安徽省淮北市第一中学2016届高三最后一卷理数试题 含解析

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

）
1. 若复数z 满足()112
i z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ )
A ．12
i - B ．12
i C ．12
- D ．12
【答案】C
考点：复数的运算，复数的概念． 2。

命题“0
0,10x R x ∃∈+<或2
000x x ->”的否定形式是(
）
A ．0
0,10x R x ∃∈+≥或2
000x x -≤ B ．,10x R x ∀∈+≥或2
0x
x -≤ C ．0
0,10x
R x ∃∈+≥且2000x x -≤
D ．,10x R x ∀∈+≥且2
0x
x -≤
【答案】D 【解析】
试题分析：命题“0
0,10x
R x ∃∈+<或2
000x x ->”的否定形式“,10x R x ∀∈+≥且
20x x -≤"．故选
D ．
考点：命题的否定．
3. 已知()1sin cos ,0,2
αααπ+=∈，则1tan 1tan αα
-=+（ ）
A ．7-
B 7
C 3
D ．3-
【答案】A 【解析】
试题分析：2
1
(sin cos )
4αα+=
，3sin cos 8
αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27
(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=
，7cos sin 2
αα-=-, 所以7
1tan cos sin 2711tan cos sin 2
αααα
αα
-
--==
=-++．故选A ．
考点：同角间的三角函数关系． 4. 设函数()2
19ln 2
f x x
x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范
围是（ ）
A ．12a <≤
B ．4a ≥
C ．2a ≤
D ．03a <≤ 【答案】A
考点：函数的单调
性．
5。

已知随机变量()2,4X N ，随机变量31Y X =+，则（
）
A ．()6,12Y
N
B ．()6,37Y N
C ．()7,36Y N
D ．()7,12Y
N
【答案】C 【解析】
试题分析：27X Y =⇒=，2
2()4()9436σX σY =⇒=⨯=，因此(7,36)Y N ．故选C ．
考点：正态分布． 6.
若P 在双曲线22
11620
x y -=上，1F 为左焦点,1=9PF ，则2PF =（
）
A ．1
B ．1或17
C ．41
D ．17 【答案】D
【解析】
试题分析:4a =，6c =，若P 在双曲线右支上，则110最小值
PF a c =+=9>,因此P
在双曲线的左支上，所以2
128PF PF a -==，217PF =．故选
D ．
考点：双曲线的定义．
7。

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍，
其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥
的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式2
136
V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近 似取为3，那么近似公式2
275
V L h ≈，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A ．227
B ．258
C ．15750
D ．355113
【答案】B
考点：圆锥的体积．
8. 淮北一中有5名优秀毕业生到市内一所初中的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名同学的不 同分派方法种数为（ )
A ．150
B ．180
C ．200
D ．280 【答案】A 【解析】
试题分析：22333
533531502
C C A C A +=．
考点：排列组合的综合应用．
【名师点睛】解决分组分配问题的策略
1．对于整体均分,解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况,所以分组后一定要除以A错误!(n为均分的组数)，避免重复计数．
2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
3．对于不等分组，只需先分组,后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
9. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S的值为（）
A．1
8B．1
2
C．1
4
D．1
【答案】D
考点：程序框图，
周期数列． 10. 现定义cos sin i e
i θ
θθ
=+，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数,R θ∈，
且实数指数幂的运算 性质对i e θ
都适用，若0
52324
4555cos cos sin cos sin a C
C C θθθθθ
=-+，143235
5555cos sin cos sin sin b C C C θθθθθ=-+，那么复数a bi +等于(
）
A ．cos5sin 5i θθ+
B ．cos5sin 5i θθ-
C ．sin 5cos5i θθ+
D ．sin 5cos5i θθ- 【答案】A 【解析】 试题分析:0
523244143235
55
55555cos cos sin cos sin (cos sin cos sin sin )a bi C
θC θθC θC θθC θθC θi +=-++-+
05142322323344455
5555555cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin C θC θi θC θi θC θi θC θi C i θ=+⋅+⋅+⋅+⋅+
5(cos sin )cos5sin5θi θθi θ=+=+．故选A ．
考点：复数的运算，二项式定理．
11。

如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( ）
A ．43
B ．43
C ．83
D ．2
3
【答案】C
考点:三视图，体积．
【名师点睛】象这种画在方格纸中的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体）,在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图． 12. 已知实数a b c <<，设方程
1110x a x b x c
++=---的两个实根分别为()1212,x x x x <，则下列关系
中恒成立的是( ） A ．1
2x
a b x c <<<< B ．1
2
a x
b x
c <<<< C ．1
2
a x x
b c <<<< D ．1
2a x
b c x <<<<
【答案】B 【解析】 试题分析：方程111
0x a x b x c
++=---可化为()()()()()()0x a x b x a x c x b x c --+--+--=，记
()()()()()()()f x x a x b x a x c x b x c =--+--+--,这是二次函数，又()()()0f a a b a c =-->，
同理()0f b <，()0f c >，由二次函数的图象知必有1
2
a x
b x
c <<<<．故选B ．
考点：二次函数的图象与性质．
【名师点睛】二次函数与一元二次方程，一元二次不等式常称为“三个二次”问题，在研究它们三者之一的问题时，常考虑三者之间的相互联系，借助这种联系而解题，解题时二次函数的图象起到重要的桥梁作用．
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（本大题包括4小题,每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13.
若变量,y x 满足约束条件4y x
x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =+的最小值为—6，则
k =_______________．
【答案】－2
考点：简单的线性规划问题．
14。

如图,为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角
060MAN ∠=,C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已
知山高
100BC m =，则山高MN =__________m ．
【答案】150
考点：解三角形的应用． 15。

数列 {}n
a 中，()1
1126,212n n n a a
a a n n n
--=-=
++≥，则此数列的通项公式n a =___________．
【答案】()()1
121n n ++-
【解析】 试题分析：由11221n n n a a
a n n ---=
++得1211n n a a n n -=++,所以112(1)1n n a a n n -+=++,又1142
a
+=,所以{1}1n a n ++是等比数列，所以1114221
n n n a n -++=⨯=+,即1(1)(21)n n a n +=+-．
考点:数列的递推公式，等比数列的通项公式． 【名师点睛】已知数列的递推公式1(1,0)n
n a pa q p q -=+≠≠，我们可以把它
配成一个等比数列：设1()n n a
x p a x -+=+，由此可求得1
q
x p =
-，只要101q a p +
≠-，则新数列{}1n q a p +-是等比数列，从而易求得通项公式． 16.
P 为椭圆22198
x y +=上的任意一点，AB 为圆()22:11C x y -+=的任一条直
径，则PA PB 的取值范
围是____________． 【答案】[]3,15
考点：向量的数量积，椭圆的性质．
【名师点睛】求向量数量积的取值范围,要把数量积用一个变量表示出来,本题中，表面上点,,P A B 都在变化,仔细观察,发现AB 是圆的直径，其中点为圆心(1,0)C 是不变的,而且由向量的加法运算,有PA PC CA =+，
PB PC CB =+，,CA CB 是模为
1的相反向量，因此由数量积的运算法则得
PA PB ⋅2
1PC =-,此时变化的只有一个点P ，根据椭圆性质可很快得结
论．这题提醒我们在一个变量很多的问题中,一定隐藏着不变量，解题时要善于寻找到这个不变量，减少变量的个数．
三、解答题 （本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负
半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,42ππα⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，
将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3
π，交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于点C ；
（1）若点A 的纵坐标为
3
2
，求点B 的横坐标； （2）求AOC ∆的面积S 的最大值； 【答案】（1）12
-；（2)13
8
+
（2）因为
1,sin ,32OA OC AOC ππαα⎛
⎫==+∠=- ⎪⎝
⎭,．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
所以11sin sin sin 2
232S OA
OC AOC ππαα⎛⎫⎛⎫=∠=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
113
sin cos 22113sin cos cos 222αααααα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
113cos 2sin 22422αα⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
1133sin 2cos 2422813sin 243ααπα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
分
又,42ππα⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
，所以542,3
63πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭
，所以当5236
ππα+=， 则4
πα=时，sin 23πα⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭
取得最大值12
，所以S 的最大值为13
8
+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：三角函数的定义，两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的性质．
18。

（本小题满分12分)
如图所示，在四棱柱111
1
ABCD A BC D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ,侧面
11ABB A 为菱形,1DAB DAA ∠=∠．
（1）求证：1
A B AD ⊥；
(2）若0
1
AD=AB=2BC,A 60AB ∠=,点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1
A B 的中
点，求平面1
1
DCC D 与平面11
ABB A 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1）证明见解析;（2)3
9331
试题解析:（1）因
为侧面1
ABB A 为菱形，所以1
AB AA =
,又1
DAB DAA ∠=∠，所以
()
()1111111A cos cos cos cos 0
A B AD A AB AD A A AD AB AD A A AD DAA AB AD DAB AB AD DAA AB AD DAA π=+=+=-∠+∠=-∠+∠=，
从而1
A B AD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
考点:用向量法证明
线线垂直、求二面角．
【名师点睛】（1）恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直以及求空间角、距离的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
（3)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直,平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．(4)求二面角，只要先求得两平面的法向量,两法向量的夹角与二面角相等或互补．
（5)求直线与平面所成角，利用直线与平面的法向量的夹角与线面角互余可得．
证明线线垂直，也可直接利用空间向量基本定理，证明两直线的方向向量的数量积为0．
19。

（本小题满分12分)
由于全力备战高考，造成高三学生视力普遍下降，现从我市所有高三学生中随机抽取16名学生，经医生用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如下：
(1）指出这组数据的众数和中位数;
（2)若视力测试结果不低于5。

0则称为“好视力”，求医生从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计全市的总体数据,若从我市考生中(人
数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．
；（3）分布列【答案】（1)众数:4.6和4。

7；中位数；4。

75；（2）121
140
见解析，期望为0.75．
考点：茎叶图，众数,中位数,古典概型，随机变量分布列与数学期望．
20。

已知抛物线C的标准方程为()
220
=>，M为抛物线C上一动点，
y px p
()()
,0,0
A a a≠为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为
∆的面积N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON
为18．
（1）求抛物线C 的标准方程； （2)记11
t AM AN
=
+,若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”,
试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由． 【答案】（1)2
12y x =；
（2）稳定点为(3,0)A ． 【解析】
试题分析:（1)由已知MN 为通径，因此2MN p =，由18OMN
S
∆=可求得6p =；
（2)定点问题处理，设()()1
1
2
2
,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my a =+，代入抛物线方程,由韦达定理得1
2
12
,y y y y +，
计算2212
111111t AM AN m y m y =
+=+++1
221211y y y y m +=⋅+，按0a >和0a <分类后讨
论可得a 取特定值时t 与m 无关，即A 为稳定点．
②0a >时，∵12
120y y
a =-<,∴12,y y 异号．
又2212
1111
11t AM AN m y m y =+=+++，
∴()
()
()()
2
2
2
1212122
2
22
2222212121141111444813
11111441a y y y y y y m a t
m m m a a m y y y y ⎛⎫
- ⎪-+-+=
===+ ⎪++++ ⎪⎝⎭
, ∴仅当1103
a -=，即3a =时，t 与m 无关,稳定点为
(3,0)A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【备注：此题第2问若证明焦点满足给4分!】
考点：抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系．
【名师点睛】在解析几何中,求直线上两点间距离，可利用直线的斜率简化距离公式:1
1
2
2
(,),(,)P x y Q x y 是直线y kx m =+上的两点，则
212122
1
11PQ k x x y y k =+-=+
-，而21
2
1212
()4x x
x x x x -=+-，只要利用韦达定理
就可得．
21。

已知函数()()2
ln 2
a f x x x x a R =-∈．
(1）若2a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()()g x f x x =-有两个极值点1
2
,x x ，求证：
12
112ln ln ae x x +>． 【答案】（1）y x =-，（2）证明见解析．
（2）
()()1ln g x f x x ax ''=-=-,函数()()g x f x x =-有两个相异的极值点12,x x ，即()ln 0g x x ax '=-=有两个不同的实数根．
①当0a ≤时，()g x '单调递增，()0g x '=不可能有两个不同的实根；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 ②当0a >时，设()()1ln ,ax h x x ax h x x
-'=-=,
考点：导数的几何
意义，导数的综合应用．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，,A B 是圆O 上的两点，P 为圆O 外一点，连结,PA PB 分别交圆O 于点,C D ，且AB AD =,连结BC 并延长至E ，使PEB PAB ∠=∠．
（1）求证:PE PD =；
（2）若1AB EP ==，且0
120BAD ∠=，求AP ．
【答案】(1）证明见解析;（2）26AP +=
．
(2)因为
,ACB PBA BAC PAB ∠=∠∠=∠，所以ABC
APB ∆∆,则()2AB AP AC AP AP PC ==-，
所以()2
2AP
AB AP PC PD PB PD PD BD -===+，
又因为,1PD AB AB ==，所以2
223AP AB AB BD -==，
所以2
23AP
=26AP +=
．
考点：全等三角形的判定,切割线定理,相似三角形的判断与性质． 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩
(ϕ
为参数）．以O 为极
点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程;
（2)直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ⎛⎫
+= ⎪
⎝
⎭
，射线:3
OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长．
【答案】(1）2cos ρθ=；（2)2PQ =．
考点：参数方程与
普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标的应用．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()()21,2,,f x x a g x x m a m R =--=-+∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为—3． （1）求整数m 的值;
(2）若函数()y f x =的图象恒在函数()12
y g x =的上方，求实数a 的取值范
围．
【答案】(1）6m =；(2）(),4-∞．
学必求其心得，业必贵于专精
(2）因为()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方,故()()102
f x
g x ->， 所以213a x x <-++对任意x R ∈恒成
立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
设()213h x x x =-++，则
()313531311x x h x x x x x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
则()h x 在(),1-∞是减函数，在()1,+∞上是增函数,所以当1x =时，()h x 取得最小值4，
故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数()12
y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是
(),4-∞．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：解绝对值不等式，绝对值的性质，不等式恒成立．。