中考数学专题复习锐角三角函数的综合题

中考数学专题复习锐角三角函数的综合题
/ABC=/ ACB,以AC 为直径的。

0分别交 AB> BC 于点M 、N,点 P 在AB 的延长线上,且 / CAB=2/ BCP
（1）求证：直线CP 是。

的切线.
（3）在第（2）的条件下，求 4ACP 的周长.
【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角， 2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP
判断出
/ ACP=90 即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.
试题解析：（1） ZABC=Z ACB, .•.AB=AC,
.「AC 为。

0的直径，
/ ANC=90 ；
• •• / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB,
• •• / CAB=2/ BCP,
• •• / BCP 玄 CAN,
/ ACP=ZACN+Z BCP 之 ACN+Z CAN=90 ；
•・•点D 在。

O 上，
，直线CP 是。

的切线；
(2)如图，作BF,AC (2) 若 BC=2-., 史
sin/BCP=5 ,求点B 到AC 的距离.
一、锐角三角函数
1 .如图，在4ABC 中
,
4
,. AB=AC, /ANC=90；111
・•.C N/CB W^,
••• / BCP=Z CAN, sin/ BCP=5, 唧sin / CAN=」，
CN
.X 丁
.•.AC=5,
.•.AB=AC=5,
设AF=x,贝U CF=5- x,
在Rt^ABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,
在Rt^CBF中，BF2=BC2—C声=2O— (5—x) 2,
25 - x2=2O - ( 5 - x) 2 , ..x=3, . •BF2=25 - 32=16,
BF=4,
即点B到AC的距离为4. 考点：切线的判定
2.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45。

，底部点C的俯角为30。

，求楼房CD的高度(J3=1. 7).
【答案】32. 4米.
【解析】
试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用 其公共边构造关系式求解.
试题解析：如图，过点 B 作BE ，CD 于点E,
根据题意，/DBE=45, /CBE=30.
• . ABXAC, CD± AC,
••・四边形ABEC 为矩形，
• .CE=AB=12m,
在 Rt^CBE 中，cot Z CBE=BE ,
CE
BE=CE?cot30 ° 百2=俘 £ ,
在 Rt^BDE 中，由 /DBE=45,
得 DE=BE=12/3.
• .CD=CE+DE=12(/+1) =32.4
答：1娄房CD 的高度约为32.4m .
3.如图，AB 是。

的直径，弦 CD±AB 于H,过CD 延长线上一点 E 作。

的切线交 AB 的延长线于切点为 G,连接AG 交CD 于K.
(1)求证：KE=GE
(2)若K^=KD?GE,试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由;
3
【答案】（1）证明见解析；（2） AC// EF,证明见解析；（3） FG= H
.
仰角俯角问题.
(3)在(2)的条件下，若 sinE= A *a , 求FG 的长.
考点：解直角三角形的应用
【解析】
试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及CD，AB,可以推出
/KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得至U KE=GE
（2） AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD,由Z KGE=Z GKE及K^=KD?GE利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△ GKD与△ EKG相似，又利用同弧所
对的圆周角相等得到/C=/ AGD,可推知/E=/ C,从而得到AC// EF;
（3）如图3所示，连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径
定理可以求解；然后在Rt^OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度.
••• / KGE吆OGA=90 ;
•.CDXAB,
••• / AKH+Z OAG=90 ; 又.. OA=OG,
/ OGA=Z OAG,
/ KGE=/ AKH=/ GKE,
KE=GE
（2） AC// EF,理由为连接GD,如图2所示.
又•: / KGE=/ GKE
.•.△GKD^AEGK；
/ E=/ AGD,
又 「 ZC=Z AGD,
/ E=Z C,
••.AC// EF;
（3）连接OG, OC,如图3所示,
F G E
图3
.「EG 为切线,
• •• / KGE-+Z OGA=90 ；
• .CDXAB,
• •• / AKH+Z OAG=90 ；
又 「 OA=OG,
/ OGA=Z OAG,
/ KGE=/ AKH=Z GKE, KE=GE
13
sinE=sinZ ACH=
,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t,
• •• KE=GE AC// EF,
• .CK=AC=5t
HK=CK-CH=t
在Rt^AHK 中，根据勾股定理得 AH 2+HK 2=AK 2, 即（3t ） 2+t 2=
（
2%再）2,解得 t=J . 设。

O 半径为 r,在 Rt^OCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t,
由勾股定理得：OH 2+CH 2=OC2,
1251 25 I
即（r-3t ） 2+ （4t ） 2=r 2,解得 r=力 t=八.
• •・EF 为切线,
• •.△OGF 为直角三角形， KD = KG
.・ KG 2=KD?GE 即 KG KD
GE" KG
25 CI1 4在Rt^OGF中，OG=r=S , tan Z OFG=tanZ CAH="
，FG=
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键. 4.如图，PB 为。

的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA,垂足为C,交。

于点A, 连接PA AO.并延长AO 交。

于点E,与PB 的延长线交于点 D.
⑴求证：PA 是。

的切线；
0C 12
⑵若“，=，,且OC=4,求PA 的长和tan D 的值.
I 5
【答案】（1）证明见解析；（2） PA =3113, tan D= 2. 【解析】
试题分析：（1）连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得： OP 是线段AB 的垂直平 分线，进而可得：PA=PB 然后证明^PA 必△PBO,进而可得/PBO=/ PAO,然后根据切 线的性质可得 / PBO=90 ,进而可得：/PAO=90,进而可证：PA 是。

的切线；
0C 2
_ = _
（2）连接BE,由#6 %且OC=4,可求AC, OA 的值，然后根据射影定理可求 PC 的
值，从而可求 OP 的值，然后根据勾股定理可求 AP 的值. ・•. OP 是AB 的垂直平分线，PA=PB
PA = PR
PO - PO
\0A = OH
OG
25 -v'2
在 APAO 和 ^PBO 中，
••• / PBO=Z PAO, PB=PA
••.△PAO^APBO (SSS
••.PB 为。

的切线，B 为切点，・•. / PBO=90 / PAO=90 即 PAI OA,
••.PA 是。

O 的切线；
. AC '，且 OC=4, ，AC=6,
AB=12, 在Rt^ACO 中，由勾股定理得：AO */痔*= 2a 在 Rt^APO 中，「AC ，OP, ，AC 2=OCPC,解彳导:PC=9, •. OP=PC+OC=13 在RtMPO 中，由勾股定
理得：AP="W "不=3713
]. 36g D = 2OA + DE = 「
kJ 1
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质； 3.解直角三角形.
5 .如图，湿地景区岸边有三个观景台 以、月、C .已知々 = 14W 米，TC = 1000米，百点 位于幺点的南偏西60方向，C 点位于且点的南偏东66.1”方向.
⑴求AH 5c 的面积；
(2)景区规划在线段 驼 的中点4处修建一个湖心亭，并修建观景栈道
血.试求为、D 间的 距离.(结果精确到口」米)
Ein53.2Q ^0.S0
me 53一”-56。

sin 60.7 ^0.87 a>s60.7^0.49
一，..-- )
【答案】(1) 560000 (2) 565.6
【解析】
试题分析：(1)过点c 作CE —民心交互m 的延长线于点E,,然后根据直角三角形的内角 和求出/ CAE,再根据正弦的性质求出 CE 的长，从而得到 4ABC 的面积；
(2)连接且口，过点口作DF —且3 ,垂足为尸点，则口.然后根据中点的性质和余
弦值求出BE 、AE 的长，再根据勾股定理求解即可 .
，AE=2OA=4 OB=OA=a /TJ ,
易证I A DEB D0P \,所以 rf DE DE
嗑DC ［共；注［解得
PA 5 如也二初二
运 smfi6jr^051 , cc-s6(5.L^0.41 ,
试题解析：（1）过点C 作随_ 交及4的延长线于点E ,
在RtA 陛C 中，'=6。

-7-661° = 53T , 所以 CE = AC - sin53.2 » 1000* 米.
所以 S. ▼ = L 1400x 猊0 = 560000 （平方米）.
一”工 2 2 （2）连接皿,过点订作DT — 4,垂足为F 点，则W . 因为口是死中点， 所以DF =（fE = 4M 米，且F 为期中点,
房，八加532*6。

0米，
所以班二班+心二L4Q0-和口=2。

刎米.
所以H F =、BE-月£ = 400米，由勾股定理得，
.必二JjT 十口户=/西十网0:=』兜6=585工米.
答：幺、0间的距离为5前_6米.
（现方跟用， 考点：解直角三角形
6 .如图，已知点 H 从‘工”）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以亿人 为顶点作菱形°,叫使点％仃在第一象限内，且"OC = 60［；以|P9 3）为圆心，PC 为 半径作圆.设点 八运动了 1秒，求：
（1）点U 的坐标（用含F 的代数式表示）；
⑵当点百在运动过程中，所有使◎2与菱形口A 四的边所在直线相切的t 的
O !』
值.
【答案】解：（i ）过q 作"11轴于q
7 OA = 1 + t ； ,，・。

=1 + £
i + fl F 。

+ o -OD = 0Ccos60 * = _2_ DC = 0cmGO 0 = -------- ---
1 +； 0(1+D — )
J'点二的坐标为 L 上 . ⑵①当OP 与0「相切时（如图1）,切点为。

，此时
过「作C"ly 轴于也则理工+ CH 2 A 1 4-1 = 3 1
-0C = O^rasSO*1
2
②当0 P 与。

P,即与工轴相切时（如图2）,则切点为0, PC
于工，则 1
OE 二产
*,8
£ = 3 - 1 ③当。

P 与。

P 所在直线相切时（如图3）,设切点为。

，。

'交所于「
,
则 PE 1
；，PC = W 二 85访3。

0 Ei
?
^(1+0
化简，得(t + - 18^3。

4 1) + 27 = 0
解得"1 = %守土6凶，v t = 9/ - &口- 1 < 0 灯" + 0〃、叮
世.1|
二所求，的值是工,八R-1和％* + 6\抵-1.
【解析】
(1)过。

作匚“,王轴于2利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点U的坐标OP与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应
分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC,再由
OA=+t,根据菱形的边长相等得到OC=1+t,由/AOC的度数求出/POC为30。

，
在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ,表示出OC,
等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA,即与x轴相
切时，过P作PE垂直于OC,又PC=PO利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30,列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与
AB所在的直线相切时，设切点为F, PF与OC交于点G,由切线的性质得到PF垂直于AB,则PF垂直于OC,由CD=FG在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD,即为FG,在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG,用PG+GF表示出PF,根据PF=PC表示出PC,过C作CH垂直于y 轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值.
7.如图，已知，在e O中，弦AB与弦CD相交于点E ,且A C B D .
(1)求证：AB CD；
(2)如图，若直径FG经过点E,求证：EO平分AED ;
(3)如图，在(2)的条件下，点P在C G上，连接FP交AB于点M ,连接MG ,若
AB CD, MG平分PMB , MG 2, FMG的面积为2,求e O的半径的长.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)e O的半径的长为J10.
【解析】
【分析】
(1)利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
(2)连接AO、DO ,过点。

作OJ AB于点J , OQ CD于点Q ,证明
AOJ DOQ得出OJ OQ ,根据角平分线的判定定理可得结论；
(3)如图，延长GM交e O于点H ,连接HF ,求出FH 2,在HG上取点L ,使
HL FH ,延长FL交e O于点K ,连接KG ,求出FL 2亚，设HM n ,则有
LK KG -n , FK FL LK 2^ ^2^ ,再证明2 2
—— _ ——— KG HF
KFG EMG HMF ,从而得到tan KFG tan HMF , ————，再代入
FK HM
LK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到圆的半径为屈. 【详解】
解：(1)证明：「A C B D ,A C C B ?D C B ,
如C D ,
AB CD.
(2)证明：如图，连接AO、DO,过点O作OJ AB于点J OQ CD于点Q
1 _ 1 _ _
AJO DQO 90 , AJ —AB —CD DQ ,
又• . AO DO ,
AOJ DOQ ,
OJ OQ ,
又OJ AB, OQ CD ,
••• EO 平分AED.
(3)解：••• CD AB, AED 90 ,
，，- 1
由(2)知，AEF — AED 45 ,
如图，延长GM交e O于点H ,连接HF ,
• FG 为直径，•••H 90 , S MFG - MG FH 2, ••• MG 2, FH 2,
在HG上取点L ,使HL FH ,延长FL交e O于点K ,连接KG , HFL HLF 45 , KLG HLF 45 ,
••• FG 为直径，•••K 90 ,
••• KGL 90 KLG 45 KLG , • . LK KG ,
在Rt FHL 中，FL2FH2HL2，FL 2亚，
设HM n, HL MG 2,
••• GL LM MG HL LM HM n ,
在 Rt LGK 中，LG 2 LK 2 KG 2, LK KG —n,
2
FK FL LK
GMP GMB, ••• PMG HMF , ， HMF
1
AEF — AED 45 , 2
tan KFG tan HMF ,
2
KG HF
2
n
2
FK 而’2行与n
2
HG HM MG 6,
在 Rt HFG 中，FG 2
FH 2
HG 2, FG 2>/i0 , FO
即e O 的半径的长为Ji0. 【点睛】
考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添 加辅助线是解题的关键.
A 、点
B ,且 ABO 的面积为8.
(1)求k 的值；
(2)如图，点P 是第一象限直线 AB 上的一个动点，连接 PO,将线段OP 绕点O 顺时针 旋转90。

至
线段OC,设点P 的横坐标为t,点C 的横坐标为m,求m 与t 之间的函数关系 式(不要求写出自变量t 的取值范围)；
MGF EMG
KFG EMG MEF 45 , MGF
HMF , KFG
HLF 45
. 10 .
8.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y
kx 4交x 轴、y 轴分别于点
【解析】 【分析】
(1)先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出 k 的值；
(2)过点P 作PD x 轴，垂足为D ,过点C 作CE x 轴，垂足为E
POD OCE 可彳导OE PD ,进一步得出m 与t 的函数关系式；
(3)过点O 作直线OT AB ,交直线BM 于点Q ,垂足为点T ,连接QP ,先证出
；再证出 KPB BPN ；设 KPB x ,通过计算证出 PO PM ； 32.
【详解】 BO 4, 又, S ABO 4
1 八 八
B 作直线BM
PK ,且 PK KB 0P, PMB 2
垂足为点N ,点K
KPB ，连接 MC ,
【答案】(1) k 1 ； (2)
m
t 4 ； ( 3
) SYBOCM
32
QTB PTO
再过点P 作PD
x 轴，垂足为点 D,根据tan OPD tan BMO 得到OD -BO
列式可求得t=4; 所以OM=8进一步得出四边形
PD MO
BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为
解：(1)把x
0代入y kx
4, AO 4,
(3)在(2)的条件下，过点 在
线段MB 的延长线上，连接 求四边形BOCM 的面积.
AO BO
2
A( 4,0)
4, 0代入y kx
4k
解得k 1.
故答案为1;
(2)解：把t代入y
如图，过点P作PD x轴，垂足为D,过点
••• P(t,t 4) C作CE x轴，垂足为E ,
POC 90 , OP OC,
POD EOC 90 , OPD EOC, POD OCE , OE PD , m t 4. 故答案为m t 4.
(3)解：如图，过点O作直线OT AB,交直线BM于点Q ,垂足为点T , 连接
QP ,
二线段OP绕点O顺时针旋转90至线段OC ,
由（1）知，AO BO 4, BOA 90 , ••• ABO为等腰直角三角形，
ABO BAO 45 , BOT 90 ABO 45 ABO , BT TO ,
BTO 90 ,
TPO TOP 90 ,
••• PO BM ,
BNO 90 ,
BQT TPO ,
QTB PO PK
KPB
设 KPB
BPN
PMB
OD BO PNM POC 90 ,
・•・ BM P OC ,
，四边形BOCM 是平行四边形,
S 8y B0
c M
BO OM 4 8 32.
故答案为32.
本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适 当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.
9.如图1,以点M (—1, 0)为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点 A 、日C 、D,直线y=
(1)请直接写出 OE 、OM 的半径r 、CH 的长;
QT TP , PO PQT
QPT
QB PK QK KP , KQP KPQ PQT
KQP
QPT KPQ
TQB TPK ,
PMB
2 KPB
POM PAO APO 45 x NMO 90 POM 45 x ,
PMO PMB
NMO
45
POM ，
••• PO
PM , 过点P 作PD x 轴, 垂足为点 ••• OM 2OD 2t,
OPD 90 POD 45 tan OPD
tan BMO ,
PD MO t 4 2t t i 4, t 2
2 （舍）
••• OM
8,由(2)知，m 8 OM ，
CM P y 轴,
x-
与。

M 相切于点H,交x 轴于点E,交y 轴于点F.
(2)如图2,弦HQ交x轴于点巳且DP：PH= 3:2,求cos/ QHC的值；
(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与E、C重合)，连接BK交。

M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数a,始终满足MIN- MK=a,如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由.
图1 图2
图工
【答案】(1) OE=5, r=2, CH=2
3 A1
(2)々
(3)a=4
【解析】
【分析】
(1)在直线y=—X x-:‘中，令y=0,可求得E的坐标，即可得到OE的长为5;连接MH,根据4EMH 与^EFO相似即可求得半径为2;再由EC=MC=2，/ EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上白^中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到△CH/^QPD,从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ 中，即可求得/D的余弦值，即为cos/ QHC的值；
(3)连接AK, AM,延长AM,与圆交于点G,连接TG,由圆周角定理可知，
/GTA=90,° Z3=Z4,故 / AKC=Z MAN,再由△AMK S^NMA即可得出结论. 【详解】
(1) OE=5, r=2, CH=2
(2)如图1,连接QC、QD,则/CQD =90°, /QHC =/ QDC,
上 Z2 + Z4 = 90° vz3 = Z4 界 ±2 + f3 = 90 ? 由于工林。

+上”90］故，夕*。

= £2； 而乙”八。

一乙2,故"一上2
在MM*和卬M%, ±1 一2； "MKjNM 月 故△ AMKs^NMA
MN AM
； ;
即：「二 * 二二一； 一
故存在常数H 始终满足=a 常数a="4"
解法二：连结BM,证明AAST sXUHJ
DP 易知△CH/^DQP,故 PH
DQ
CH
,得DQ=3,由于 CD=4,
*，■
二 coszQDC =
QD 3 CD 4
(3)如图2,连接AK, AM,延长AM, 与圆交
于点 G,连接TG,则
图2
得二■•二_- 二
10.如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5方向上，距离5千米处是村庄M , 在点A北偏东53.5方向上，距离10千米处是村庄N ;要在公路AB旁修建一个土特产收购站P （取点P在AB 上），使得M , N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：（1）M , N两村庄之间的距离；
（2）P 到M、N 距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 = 0.75计算结果保留根号.）
【答案】（1） M , N两村庄之间的距离为729千米；（2）村庄M、N到P站的最短距离和是
5 5千米.
【解析】
【分析】
（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.求
出DN, DM,利用勾股定理即可解决问题.
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN的长.
【详解】解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站
的位置.
(1)在Rt^ANE 中，AN=10, Z NAB=36.5 ，NE=AN?sin/ NAB=10?sin36.5 =6；
AE=AN?cos/ NAB=10?cos36.5 ° , =8 过M作MC^AB于点C,
在Rt^MAC 中，AM=5, /MAB=53.5 • .AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5 ,° =3
MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5 ° =4
过点M作MD，NE于点D,
在RtA MND 中，MD=AE-AC=5,
ND=NE-MC=2,
..MN=1y522=729，
即M , N两村庄之间的距离为J29千米.
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN'的长.
DN' =10MD=5,在Rt^MDN中，由勾股定理，得
MN' §52 102 =5 店（千米）
・•・村庄M、N到P站的最短距离和是5，5千米.
【点睛】
本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
11 .如图，建筑物上有一旗杆月也从与以。

相距4°狙的。

处观测旗杆顶部八的仰角为
50\观测旗杆底部行的仰角为45 \求旗杆产B的高度.（参考数据：
sin50fl =s0.77 cos500 *0.64,匕1150口H L19）
A
【答案】旗杆小门的高度约为|7・6m.
【解析】
【分析】
pc
在Rt^BDC中，根据tan/BDC=下求出BC,接着在Rt^ADC中，根据Id JLr
tan Z ADC^^-^—即可求出AB的长度
【详解】
EC
解：•.在Rt^BDC 中，tan/BDC-n, • . BC=CD= 40m I* J J
AC\ AB + EC
; 在RtA ADC 中，tan / ADC=—=~—
0B + 40 tan50 = ° =1.19 40
••.AB 7.6m
答：旗杆AB 的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
12.现有一个Z 型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中 AB 为20cm, BC 为 60cm, Z ABC= 90, / BCA 60°,求该工件如图摆放时的高度（即 A 到CD 的距
离）.（结果精确到 0.1m,参考数据：心3=1.73
【答案】工件如图摆放时的高度约为 61.9cm. 【解析】 【分析】
过点 A 作 APL CD 于点 P,交 BC 于点 Q,由/CQP=/AQB 、/ CPQ= / B= 90° 知 / A= / C =
60°,在4ABQ 中求得分别求得 AQ 、BQ 的长，结合 BC 知CQ 的长，在4CPQ 中可得 PQ,根据AP = AQ+PQ 得出答案.
【详解】
解：如图，过点 A 作AP ，CD 于点P,交BC 于点Q,
Z CQP= ZAQB, /CPQ=/B=90 / A= / C= 60 °,
BQ=ABtanA= 20tan60 =2^ (cm), .•.CQ= BC- BQ= 60 - 203 (cm),
在ACPQ 中，PQ= CQsinC= ( 60 — 20*3) sin60 = 30 (\信—1) cm, .•.AP = AQ+PQ= 40+30
(73-1) = 61.9cm),
—=40
(cm),
在4ABQ 中,
2
AB 20
答：工件如图摆放时的高度约为 61.9cm.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题 的关键.
B 60 , AB 4 .点P 从点A 出发以每秒2个单位的速
P 作PQ AC 交边AB 于点Q ,过点P 向上作
PN 〃 AC ,且PN 立PQ ,以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t 2
(秒)，矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为 S .
【答案】(1) PQ 2
品；(2
) 4 ； (3) 19百2 40石 16«
; (4) t J 或
5
3
8 t —. 7
【解析】 【分析】
(1)由菱形性质得 /D=/B=60°, AD=AB=CD=4 4ACD 是等边三角形，证出 4APQ 是等腰 三角形，得出PF=QF, PF=PA?sin60 gt,即可得出结果；
(2)当点M 落在边BC 上时，由题意得： 4PDN 是等边三角形，得出 PD=PN,由已知得 PN=§PQ=3t,得出PD=3t,由题意得出方程，解方程即可；
(3)当0vt 《时，PQ=2731, PN=—PQ=3t, S 却形PQMN 的面积=PQX PN 即可得出
一，4 — ——
结果；当 —VtV1时，4PDN 是等边二角形，得出 PE=PD=AD-PA=4-2 t
5
/FEN=/ PED=60,° 彳导出 NE=PN-PE=5t-4 FN=V 3 NE=V 3 (5t-4) , S 却形 PQMN 的面积-
13.如图①，在菱形ABCD 中，
度沿边AD 向终点D 运动，过点
(1)用含t 的代数式表示线段 PQ 的长.
⑵当点M 落在边BC 上时，求t 的值.
(3)当0 t 1时，求S 与t 之间的函数关系式，
(4)如图②，若点。

是AC 的中点，作直线 OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图 形的面积比
为1:2时，直接写出t 的值
国1
国2
24EFN 的面积，即可得出结果；
(4)分两种情况：当 0vt<4时，4ACD 是等边三角形，AC=AD=4,得出OA=2, OG 是
5
△ MNH 的中位线，得出 OG=4t-2, NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程，解方程即可；
,4
,，▼,，，，『，人 人 ，』,EF
当_ vtw 对，由平行线得出 △OED4MEQ,得出 ——
5
EQ
解得EF=2
行而，得出EQ= 3 2
回回2
,由三角形面积关系得出方程，解方 4t 2 4t 2 程即可. 【详解】
(1) :在菱形 ABCD 中，/B=60°,
/ D=Z B=60 ； AD=AB=CD=4 △ ACD 是等边三角形， Z CAD=60 ；
,.PQXAC, ・•.△APQ 是等腰三角形， ，PF=QX PF=PA?sin60 °雪=向t,
2
.•.PD=PN,
. , PN= — PQ=— X 273 t=3t, 2 2 • .PD=3t, . ・ PA+PD=AR
即 2t+3t=4 , 解得：t=4 .
5
(3)当0vt<1时，如图1所示:
M Q ，即玄
• .PQ=2 ⑨；
(2)当点M 落在边BC 上时，如图2所示:
A
图2
由题意得：4PDN 是等边三角形,
c
具。

图I
PQ=26t, PN=^PQ=^ X273t=3t,
S即形PQMN 的面积=PQX PN=2/3t X 3t=63t2；
,4
当4 vtvl时，如图3所本:
5
A
图3
•・•△PDN是等边三角形，
PE=PD=AD-PA=4-2t / FEN=/ PED=60,°
•. NE=PN-PE=3t- (4-2t) =5t-4 ,
••.FN=V3NE S (5t-4),
一C 1 一，一・一.•.S觊形PQMN 的面积-24EFN 的面积=673 t2-2 X-X73 (5t-4) 2=-19t2+40 J3 t-16 « , 即S=-19t2+40 百t-16g ；
(4)分两种情况：当0Vt£时，如图4所示：
•・•△ACD是等边三角形，
.•.AC=AD=4,
••・O是AC的中点，
•.OA=2, OG是△MNH的中位线，
•.OG=3t- (2-t) =4t-2, NH=2OG=8t-4,
・•.△MNH 的面积=1MNK NH=1X2K/3t X( 8t-4) =1 xgt2, 2 2 3 ,
解得：t」；
3
,4 ,，一一一
当_ <t w宏寸，如图5所本:
5
图5
. AC// QM,
••.△OEF^AMEQ,
EF OF 口u EF 2 t
,即-------- 尸 ,
EQ MQ EF 3t 3t
解得：EF=2,3t 3t2, 4t 2
，EQj 3t 2■J」，
4t 2
△ MEQ 的面积=-X 3t g J3t 2^瓦
2 4t
解得：t= 8 ;
7
一，_ _ ____ 、，，. 2 . …2 , 综上所述，当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1： 2时，t的值为2或
3 8 7
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾
股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较
大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键.
14.抛物线y=ax2bx+4 (a^Q 过点A(1, - 1), B(5, - 1),与y 轴交于点C.
(1)求抛物线表达式；
(2)如图1,连接CB,以CB为边作？CBPQ若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标
平面内的一点，且？CBPQ的面积为30,
①求点P坐标；
②过此二点的直线交y 轴于F,此直线上一动点 G,当GB+— GF 最小时，求点G 坐标.
2
(3)如图2,。

01过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点 M 为上的一动点(不与点 A, E 重 合)，/MBN 为
直角，边BN 与ME 的延长线交于 N,求线段BN 长度的最大值
①P(2, -4)或 P(3,-5)②G(0,-2) (3) 3万
【解析】 【分析】
(1)把点 A (1, -1) , B (5,
达式；
(2)①如图，连接PC,过点 1 为：y=-x+4,设点 P (t, t 2-6t+4) , R (t, -t+4),因为？CBPQ 的面积为 30,所以 S APBC =-
2
X (-t+4-t 2
+6t-4) 书 15,解得t 的值，即可得出点 P 的坐标；②当点P 为(2,-4)时，求
得直线QP 的解析式为：y=-x-2,得F (0, -2) , /GOR=45,因为GB+Y 2
2
GF=GB+GR 所以当G 于F 重合时，GB+GR 最小，即可得出点 G 的坐标；当点 P 为(3,- 5)时，同理可
求；
(3)先用面积法求出 sin / ACB=ZY 13 , tan / ACB=2 ,在Rt^ABE 中，求得圆的直径，
13
3
因为 MBLNB,可得 /N=/AEB=/ ACB,因为 tanN=MB = 2,所以 BN=- MB,当 MB 为 BN 3 2
直径时，BN 的长度最大. 【详解】
⑴ 解：(1) ;抛物线 y=ax 2
+bx+4 (awq 过点 A (1, -1) , B (5, -1),
抛物线表达式为 y=x2- 6x+4.
(2)①如图，连接PC,过点P 作y 轴的平行线交直线 BC 于
R,
-1)代入抛物线 y=ax 2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表
P 作y 轴的平行线交直线 BC 于R,可求彳#直线BC 的解析式
1= a b 4
1= 25a 5b 4
a=1 b= 6
【答案】(1) y=x2- 6x+4 (2)
设直线BC 的解析式为y=kx+m,
. B (5, -1) , C (0, 4),
1= 5k m k= 1
••• ,解得
4= m m= 4
，直线BC 的解析式为：y=-x+4,
设点 P (t, t 2-6t+4) , R (t, -t+4),
• •.?CBPQ 的面积为30,
• ••S APBC =- X (-t+4-t 2+6t-4) X=§ 15,
解得t=2或t=3 ,
当 t=2 时，y=-4
当 t=3 时，y=-5,
• ••点 P 坐标为（2,-4）或（3, -5）;
②当点P 为（2,-4）时，
• •・直线 BC 解析式为：y=-x+4, QP// BC, 设直线QP 的解析式为：y=-x+n,
将点P 代入，得-4=-2+n, n=-2,
• ・・直线QP 的解析式为：y=-x-2,
• •.F （0, -2） , /GOR=45；
• .GB+-GF=GB+GR
当G 于F 重合时，GB+GR 最小，此时点 G 的坐标为（0, -2）,
同理，当点P 为（3, -5）时，直线QP 的解析式为：y=-x-2, 同理可得点G 的坐标为（0, -2）,
⑶）.A （1, -1） , B （5,-1） C （0, 4）,
• 1-AC=^/26 , BC=5A /2，
. . S AABC = 1 ACX BCsM ACB= sin / ACB=—~, tan / ACB=一, 13 3
••.AE 为直径，AB=4,
1
一 ABX
5,
/ ABE=90
. sin / AEB=sinZ ACB=2^13 =—, 13 AE
• •.AE=2A,
• . MBXNB, /NMB=/EAB,
/ N=/AEB=/ ACB,
.-.tanN=MB=2, BN 3
• .BN=3
MB, 2 当MB 为直径时，BN 的长度最大，为 3 而.
【点睛】
题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数 定义，平行四边形性质.解决（3）问的关键是找到 BN 与BM 之间的数量关系.
15.如图，某次中俄 海上联合”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇C 的俯角为30°.位于军 舰A 正上方1000米的反潜直升机 B 侧得潜艇C 的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇
C
离开海平面的下潜深度.（结果保留整数.参考数据：sin68 °〜0.9cos68°〜0.4 【解析】试题分析：过点 C 作CD>± AB,交BA 的延长线于点 D,则AD 即为潜艇C 的下潜 深度，用锐角三角函数分别在 Rt^ACD 中表示出CD 和在Rt^BCD 中表示出BD,利用
BD=AD+AB 二者之间的关系列出方程求解.
试题解析：过点 C 作CD,AB,交BA 的延长线于点 D,则AD 即为潜艇C
的下潜深度，根
【答案】潜艇C 离开海平面的下潜深度约为 308米
据题意得：/ ACD=30°, / BCD=68°, 设 AD=x,贝U BD=BA+AD=1000+x, AD 在 Rt^ACD 中，CD=
tan ACD
在 Rt^BCD 中，BD=CD?tan68°, • .325+x=屈x ?tan68 °
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三 角形并选择合适的边角关系求解. 100 米.
解得：x=10
味， 赢=3X。