纵观立体几何考题感悟向量方法解题

纵观立体几何考题感悟向量方法解题
在高中数学学习中，立体几何一直是学生们非常头疼的一个部分。

立体几何的主要难点是空间的复杂性，加上几何思维本来就不易理解，许多学生解题困难。

但是，通过向量方法解题是一种很好的解决立体几何问题的方法。

本文将通过纵观立体几何考题，分享一些关于向量方法解题的经验与感悟。

一、向量的基本概念及运算
向量的表示法是用箭头表示。

箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

一个向量可以被表示为一个由有序数对$(x,y)$所确定的点A和另一个由有序数对$(x',y')$所确定
的点B之间的向量$\vec{AB}$。

向量也可以表示为箭头的坐标，即$\vec{AB}=\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\end{pmatrix}$。

向
量的大小表示为$|\vec{AB}|=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}$。

向量的运算有向量加法和向量数乘。

向量加法的定义是：
$\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\e nd{pmatrix}$。

其中，$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，
$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$。

向量数乘的定义是：
$\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$。

其中，$\lambda$是一个实数。

二、应用向量方法求解空间几何问题
1.立体几何基本概念
首先，我们需要掌握一些立体几何的基本概念，比如平面、线段、角等。

此外，还需要了解空间中的直线、平面、空间角、平行线等概念。

了解这些概念是建立解题基础的必要条件。

2.向量表达式的转化
在解题中，我们可以通过向量的基本运算将问题转化为向量的加、减、数乘问题。

因此，我们需要能够将向量从一个表达式转化为另一个表达式，并灵活地运用向量的加、减、数乘运算法则来求解问题。

3.使用向量法求解空间几何题
在解题中，我们可以通过向量法来解决一些复杂的题目。

例如，我们可以用向量求空间中两点的距离，也可以用向量求三角形的面积或四面体的体积。

此外，我们还可以利用向量法来判断两个向量是否相交或垂直，以及求解平面的方程式等。

三、典型题型分析
1.平面的方程式问题
在平面的问题中，我们可以使用向量法来求解平面的方程式。

在解题中，我们需要先求出向量法向量$\vec{n}$，然后再代
入已知点$\vec{A}$，得到平面的方程式。

例如，平面的方程
式为：$ax+by+cz=d$，则向量法向量$\vec{n}=(a,b,c)$。

2.空间向量共面问题
在空间向量共面问题中，我们可以使用向量叉积的方法求解。

如果三个向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$共面，则向量叉积$(\vec{b}-\vec{a})\times(\vec{c}-\vec{a})=\vec{0}$。

如果向量叉积的结果为$\vec{0}$，则三个向量共面；如果向量叉积的结果不为$\vec{0}$，则三个向量不共面。

3.空间向量垂直问题
在空间向量垂直问题中，我们可以使用向量点积的方法求解。

如果两个向量$\vec{a}$，$\vec{b}$垂直，则
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。

如果向量点积的结果为0，则两个向量垂直；如果向量点积的结果不为0，则两个向量不垂直。

4.空间向量投影问题
在空间向量投影问题中，我们可以使用向量的投影定理和投影公式进行求解。

这里，我们将投影线分为两部分：平行于向量的分量和垂直于向量的分量。

通过向量投影定理和投影公式的运用，我们可以求出向量在某个给定方向上的投影长度，以及在某个垂直方向上的投影长度。

四、总结
通过以上的分析，在解决立体几何问题时，向量方法是一种非常方便的解决方法。

通过灵活运用向量加、减、数乘运算，我们可以解决立体几何中的许多复杂问题。

但是，向量方法并不是万能的，有些问题可能需要借助其他方法才能得到最终的答
案。

因此，在解题中，我们要综合运用各种方法，并不断提高解题能力，才能在数学学习和考试中取得优异的成绩。

例一：已知四面体$ABCD$，其中$AB=3$，$AC=4$，$AD=5$，$BC=BD=3\sqrt{2}$，$CD=6$。

试求四面体的体积。

解：我们可以先通过向量的方法求出三个相邻顶点所对应的向量，再用向量的混合积来求出四面体的体积。

设点$A$为坐标原点，那么有$\overrightarrow{AB}=(3,0,0)$，$\overrightarrow{AC}=(0,4,0)$，$\overrightarrow{AD}=(0,0,5)$。

此外，通过勾股定理，我们可以得出$BD=3\sqrt{2}$，即
$\overrightarrow{BD}=\frac{3}{\sqrt{2}}(0,-
1,\frac{1}{\sqrt{2}})$。

根据向量叉积的公式，我们可以求出
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$和
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}$，它们叉积的
积再与$\overrightarrow{BD}$点积，即可得到四面体的体积。

经过计算，我们得到
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,12)$，
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(0,-15,0)$，$\overrightarrow{BD}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrighta rrow{AD})=-\frac{45}{\sqrt{2}}$。

因此，四面体$ABCD$的体
积为
$\frac{|\overrightarrow{BD}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\ove rrightarrow{AD})|}{6}=\frac{15}{\sqrt{2}}$。

例二：立体空间的投影问题
已知平面$ABC$，点$P$的坐标为$P=(3,4,5)$，求点$P$在平面$ABC$的投影$P'$的坐标。

解：首先，我们可以通过向量叉积的方法求出平面$ABC$的法向量，该法向量垂直于平面$ABC$。

据此，我们可以求出向量$\overrightarrow{PP'}$在法向量$\vec{n}$上的投影长度$h$，即$\overrightarrow{PP'}\cdot\vec{n}=0$。

因此，向量$\overrightarrow{PP'}$的垂线长度
$h=|\overrightarrow{PP'}|\cos\theta$为：
$$h=\frac{|\overrightarrow{PP'}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}$$
其中，$\theta$为向量$\overrightarrow{PP'}$与法向量
$\vec{n}$之间的夹角。

我们再将向量$\overrightarrow{PP'}$分解为垂直于平面$ABC$的投影$\overrightarrow{PP'}'$和平行于平面$ABC$的投影$\overrightarrow{QP}''$，则有：
$$\overrightarrow{PP'}=\overrightarrow{PP'}'+\overrightarrow{Q P}''$$
可得向量$\overrightarrow{PP'}'$为：
$$\overrightarrow{PP'}'=\frac{\overrightarrow{PP'}\cdot\vec{n}} {\vec{n}\cdot\vec{n}}\vec{n}$$
根据题意，平面$ABC$的方程为$2x+3y+z=10$，因此其法向量为$\vec{n}=(2,3,1)$。

计算可得$|\vec{n}|=\sqrt{14}$，所以有：
$$h=\frac{|\overrightarrow{PP'}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|2 \times3+3\times4+1\times5-
10|}{\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$$
同时，向量$\overrightarrow{QP}''$垂直于平面$ABC$，因此平面上的向量$\overrightarrow{PP'}'$和向量
$\overrightarrow{QP}''$垂直。

由此，我们可以求出向量
$\overrightarrow{QP}''$的长度，即
$\overrightarrow{QP}''=h\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$。

因此，点$P'$的坐标为：
$$P'=(3,4,5)-
\overrightarrow{QP}''=(\frac{63}{41},\frac{88}{41},\frac{117}{ 41})$$
总结：
通过上面的例题，我们可以发现，在解决立体几何问题的过程中，向量方法可以起到很好的辅助作用。

通过熟练掌握向量的基本概念和运算，我们可以将立体几何问题转化为向量计算问题，从而更好地理解和解决问题。

同时，向量方法适用于多种立体几何问题，如平面方程、向量垂直、向量共面、向量投影等问题。

因此，这种方法具有很高的实用价值，在对付数学中
立体几何问题时非常有效。

补充：
在计算四面体体积时，需要用到向量的混合积，即
$$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ $
其中，$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$分别为三边所对应的向量。

混合积的值表示三个向量所围成的平行六面体的有向体积，而四面体的体积则为该平行六面体体积的一半。

因此，四面体的体积可以表示为：
$$V=\frac{1}{6}[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}]$$
其中，$\vec{AB}$、$\vec{AC}$、$\vec{AD}$分别为四面体的三个相邻顶点所对应的向量。

在计算点在平面上的投影时，需要用到向量的数量积和向量的模长的乘积。

设向量$\vec{a}$的模长为$|\vec{a}|$，向量
$\vec{b}$在向量$\vec{a}$上的投影长度为$h$，则有：
$$\vec{b}\cdot\vec{a}=|\vec{b}||\vec{a}|\cos\theta$$
$$h=\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{|\vec{b}||\vec{a }|\cos\theta}{|\vec{a}|}=|\vec{b}|\cos\theta$$
其中，$\theta$为向量$\vec{b}$和向量$\vec{a}$之间的夹角。

由此可见，向量的数量积和模长的乘积可以用于计算向量在另一个向量上的投影长度。