运筹学II练习题
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运筹学II 练习题
1 试判定下述非线性规划是否为凸规划：
（1）()22122
122
1212
8020,0Min f X x x x x x x x x ⎧ =++⎪-≥⎪⎨--+=⎪⎪≥⎩
（2）()222123122
2
122
13123
24510,,0Min f X x x x x x x x x x x x x ⎧ =++-⎪+≤⎪⎨+=⎪⎪≥⎩
（3） max 12()f x x =+X
22
12121..,0≤≥⎧+⎨
⎩x x s t x x
解 （1）()()()22122
1122
2121280
20,0
Min f X x x g X x x g X x x x x ⎧ =++⎪=-≥⎪⎨=--+=⎪⎪
≥⎩
()()()12,,f X g X g X 的海赛矩阵的行列式：
()()()()22211222221220
02
f X f X x x x H f X f X x x x ∂∂∂∂∂==
>0∂∂∂∂∂ ()()()()22112112122112
21
220
000
g X g X x x x g g X g X x x x ∂∂∂∂∂=
=
≥∂∂∂∂∂
()()()()22222112222222
21
20002
g X g X x x x g g X g X x x x ∂∂∂∂∂=
=≤0-∂∂∂∂∂ 知()f X 为严格凸函数，()1,g X 为凸函数，()2g X 为凹函数，所以不是一个凸规划问题。 （2）
()()()()()22212312'
2222
1121122
2131232440
510,,0
Min f X x x x x x g X x x g X x x g X x x x x x ⎧ =++-⎪=+≤⇔=-++≥⎪⎨=+=⎪⎪
≥⎩ 同上有()()()12,,f X g X g X 的海赛矩阵的行列式
410
12
0002
H -=->0
122
,0
g -=
-是凹函数，
210
00
g =
是凸函数，不是凸规划问题。
（3） min 12(())f x x -=--X
22
112213
2()1..()()g x x s t g x g x ⎧=--⎪
=⎨⎪=⎩X X X ≥0≥0
≥0
123
0020()0,()0,000200()()000f g g g ----⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
H X H X H X H X >≥≥
说明()f -X 是凸函数，1()g X 、2()g X 、3()g X 是凹函数。因此，本模型是一个凸规划。
2 试用斐波那契法求函数 ()2
32f x x x =-+
在区间[0，10]上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8%。（1.5）
1/12.5,6;00,010;5
10(00) 3.846;65
1'0(00) 6.154;
6
(1) 5.254;(1')21.409;(1)(1'),10;1 6.154;2' 3.846;4
21(11) 2.308;5
(2)0.403;(2)(2') 5.254;20Fn n a b F t b b a F F t a b a F f t f t f t f t a b t F t b b a F f t f t f t a δ≥=====-
-==+-===<====-
-==<==;2 3.846;3' 2.308;3
32(22) 1.538;4
(3)0.248(3')0.403;30;3 2.308;4' 1.538;2
43(33)0.769;3
(4)0.284(4')0.248;40.769;4 2.308;5 1.538;
1
5'4(44) 1.5382
b t F t b b a F f t f t a b t F t b b a F f t f t a b t F t a b a F ===-
-==-<=====-
-==>=-====+
-=
3 用分数法求2
()2=-+f t t t 在区间[1,3]-上的近似极小点，要求缩短后的区向长度不大于原区间长的8%。（0.538）
4 试用最速下降法求函数
()()2
21222f X x x =---
的极大点，先以()()00,0T X =为初始点进行计算，求出极大点；再以()()0
0,1T X =为初始点进行两次迭代。
最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程。（2，0）
解 求()()2
21222f X x x =---的极大点，即求()()2
2
1222g X x x =-+的极小点。 （1）取初始点()()0
0,0T X =，取精度0.1ε=
()()()
()
()()
(
)
()0122
2
022,4,4,0162004T
T
g X x x g X g X
H X ε
∇=-∇=-⎡⎤⎣⎦
∇=
=>⎛⎫= ⎪
⎝⎭