全国数学知识应用竞赛第四届 高二年级初赛试题(B)卷

第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
高二年级初赛（Ｂ）卷试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．圆心在原点，半径为1的圆交x 轴正半轴于A 点，一只大蚂蚁与一只小蚂蚁同时从A 点出发沿圆周作匀速运动，大蚂蚁沿逆时针方向每秒钟
转π3，小蚂蚁沿顺时针方向每秒钟转π6，那么当两只蚂蚁第五次相遇时，该点的坐标为 ．
2．图1是一位老师用来证明某个不等式时制的教具，
观察图1请你判断这位老师所证明的不等式
是 ，该不等式的广义形式是 ． 3．WL 工厂启动资源回收利用项目：从回收的直径为
d 的圆形铁瓶盖中截去一矩形，从而使截料与余料都
能直接利用．回收效益与截去的矩形面积成正比，为最大限度的获得回收效益，则这个项目中矩形截料的面积为 ．
4．恒山建材公司在恒山路上每隔10000m 依次有A B C D E ，，，，五个连锁店，现要对其中的4个店面同时进行扩建，需把所有的货物集中存放在一个店内，现存货物为A 店10吨，B 店20吨，E 店40吨，其余两店刚好脱销，如果每吨货物运输1000m 需要5元的运费，则运费最少是 元． 5．重新排列图2所示的九枚棋子，使它从原先8行每行3枚变为10行每行3枚，则重排后的图形是 ．
6．一种长宽为整数的台球桌，仅四角置有球袋，一球从一角以45角被击出，反弹若干次后，最终落入一个球袋．已知台球桌长与宽的最简整数比为m n ∶，那么反弹次数N 与m n ，满足的关系式为 ．
7．图3是上海金属期货交易市场在1月4日至4月2日铜的价格与成交量的变化趋势，观察此图，则正确结论的序号为 ．
① 平均成交量大于2500吨．
② 1月8日到1月13日价格下跌最快． ③ 成交量大，价格必然高．
④ 成交量的第二高峰发生在较低价格时． ⑤ 价格的总趋势呈下降趋势．
8．为保证长江中下游的航运安全和畅通，长航管理处加大了巡逻和督查力度，以制止不法
A
B C D
M N P 3a 3b 2
a 2
b 1a 1b
123a a a ++
123b b b ++ 图
1
图
2
分子在江中采沙．今巡逻艇在B 处，发现在其东偏北45方向10a 海里的A 处，一艘私自采沙船正以每小时18a 海里的速度沿南偏东75方向航行，巡逻艇立即出发，如果要20分钟追上采沙船，则巡逻艇的航行方向和速度分别为 ． 二、选择题（每小题5分，共40分）
9．9月26日，台风“珍妮”袭卷佛罗里达州后，其中心从A 地以每小时20千米的速度向西北方向移动，离台风中心30千米的地区为危险区，城市B 在A 的正西40千米处，则B 市处于危险区内的时间为（ ） Ａ．0.5小时 Ｂ．1小时 Ｃ．1.5小时 Ｄ．2小时
10．在一次股票交易中，股民甲以每股2元购入A 种股票1000股，现欲以每股4.05元价格卖出．在卖出时甲应向国家交纳印花税3%，向证券公司交纳佣金4%，交易过程中的通讯费为5元，过户费为1元，则甲在这次交易中的净收益（ ） Ａ．不到2000元
Ｂ．超过2000元，但不到2015元 Ｃ．超过2015元，但不到2020元 Ｄ．超过2020元
11．In one Intelligence Test ，
there was an English question as the following ： How many triangles are there in Fig ．4？（ ）
Ａ．26 Ｂ．22 Ｃ．20 Ｄ．18
12．2004统一冰红茶“闪亮之星”大学生歌手选拔赛某赛区邀请了20位裁判给选手打分，打分规则为：裁判给出的分数均为整数，去掉一个最高分，一个最低分，余下的18个分数的平均数为该选手的得分．一位选手的得分若取一位小数为9.4（四舍五入），若取两位小数，那么最小值应为（ ） Ａ．9.35 Ｂ．9.38 Ｃ．9.39 Ｄ．9.40 13．米丽将长为2a 的细绳，两端固定在画板上的1F 和2F 两点12(2)F F c =，用铅笔尖把细绳拉紧画椭圆（如图5
所示）．1234P P P P ，，，是笔尖经过的四点，它们向长轴AB 作垂线，垂足恰好五等分AB ，则1
234P P P P ，，， 到2F 的距离之和为（ ） Ａ．2a
Ｂ．4a
Ｃ．
Ｄ．a 14．如图6所示，棱长为5的正方体模型无论从哪一个面看，都有两个
直通的边长为1的正方形孔．今要将该模型所有的面都涂上清漆，则清漆所涂的面积为（ ）
A B
图
5
4．
Ａ．210 Ｂ．222 Ｃ．234 Ｄ．258 15．体育管理员为加强体育器械的管理，订做了一个半径为2R ，高为20R 的圆柱形铁筐（既有盖也有底），用来盛放半径为R 的篮球，则该筐最多可放篮球（ ） Ａ．24个 Ｂ．25个 Ｃ．26个 Ｄ．27个 16．一种电文其发送过程如下：
()
−−−−→→−−−→→−−−−−→ (密钥)
加密方法
传输解密方法(密钥) 电文明文密文发电机收报机密文电文． 加密的方法为：利用模2的同余式运算00110+=+=，01101+=+=． 例如：明文为010********
密钥为10101010101（是周期为2的流密码） 则密文为11100011001
若采用该加密方法得到的密文为11001000101，则解密后明文应为（ ） Ａ．01100010000 Ｂ．10011101111 Ｃ．00110111010 Ｄ．01101100101 三、解答题（每小题20分，共40分）
17．一个演示动点B C ，与动的正三角形ABC 关系的Flash 课件（如图7所示）：其中动点B 在直径为2的半圆上移动，O A ，为不动点且2OA =，你能判断出B 点运动到什么位置时，四边形OACB 面积最大吗？最大面积是多少？
18．红旗大街的十字路口是对称且宽度一致的，其相关数据如图8所示（绿线为停车线），为确保交通安全与畅通，当东西方向的红灯亮时，南北方向的绿灯要经过若干秒后才亮，即当绿灯时最后一秒驶出来的骑车人不与另一方向绿灯亮时驶出来的机动车相撞．一般情况下过十字路口时自行车车速为4m/s ，机动车车速为8m/s ，则红绿灯的时间差t 如何设置才符合要求．
四、开放题（本题30分） 19．我国《体育法》规定，国家对优秀运动员和教练员实行奖励．雅典奥运会上中国体育代表团荣获32枚金牌，取得世界排名第二的好成绩，国家体育总局为雅典奥运会制定的奖励标准为：冠军20万元、亚军12万元、季军8万元．其中奥运冠军的奖金推算公式为：奥运冠军国家奖金额＝当年全国职工平均工资⨯（上届奥运会奖励人均工资相对强度＋奖金相对强度增长率⨯N 年）［ N ＝公元年数－2000，奖金相对强度增长率是从1984年至2000年奖金相对强度的增长率；据悉，悉尼奥运会冠军奖金是15万元，奖金相对强度为16.00；洛杉矶奥运会冠军奖金是6000元，奖金相对强度为8.90；2004年全国职工的平均工资额为12261.37元．］请你联系实际分析奥运冠军奖金的推算公式是否合理．尝试设计一个奥运冠
机动车 图8
图
7
A
军奖金推算公式，并给出你的设计依据．
五、附加题（本题50分）
20．动手实践作品展示．
1．作品形式：小发明、小创造、小模型、小程序、小课件、研究报告以及小论文等（凡属于运用数学知识、方法、思想，并通过动手、动脑具体操作或借助计算机技术，来完成的原创作品均可）；
2．作品要求：附相关实物、图形、文字说明以及相关报道、评价等．
第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题（Ｂ）卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．1(22
-，
2>
22
22
1212()()n n n n a b a a a b b b ++>++
+++++（1212n n a a a b b b ，，，，，，，都为正数）
3．22
d
4．5000 5．
6．2N m n =+-
7．②④⑤
8．北偏东(
arcsin 4π+，42a 海里／小时 二、填空题（每小题5分，共40分）
9．Ｂ 10．Ａ 11．Ｂ 12．Ｃ 13．Ｂ
14．Ｂ
15．Ｃ
16．Ａ
三、解答题（每小题20分，共40分）
17．解：设AOB α∠=，则由21OA OB ==，，
依余弦定理，得2
2
2
2cos 54cos AB OA OB OA OB αα=+-=-， ············ （6分）
24cos )ABC S AB α=
=-△．1
sin sin 2
AOB S OA OB αα==△． ··· （12分）
sin 2sin(60)2OACB AOB ABC S S S ααα=+=
+=-+△△四边形≤ （当150α=时，等号成立）． ····························································· （18分）
故当150α=时，四边形OACB 的面积最大，最大面积为2+． ·········· （20分） 18．316m n t +≥
（视交通情况，t 适当大于316
m n
+较为合理）．
提示：12C C 到FG 的距离为22
m n m n
n -++=
． ···································· （3分）
由红绿灯时间差为t 秒，设骑车人从12C C 线到k 线时另一方向绿灯亮，此时骑车人前进距
离为4t ，k 线到FG 线距离为42
m n
t +-． ·
··········································· （8分） 骑车人从k 线到FG 线需要的时间为1(4)428
m n m n
t t ++-=-秒， ·
··········· （13分） 12D D 到EF 线距离为2
m n
-．
机动车从12D D 到EF 需要的时间为18216
m n m n
--=
秒． ························· （18分） 由题意知：骑车人通过FG 线比机动车通过EF 线要早一些才行， 816m n m n t +--∴≤
，即316
m n
t +≥． ················································ （20分） 四、开放题（本题30分）
19．提示：信息筛选处理能力，要求出奖金相对强度增长率：
16.008.90
0.4416
-=．
·············· （5分） 2004年冠军奖金12261.37(16.000.444)21.7=⨯+⨯=万元． ··················· （10分） 设计的公式科学严谨，其依据合情合理、有理有据即可酌情给分． ·············· （20分） 分析过程：（可结合运动员的运动生涯与经济增长、工资增长幅度、个人投入、国家投入等因素，分析合理即可）． ······································································ （30分）
机动车
C C。