2020-2021学年人教B版必修四 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算教案

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、目标分析
充分的小组探究、合作、展示以及对角度制、弧度制各有优点的诠释，培养学生直观想象、数学运算、数据分析的学科核心素养以及理性思维、批判质疑、勇于探究的文化基础的学生发展核心素养。

1、知识与技能
（1）理解1弧度的角及弧度的定义。

（2）掌握角度与弧度的换算公式。

（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。

（4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。

2、过程与方法
通过不同圆中相等圆心角对应的弧长与半径的比值的关系引入弧度的概念；比较两种度量角的制度探究角度制与弧度制之间的互化；小组内充分的开放式问题的讨论使学生掌握扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。

3、情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。

二、教材及内容分析
本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4第一章第一单元第二节内容。

学生在初中已经学过角的度量单位“度”，且在上节课学习了任意角
的概念，已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决不同的问题带来方便；该课的知识还为之后学习任意角的三角函数等知识埋下了铺垫，因此本节课起着承上启下的作用。

通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数，且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。

同时，通过本节课的学习，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。

三、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：
重点：1、理解并掌握弧度制的定义。

2、熟练的进行角度与弧度的相互转换。

3、弧长公式、扇形面积公式的应用。

难点：弧度的概念的理解。

四、学情分析
学生在初中已经学过角的度量单位“度”，且在上节课学习了任意角的概念，已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决不同的问题带来方便。

所以寻找另一种度量角的的制度成为学生学习本节课的内在动机。

五、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习、合作学习的形式，让学生感受弧度制的优越性。

教学用具:多媒体、大卡、纸带。

六、教学过程
1．问题引入
班级需要订制条幅，由于手中没有米尺，无法直接对其理想的长度进行度量。

于是，换了一种度量方式，把理想的长度平移至地面上，约为22块地砖的边长，最终估计出条幅的理想长度约为5米。

不同的事物可以有不同的度量方式，引入度量角的另外一种区别于角度制的制度—弧度制。

2．探索新知
〈一〉弧度制的定义
问题一：能否只用 l 度量角的大小？
问题二：在大小不同的两个圆中当 l 与 r 的比值相等时，圆心角相等么？ 转化为：在大小不同的两个圆中取相等的圆心角，对应的 l 与 r 的比值相等么？
【学生合作】
作两个半径不同的同心圆。

取相同的圆心角。

尽可能用纸袋准确的测量r 1、r 2、l 1、l 2的长度。

比较l 1与r 1的比值和l 2与r 2的比值。

（在大卡上完成）
结论：我们可以用弧长与半径的比值来度量一个角的大小。

1、以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad 。

2、用弧度制表示角度的大小时，可以省略单位。

l r
α=
3、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0,这样角的集合与实数集R 就建立起一一对应关系。

〈二〉角度与弧度的换算
【学生思考】
思考1：我们知道周角是360°，那么以弧度为单位度量是多少弧度？
360°=2πrad
180°=πrad
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad 等于多少度？
【习题讲解】 P11练习A —2（1）、3（1）
【巩固练习】
练习1：P11练习A-2、
3
练习2：特殊角的角度数与弧度数的转化：
〈三〉扇形的面积公式
如何借助本节课的知识完成扇形的面积公式的证明。

【学生合作】
擦去小圆
01180rad
π=0
0180157.30rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
标记 S、l、r
证明：S＝1
2l r
在大卡上完成证明过程
（提示：圆心角的大小是多少？）
【学生展示】
方法一：角度数与角度数的比即面积与面积的比。

方法二：弧度数与弧度数的比也是面积与面积的比。

（进而体会弧度制的优越性）
【巩固强化】
1、已知半径为120mm的圆上，有一条弧长为144mm，求此弧所对圆心角的弧度数。

2、圆的半径为1，所对圆心角为3弧度的弧长。

3、用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的取值范围．
4、课堂小结
本节课主要学习了弧度制的概念，弧度制与角度制的互化，以及弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；弧度制与角度制的区别；借助平昌冬奥会完成对角度制普适性的阐释。

5、课后作业
七、课后反思
1、在教学过程中有几个问题值得注意：
（1）学生可能会出现计算错误、弧度与角度混用的情况，应及时纠正和强调规范化书写。

（2）用弧度为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把它写成小数，但应明确这里的π依然是一个实数。

2、本课设计有以下几点值得借鉴：
（1）本课设计时通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的
优越性，但同时认同角度制的普适性。

（2）本课设计时考虑了学生在学习中最可能出现的各种情况，并采用合理方式进行引导、解决。

（3）公式的讲授系统化，重视概念的形成，公式的推导、形成过程与运用方法，使学生在理解的基础上运用，在运用的过程中掌握，教会学生学会学习、活学活用，充分体现了教学中教师的主导作用和学生的主体地位。

（4）本节课用贯穿始末的小组探究、合作、展示，以及具体事例，让学生充分体会：数学是有用的，数学是清楚的，数学是自然的；弧度是有用的，弧度是清楚的，弧度是自然的。