高等数学(重庆专升本及高职高专)5.3换元法与分部积分法

∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
b a
例7. 计算
解:
原式 = x arcsin x
1
2
1 2
00
x dx 1 x2
π
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
π
(1
1
x2)2
1 2
12
0
π 3 1 12 2
例8 计算 0 xsin xdx
解 0 xsin xdx 0 xd(cosx)
[ xcos x]0
a
0[ f (x) f (x)]dx
令 x t
f (x) f (x)时
f (x) f (x)时

例 4. 计算 2 sin3 xcos xdx 。 0
解. 解法一 令 sin x t ，则 dt cos xdx ，
x 0 t 0 ；x t 1。
2
原式
1 t 3dt
当 x 0 时, t 0;
x
a
时,
t
π 2
.
π
∴
原式
=
a
2
2 0
cos
2
t
d
t
y y a2 x2
a2 2
π
2 0
(1
cos
2
t)
d
t
a2 (t 1 sin 2t )
π 2
22
0
O ax
例2. 计算
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
1 ex
2
dx
ln 3
1 ex
2
d
1 ex
0
0
1 3
1 ex
3
ln 3
0
64 3
8 3
56 3
；
(2)
2
1
ln x x
2
dx
2
1
ln
x
2d
ln
x
1 3
ln
x
3
2 1
1 ln
3
23
。
例 6. 计算(1)
2
x8
sin
xdx
;
2
(2)
1 1
2 x cos x dx 。 1 x2
解.
(1)
等
學
高
數
第五章 定积分及其应用
第三节 换元法和分部积分
目录/Contents
第三节 换元法和分部分
小结
02
定积分的换元法
01 定积分分部积分 03
04
练习
一、定积分的换元法
设函数
单值函数
1) (t) C1[ , ], ( ) a , ( ) b;
2) 在[ , ] 上
满足:
则
(t) (t)
令u t π
是以 为周期的周期函数.
2. 设 f (x)在 [a,b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a) f (b) 0, 试证
证：右端
1 2
b a
(
x
a)(
x
b)
d
f
(
x)
分部积分
1 (x a)(x b) f (x) b
2
a
1 2
b a
f
( x)(2 x
a
b) dx
再次分部积分
因为
f (x)
x8 sin x
在对称区间
2
，
2
上是奇函数，故
2
x8
sin
xdx
0
。
2
(2) 原式 1
2
1 x cos x
dx
dx
1 1 x2
1 1 x2
偶函数
奇函数
1
4
1 dx 4arcsin x1 2 。
0 1 x2
0
二、定积分的分部积分法
设u(x), v(x) C1[a , b] , 则
2
换元积分法 基本积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
1. d xsin100 (x t) d t _s_in_1_0_0_x__ dx 0
提示: 令 u x t , 则
xsin100(x t) d t 0
sin100 u
二、求下列定积分
备用题
1. 证明 证：
是以 为周期的函数.
cos xdx
0
[sin x]0
例9 计算
1
e
x dx
0
解 令 x t2(t 0), 则 dx 2tdt, 且当 x 0时，t 0; 当x 1时，t 1。
1 e
0
xdx 2 1 tetdt 0
=2
1 xe xdx
0
201 xd
(ex
)
2([xex
]1 0
01e x dx)
(t) (t)
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
(t) (t)
(t) d(t)
配元不换限
例1. 计算
解: 令 x asin t , 则 dx a cost d t , 且
1 (2x
2
a
b)
f
(x)
b
a
b
a
f
(x) dx
=
左端
0
1 4
t
4
1
0
1 4
。
解法二 2 sin3 x cos xdx 2 sin3 xd sin x
0
0
1 sin4 x 2 1 。
4
04
例 5. (1) ln3 ex (1 ex )2 dx ；(2) 2 (ln x)2 dx 。
0
1x
解. (1)
e ln 3 x