考研高数总复习第七章线性变换第七节讲解

A 1 , A 2 , … , A s W .
六、不变子空间与矩阵化简之间的关系
定理14 A 1) 设 是 n 维线性空间 V 的线性变
A 换, W 是 V 的 - 子空间.
在 W 中取一组基 1 , 2 ,
… , k ，并且把它扩充成 V 的一组基
1 , 2 , … , k , k+1 , … , n .
设 设 A A 是 是数 数域 域 P P 上 上一 一个 个 n n n n 矩 矩阵 阵， ，
f f ( (
) ) = = ||
E E - - A A ||
是 是 A A 的 的特 特征 征多 多项 项式 式， ，则 则
f f ( (A A) ) = = A An n- -( (a a1 11 1+ +a a2 22 2+ +… …+ +a an nn n) )A An n- -1 1+ +… …+ + ( (- -1 1) )n n ||A A||E E = = O O. .
现在设
1 + 2 + … + s = 0，
其中i Vi .
当然 i 满足
(A iE)ri i 0 , i 1,2, s .
所以 i = 0，i =1, 2, … , s .
由此可得到第一点中的
表示法是唯一的.
再设有一向量 示成
( A iE )ri 的核. 把 表
= 1 + 2 + … + s , i Vi i = 1 , 2, … , s .
定义 12 A 设 是数域 P 上线性空间 V 的线性
变换，W 是 V 的子空间.
A 如果 W 中的向量在 下
的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量
A 有 W， 我们就称 W 是 A 的 不变子空间，
A 简称
- 子空间.
二、举例
例 1 整个空间 V 和零子空间 { 0 }，对于每个 A A 线性变换 来说都是 -子空间.
换，对于 W 中任一向量 ，有
A A ( | W ) = .
A 但是对于 V 中不属于 W 的向量 来说，( |W )
是没有意义的.
例如，任一 线性变换在它的核上引起的变换就
是零变换，而在特征子空间
乘变换0 .
V0 上引起的变换是数
五、子空间为 A - 子空间的条件
定理13 设 W 是线性空间 V 的子空间，且
u1() f1() + u2() f2() + … + us() fs() = 1 .
于是
A A A A A A E u1( ) f1( ) + u2( ) f2( ) + … + us( ) fs( ) = .
这样对 V 中每个向量 都有
A A A A A A =u1( )f1( )+u2( )f2( )+…+us( )fs( ) A A A 其中 ui( )fi( ) fi( )V = Vi , i =1, 2, … , s .
W = L(1 , 2 , … , s ) .
A 则 W 是 - 子空间的充分必要条件是
全属于 W .
A A A 1 , 2 , … , s
证明 先证必要性 设 W 是 A - 子空间，即
对任意的 W，有 A W . 由于
所以 于是
W = L(1 , 2 , … , s ) ， 1 , 2 , … , s W，
为此要证明两点，第一，要证 V 中每个向量
都可表成
= 1 + 2 + … + s , i Vi , i = 1 , 2, … , s .
其次，向量的这种表示法是唯一的.
显然 ( f1() , f2() , … , fs() ) = 1，因此有多项 u1() , u2() , … , us() 使
所以 A 在 B 下的像是零，即 A V0 . 这就证 明了 V0 是 A - 子空间. 在 B 的值域 BV 中任取一 向量 B ，则
A ( B ) = B (A ) BV .
A 可知 Vi 是
的不变子空间.
显然 Vi 满足
( A iE )ri Vi f ( A )V 0 .
下面来证明 V = V1 V2 … Vs .
仍然在 W 中.
A 1 , A 2 , … , A k
故它们可以通过 W 的基1 , 2 ,…, k
线性表示
A 1 = a111 + a212 + … + ak1k , A 2 = a121 + a222 + … + ak2k ,
…………
A k = a1k1 + a2k2 + … + akkk .
从而 A 在基 (1) 下的矩阵具有形状 (2)， A |W 在
1 + 2 + … + s = 0
的两边，即得
A fi( ) i = 0 .
又
( fi (), ( i )ri ) 1.
所以有多项式 u() , v() 使
u() fi () v()( i )ri 1.
于是
i u(A ) fi (A )i v(A )( A iE )ri i 0 .
证明 令
(
1
)r1
(
)ri1 i1
(
i1
) ri1
(
s
)rs
及
A Vi = f ( )V .
A 则 Vi 是 f ( ) 的值域.
由本节
例 3 若线性变换 A 与 B 是可交换的，则B 的核与值域都是 A - 子空间.
在 B 的核 V0 中任取一向量 ，则 B ( A ) = (BA ) = (A B ) = A ( B ) = A 0 = 0 .
例 2 A A 的值域与核都是 -子空间. A A A 按定义， 的值域 V 是 V 中的向量在 下 A 的像的集合，它当然也包含 V 中向量的像，所 A A 以 V 是 的不变子空间. A A 的核是被 变成零的向量的集合，核中向
量的像是零，自然在核中，因此核是不变子空间.
例 3 A B B 若线性变换 与 是可交换的，则
这就使得有可能不必在整个空间 V 中来考虑 A ，
而只在不变子空间 W 中考虑 A ，即把 A 看成是
A W 的一个线性变换，称为 在不变子空间 W 上引
起的变换.
A 为了区别起见，用符号 | W 来表示;
但在不致引起混淆的情况下，仍然可用 A 来表示.
A A 必须在概念上弄清楚 和 | W 的异同： A A 是 V 的线性变换，V 中每个向量在 下都 有确定的像； A | W 是不变子空间 W 上的线性变
将空间 V
按特征值分解成不变子空间的直和.
定理 15 A 设线性变换 的特征多项式为 f()
它可分解成一次因式的乘积
f ( ) ( 1 ) r1 ( 2 ) r2 ( s ) rs .
则 V 可分解成不变子空间的直和
V = V1 V2 … Vs ,
其中 Vi { | ( A iE ) ri 0, V }.
A 2) 设 V 分解成若干个 - 子空间的直和：
V = W1 W2 … Ws .
A 在每一个 - 子空间 Wi 中取基
i1, i2 , , ini
并把它们合并起来成为 V 的一组基 I .
(i 1,2, , s), (3)
则在这组
A 基下， 的矩阵具有准对角形状
A1
A2
(4)
于是 = i Vi ，这就证明了 Vi 是
( A iE )ri
的核，即 Vi { | ( A iE ) ri 0, V }.
本若请本若请本若请节想本若单请节想本 若单请节想本 若单请内结节想击本 若单请内 结节想击本 若 本 若单请 请结内节 想击本 若 本 若单容束请 请结内返节 想击本 若 本 若单容 束请 请内 结返节 想 节 想击本 若 本 若束单 单容请 请内 结返想节 节 想已本击本 若单束单容回请内 结返想节 节 想已 本击本 若单容 束单回请内 结 内 结返节 想 节 想本已击 击本 若容 束单 单回请内 内 结结堂结返节想本已击击按本 若容 束单回请内 内 结结结 堂返节想已 本击击按本 若容 束 容 束单回请堂内 结 内 结结返 返节 想已 本按击 击容 容 束单束束课回堂结结内返返钮节 想已 本按击容 容 束束单束 课回结 堂结内返返钮节 想已 本 已 本按击单课容 束 容 束束回 回结 堂内 结钮返 返已 已 本本,击按课束束容回回.结 堂内 结钮返!已 已 本本,按击束 课束容回回.结 堂 结 堂内 结钮返!已 本 已 本,按 按击束 课容 束回 回.结 结 堂堂返钮!本已,按按束 课容 束回.结 结 堂堂钮返!本已,按按束 课 束 课容 束回.结 堂 结 堂钮 钮返!已 本,按 按束 束 课课回.堂结钮钮!已 本,按束 束 课课.回堂结钮钮!已 本,,按束 课 束 课..回结堂钮钮!!,,按课束..结堂钮!!,,按课束..结堂钮!!,,按束课..钮!!,束课.钮!,束课.钮!,.!,.!,.!
的.
三、特征向量与一维不变子空间的关系
A 设 W 是一维 - 子空间， 是 W 中任何一个
非零向量，它构成 W 的基.
A 按 - 子空间的定义
A W，它必定是 的一个倍数：
A = 0 . A 这说明 是 的特征向量，而 W 是由 生成的
A 一维 - 子空间.
A 反过来，设 是 属于特征值 0 的一个特征 向量，则 以及它的任一倍数在 A 下的像是原像
即
1 + 2 + … + (i - ) + … +s = 0 .
令 j = j ，j i , i = i - ，
则 1 , 2 , … , s 是
满足
1 + 2 + … + s = 0
和
( A iE )ri i 0 i 1,2, s
的向量. 所以
1 = 2 = … = i = … = s = 0 ,
A ( B ) = B (A ) BV .
B A 因此， V也是 - 子空间.
A A A 因为 的多项式 f ( ) 是和 交换的，所以
A A f ( ) 的值域与核都是 - 子空间.
A 这种 - 子空
间是经常碰到的.
例 4 任何一个子空间都是数乘变换的不子空
间. 这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭
这就证明了第一点. 为证明第二点，设有
1 + 2 + … + s = 0， 其中 i 满足
( A iE )ri i 0 i 1,2, s .
现在证明任一个 i = 0 .
因 ( j )rj | fi () ( j i) , 所以
A fi( ) j = 0 ( j i ) . A 用 fi( ) 作用于
(1)
A 那么， 在这组基下的矩阵就具有下列形状
a11
a1k
a1,k 1
a1n
ak1
akk
0 0
ak ,k 1 ak 1,k 1
akn ak 1,n
A1 O
A2 A3
.
(2)
0 0 an,k1 ann
A 并且左上角的 k 级矩阵 A1 就是 |W 在 W 的基
1 , 2 , … , k 下的矩阵.
的 0 倍，仍然是 的一个倍数.
这说明 的倍数
A 构成一个一维 - 子空间.
显然， A 的属于特征值 0 的特征子空间
V0
也是 A 的不变子空间.
A A - 子空间的和与交还是 - 子空间.
四、 A 在不变子空间上引起的变换
A A 设 是线性空间 V 的线性变换，W 是 的不
变子空间. 由于 W 中向量在 A 下的像仍在 W 中，
节不变子空间
定义
举例
特征向量与一维不变子空间的关系
A在不变子空间上引起的变换
子空间为A-子空间的条件
不变子空间与矩阵化简之间的关系
空间的分解
一、定义
这一节我们再来介绍一个关于线性变换的重要
概念------不变子空间.
同时利用不变子空间的概念
来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联
系. 这样，对上面的结果可以有进一步的了解.
As
A 其中 Ai ( i = 1 , 2 , … , s ) 就是 |W 在基 (3) 下的
矩阵.
A 反之，如果线性变换 在基 I 下的矩阵是准 A 对角形 (4) ，则由 (3) 生成的子空间 Wi 是 - 子空
间.
证明 只证 1) ，因为2) 的证明与 1) 类似.
A 因为 W 是 - 子空间，所以像
A 的核与值域都是 - 子空间.
在 B 的核 V0 中任取一向量 ，则 B ( A ) = (BA ) = (A B )
= A ( B ) = A 0 = 0 .
A B A 所以 在 下的像是零，即 V0 .
这就证
A 明了 V0 是 - 子空间.
在 B 的值域 BV 中任取一
向量 B ，则
W 的基 1 , 2 ,…, k 下的矩阵是 A1 .
反之，如果A 在基 (1) 下的矩阵是 (2) ，那么 不难证明，由 1 , 2 ,…, k 生成的子空间 W 是 A
的不变子空间.
证毕
由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为
不变子空间的直和是相当的.
七、空间的分解
下面我们应用
哈 哈密 密顿 顿 - - 凯 凯莱 莱定 定理 理