考研线性代数知识框架图
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考研线性代数知识框架图
()000,n
T A r A n A A A x x A x A A x A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i
A p p p p n
B A B E A B E
⎧⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间.
()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩特征向量
注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪
+=⇔+=⎨⎪⎩
0有非零解=-
⎫⎪
≅⎪−−−
→⎬⎪⎪⎭
具有
向量组等价
矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：
①称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量152p 教材； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.
12121211
12121222()
121
2
()
n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
=
=()
m n
A O A A O A B
O B O B B
O A A A B
B
O
B
O
*=
=*
*=-1
③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：
(1)
2
1121
21
1211
1()n n n
n
n n n n n n n a O a a a a a a a O a O
---*
=
=- 1
⑤范德蒙德行列式：()1
22
2
2
121
1
11
1
2
n i
j n n i j n n n n
x x x x
x x x x x x x ≥≥≥---=
-∏
111
由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表1112121
2221
2
n n
m m m n a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a
⨯=或m
n A ⨯
()
1121112222
*
12n T
n ij n
n
nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
，ij
A 为A 中各个元素的代数余子式.
√ 逆矩阵的求法:
① 1
A
A A *
-= 注： 1
a
b d b c
d c a ad bc --⎛⎫
⎛⎫=
⎪
⎪--⎝⎭
⎝⎭
1 ②1
()()A E E A -−−−−→ 初等行变换
③1
2
3
1
1112
13a a a a a a -⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
3
2
1
1
1112
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =
√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，
则
m s
AB C ⨯=⇔()()
111212122212121
2
,,,,,,s s
n s
n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⇔
i i
A c β= ，(,,)i s = 1,2⇔
i
β为
i
Ax c =的解
⇔()(
)
()121
2
12,,,,
,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅= ⇔1
2,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.
√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√ 分块矩阵的转置矩阵：T
T
T
T T A
B A
C C
D B
D ⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭