2005年高考理科数学试卷及答案(江西)

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2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第I 卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33
4R V π=
次的概率k n k
k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ I B ）= （ ）
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{2}
D ．{0，1，2}
2．设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x = （ ）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
3． “a =b ”是“直线相切与圆2)()(22
2
=++-+=b y a x x y ”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有 （ ）
A ．4项
B ．3项
C ．2项
D ．1项
5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）
A ．周期函数，最小正周期为
3
π B ．周期函数，最小正周期为3
2π
C ．周期函数，数小正周期为π2
D ．非周期函数
6．已知向量的夹角为与则若,2
5
)(,5||),4,2(),2,1(=
⋅+=--= （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
7．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示
))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中
)(x f y =的图象大致是
（ ）
8．=--=--→→)22(1
lim ,11
)1(lim
11
x f x x x f x x 则若
（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－
2
1
D ．
2
1 9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD
的外接球的体积为 （ ）
A ．
π12
125
B ．
π9125 C ．π6125
D ．π3
125
10．已知实数a , b 满足等式,)3
1()21(b
a =下列五个关系式
①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b
④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能．．．成立的关系式有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=
θ
（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A ．
56
1 B ．
70
1 C ．
336
1 D ．
420
1
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上. 13．若函数)2(log )(22a x x x f n ++
=是奇函数，则a = .
14．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->-+≤-- .
15．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，
AB=BC=2，BB 1=2，
90=∠ABC ，
E 、
F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 . 16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(2
1
+=则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）设k>1，解关于x 的不等式；x
k
x k x f --+<2)1()(
18．（本小题满分12分）
已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),4
2tan(),42sin(2()),42tan(,2cos
2(令π
ππ. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.
19．（本小题满分12分）
A 、
B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AD 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
.
21．（本小题满分12分）
已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,2
1
,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 22．（本小题满分14分）
如图，设抛物线2
:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题 13．
2
2
14．23 15．
223 16．③④ 三、解答题
17．解：（1）将0124,32
21=+-+==x b
ax x x x 分别代入方程
得 ).2(2)(,218416939
2≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+x x x x f b a b
a b
a 所以解得 （2）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x
①当).,2(),1(,21+∞⋃∈<<k x k 解集为
②当);,2()2,1(0)1()2(,22
+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.
18．解：)4
2tan()42tan()42sin(2cos
22)(π
ππ-+++=⋅=x x x x x f 12cos 22cos 2sin 22
tan
11
2tan 2tan 12tan 1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x x x x x x x
.cos sin x x +=
x
x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:
,0)()(-++='+='+即令
.0cos 2==x
.0)()(],,0[2
,2
='+∈=
=
x f x f x x 使所以存在实数可得ππ
π
19．解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：
.
9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m
（2）;64
5)21(2)7(;161322)21(2)5(7
155=====
⨯==C P P ξξ .
32275
6455964571615;64
55
6451611)9(=⨯+⨯+⨯==--
==ξξE P
20．解法（一）
（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E
（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2
121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=
∆∆BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3
1
31111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=
∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D
（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x
,,,1,.
1,4
,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=
∠∆中在中在中在 π
.
4
,32.
32543.54,3122π
的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆
解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0） （1）.,0)1,,1(),1,0,1
(,1111D DA x D ⊥=-=所以因为
（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，
)1,0,1(1-=AD ，设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,
0,
01AD n 也即⎩⎨
⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c
a b
a 2，从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距离为
.3
1
32121=-+=
=
h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x
由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,
0,01x b a c b C D n 令b=1, ∴c=2,a =2－x ，
∴).2,1,2(x n -= 依题意.22
5
)2(2224
cos
211=+-⇒=
=
x π
∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π. 21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，,2
3)4(21,10010=-=
=a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a 则)4(2
1
)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=
-+=--+时 ).4)((2
1
)
)((2
1
)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----
而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a
又.2])2(4[2
1
)4(2121<--=-=
+k k k k a a a a
∴1+=k n 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，,2
3
)4(21,10010=-=
=a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，
令)4(2
1
)(x x x f -=
，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(22
1
)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a
也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([2
1
)4(2121+--=-=
+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a a
n
n n n n n n n n b b b b b a b 222121
22222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)2
1(22,)21(---=+=-=n
n n n n b a b 即 22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112
0x x x x x x ≠和，
∴切线AP 的方程为：;022
00=--x y x x
切线BP 的方程为：;022
11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101
0,2
x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为 P P
G x x x x x =++=
3
10，
,3
43)(332
1021010212
010p
P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=
所以2
43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：
).24(3
1
,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即
（2）方法1：因为).4
1,(),41,2(),41,(2
1
11010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA
由于P 点在抛物线外，则.0||≠
∴||41)1)(1(||||cos 102
010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +
=--+⋅+==
∠
同理有||41)1)(1(||||cos 102
110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +
=--+⋅+==
∠ ∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2
(
1
x ，则P 点到直线AF 的距离为：,41
4
1
:;2||1
2111x x x y BF x d -=-=
的方程而直线
即.04
1
)41(112
1=+
--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|
|)41()()4
1(|42)41(|121
1
212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=
所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.
②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04
1)41(),0(041
41002002
0=+-----
=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04
1)41(),0(041
411121121=+-----
=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：
2||41)
41)(2|)4
1(|41)2)(41(|1020
2010202200120102
01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=
+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2
|
|012x x d -=
，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.。