒数．
【例3－1】下列说法中，正确的是( )． A ．实数包括有理数、无理数和0 B ．无理数就是无限小数
C ．无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点来表示
D ．有理数和数轴上的点一一对应
解析：选项A 中0属于有理数，应改为：实数包括有理数、无理数；无限循环小数是有理数，因此选项B 不正确，应改为：无理数就是无限不循环小数；选项C 正确；有理数
都可以用数轴上的点表示，但是数轴上的点不一定表示有理数，还可以表示无理数，因此选项D 不正确，应改为：实数和数轴上的点一一对应．
答案：C
【例3－2】(1)写出－7，π－3.14的相反数分别是__________，指出1－3是实数__________的相反数；
(2)已知一个数的绝对值是5，则这个数是__________；3－6的绝对值是__________．
解析：(1)因为－(－7)＝7，－(π－3.14)＝3.14－π，所以－7，π－3.14的相反数分别是7，3.14－π；因为－(1－3)＝3－1，所以1－3是3－1的相反数；
(2)因为|5|＝5，|－5|＝5，所以绝对值是5的数是5或－5；因为3－6＝－
36，
所以|3－6|＝|－36|＝36. 答案：(1)7，3.14－π 3－1 (2)5或－ 5 36
4．实数的运算
实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开立方运算，其中正实数及零可以进行开平方运算．
实数的运算法则、运算律和运算顺序都与有理数相同．注意：开方运算和乘方运算一样，都是xx 级运算．即先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行；有括号先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
在实数运算中，遇到无理数并且需要求出结果的近似数时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数再进行计算，并按要求进行取舍．
实数与有理数的关系
(1)在实数范围内，与有理数一样，规定了一个数的相反数、绝对值及大小比较的意义．
(2)有理数的运算规律和运算性质，在实数范围内仍然适用．
(3)在实数范围内总可以实施四则运算和乘方运算，而非负数总可以实施开方运算，但负数只能开奇次方，不能开偶次方．
(4)有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数，而实数和数轴上的点是一一对应的．
(5)在实际问题中，涉及无理数运算常常用与它近似的一个有理数来代替，如圆周率π常取近似值为3.14，3常取近似值为1.732等．
【例4－1】计算：
(1)3
－338＋378－1； (2)⎝⎛⎭⎫－132＋3⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭⎫13－1； (3)100×3－8×30.49； (4)(22＋3)－(2＋3)．
分析：严格按照运算顺序运算．(1)只含有开方运算与加减运算，根据运算顺序，先算开方，最后算加减；(2)先去括号，再利用运算律把被开方数相同的结合在一起，利用分配律求出结果．
解：(1)3
－338＋378－1＝3－278＋3－18＝－32－12
＝－2． (2)⎝⎛⎭⎫－132＋3⎝⎛⎭⎫1－59×⎝⎛⎭
⎫13－1
＝19＋349×⎝⎛⎭⎫－23＝13＋⎝⎛⎭
⎫－23 ＝－13
. (3)100×3－8×30.49＝10×(－2)×3×0.7＝－42．
(4)(22＋3)－(2＋3)＝22＋3－2－3＝(22－2)＋(3－3)
＝(2－1)2＋0＝ 2.
【例4－2】(1)5＋3
5－5.021(精确到0.01)；
(2)7＋33－π＋0.25(精确到0.001)．
分析：(1)(2)先用计算器求出无理数的近似值，把无理数用近似的有限小数代替．然后再进行近似计算．可熟记几个无理数的近似值，如2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，π≈3.14等．解：(1)5＋35－5.021≈2.236＋1.710－5.021＝－1.075≈－1.08．
(2)7＋33－π＋0.25≈2.645 8＋5.196 2－3.141 6＋0.25＝4.950 4≈4.950.
实数运算中遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，参与运算的无理数的
近似值要比结果要求的精确度多取一位小数．计算的最后结果四舍五入到所要求的精确度．
5．实数大小比较
任意两个实数都可以比较大小，正数大于0，负数小于0，正数大于负数．两个正数，绝对值大的数较大．两个负数，绝对值大的数反而小．
利用数轴也可以比较两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的点所表示的数总比左边的点表示的数大．
【例5－1】用“＜”连接下列各数：－32，0.4，－22，0,213，3－12
，－2.5． 分析：将各数用数轴上的点表示，如图所示：
根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”可以得到．
解：－2.5＜－32＜－22＜0＜0.4＜3－12＜213
. 【例5－2】比较下列各组数的大小：
(1)13______3.6；
(2)－1.5______2；
(3)－10__________－π.
解析：(1)因为13≈3.61，所以13＞3.6；
(2)因为正数大于一切负数，所以－1. 5＜2；
(3)因为|－10|≈3.162，|－π|≈3.142，
所以|－10|＞|－π|，即－10＜－π.
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＜
6．确定根号型无理数的范围
估算能力是一种重要的数学思维方法，估算思想就是在处理问题时，采用估算的方法达到问题解决的目的．在遇到无理数的大小比较或确定无理数的范围等问题时，常用到的估算的方法有如下两种：
(1)通过夹逼的办法确定被开方数在哪两个相邻整数的平方之间，从而确定a在哪两个整数之间，进而确定a的整数部分及其小数部分．比如12＜2＜22，故1＜2＜2．又由于1.42＝1.96，1.52＝2.25，所以 1.42＜2＜1.52，从而可知 1.4＜2＜1.5，即2的整数位是1，十分位是4．同样，我们也可以确定2的百分位、千分位等．
(2)借助计算器确定a的整数部分，进而确定其小数部分．
【例6－1】估计10＋1的值是( )．
A．在2和3之间
B．在3和4之间
C．在4和5之间
D．在5和6之间
解析：首先要确定10的取值范围，再估算10＋1的取值范围．因为9＜10＜16，所以9＜10＜16，即3＜10＜4,4＜10＋1＜5．从而可确定10＋1的取值范围．答案：C
【例6－2】已知a，b分别是6－13的整数部分与小数部分，则2a－b＝__________.
分析：方法1：因为9＜13＜16，所以3＜13＜4．因此13的值在3～4之间，故6－13的整数部分应该是2．用6－13减去它的整数部分2，剩下的就是小数部分了，于是小数部分是6－13－2＝4－13.故2a－b＝2×2－(4－13)＝4－4＋13＝13.
方法2：借助计算器确定6－13的整数部分a＝2，进而表示小数部分，解决问题．答案：13,
7．比较两个实数大小的方法
(1)利用数轴比较大小．在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．
(2)利用法则比较实数大小．正数大于0,0大于负数，正数大于负数．两个正数比较，绝对值大的数较大．两个负数比较，绝对值大的数反而小，绝对值小的数反而大．
(3)取近似值法．用有限小数来代替无理数比较大小．应用此种方法比较两实数的大小时，由于有计算器的缘故，此种方法较为简便．
(4)乘方法．如果a＞b＞0，那么a＞b，3
a＞
3
b.
(5)差值比较法．对于实数a，b，当a－b＞0时，a＞b；当a－b＝0时，a＝b；
当a－b＜0时，a＜b.
(6)商值比较法．对于两个正数a，b，当a
b
＞1时，a＞b；
当a
b
＜1时，a＜b；
当a
b
＝1时，a＝b.
【例7】(1)比较5－1
2
0.5的大小；
(2)比较5－1
2
和
5
8
分析：(1)两个同分母的分数比较大小，分子大的较大，分子小的较小，因为0.5＝1 2，
所以只要比较5－1与1的大小即可．因为5＞2，所以5－2＞0，从而得出比较的结
果．(2)异分母的分数进行比较大小，要先化成同分母的分数再进行比较，因为5－1
2
＝
45－4
8
，所以只要比较45－4与5的大小即可，也就是比较45与9的大小．。