复旦大学《逻辑学》第5章

第五章复合命题
地描画——正确地或错误地——现实，必须与
现实具有共同的东西，这种形式就是逻辑形式，即现实的形式。

像弗雷格和罗素一样，我把命题看作是其中所包含
的式的函数。

——[奥]维特根斯坦《逻辑哲学论》
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主要内容
•联言命题
•选言命题
•假言命题
•负命题
•真值形式与真值函项
•真值表
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一. 概述
1、定义
复合命题（compound proposition）是古典命题逻辑的基本概念，指本身包含其他命题的命题，以联结词联结简单命题而成。

例1.人是生而自由的，但却无往不在枷锁之中。

——《社会契约论》例2.仓廪实而知礼节，衣食足而知荣辱。

——《管子》
例3.并不是我特别聪明，我只是比较执着于解决问题。

——爱因斯坦
2、复合命题的逻辑特征
（1）复合命题的基本单位是命题。

在复合命题中，原子命题成为“逻辑变项”，它们被称为“支命题”。

（2）支命题由逻辑联结词（“逻辑常项”）联结，不同的逻辑联结词具有不同的逻辑性质。

（3）复合命题的真假取决于支命题的真假组合和联结词的逻辑性质。

3、复合命题的种类
联言命题选言命题假言命题负命题
二. 联言命题
1、定义
联言命题（conjunctive proposition）指关于几种事物情况同时存在的复合命题。

例4.朱门酒肉臭，路有冻死骨。

——杜甫：《自京赴奉先县咏怀五百字》例5.李白和杜甫是唐朝人。

例6.空洞的理论是没有用的，不正确的，应该抛弃的。

2、逻辑形式
p并且q，读作“p并且q”。

p∧q，读作“p合取q”。

5、常用联结词
…并且…；…和…缺一不可；尽管（虽然）…但是…；
既…又…；不但…而且…；除了…还…。

6、需要注意的问题
逻辑学中的“并且”与日常用语中的“并且”不完全相同，后者不仅是对“并且”前后两命题的肯定，而且前后两命题在内容方面有联系，或递进，或转折，或并列，而在逻辑学意义上，这一点被抽象掉了。

不论p和q在内容上是否有相关性，只要p、q都为真，那么“p并且q”就为真。

例7.“1+1=2，并且，雪是白的”；
例8.“量力而行，尽力而为”和“尽力而为，量力而行”。

三. 选言命题
选言命题（disjunctive proposition）指断定几个事物情况中至少有一个事物情况存在的复合命题。

如果一个选言命题穷尽了所有的选言支，那么这个选言命题一定是真的；但一个真的选言命题，不一定穷尽所有的选言支。

根据选言命题的支命题之间的相容性，可把选言命题分为相容的选言命题和不相容的选言命题。

1、相容的选言命题（inclusive disjunctive proposition）
相容的选言命题指关于几种事物情况中至少有一种存在并且可以同时存在的复合命题。

例9.他或者是诗人，或者是画家。

例10.甲、乙、丙三人中至少有一人读过《红楼梦》。

例11.这次北京的会议很重要，或者你去，或者我去。

（1）逻辑形式
或者p，或者q
p∨q读作“p（相容）析取q”
2、不相容的选言命题（exclusive disjunctive proposition）
不相容选言命题指关于几种事物情况有并且只有一种事物情况存在的复合命题。

例12.“鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，……”
例13.美国在遭受“9.11”恐怖袭击后采取了这样的政策：“要么与我们站在一起去反对恐怖主义，那你是我们的朋友；要么不与我们站在一起，那你是我们的敌人。

”
例14.时任美国国防部长拉姆斯菲尔德在被记者问及恐怖大亨拉登下落时“愚蠢地”回答：“我们确切地知道他可能在阿富汗，或者在其他国家，或者已经死了。

”
例15.“他或者是工人，或者是干部”。

从逻辑值考虑，上述命题属于以下哪种情况？
A．无所谓真假。

B．真的。

C．假的。

D．或者是真的，或者是假的。

E．以上都不对。

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例16.大小行星悬浮在太阳系边缘，极易受附近星体引力作用的影响。

据研究人员计算，有时这些力量会将彗星从奥尔特星云拖出，这样它们更有可能靠近太阳。

两位研究人员据此分别做出以下两种有所不同的断定：一、木星的引力作用要么将它们推至更小的轨道，要么将它们逐出太阳系；二、木星的引力作用或者将它们推至更小的轨道，或者将它们逐出太阳系。

如果上述两种断定只有一种为真，可推出以下哪项结论？A.木星的引力作用将它们推至最小的轨道，并且将它们逐出太阳系。

B.木星的引力作用没有将它们推至最小的轨道，但是将它们逐出太阳系。

C.木星的引力作用将它们推至最小的轨道，但是没有将它们逐出太阳系。

D.木星的引力作用既没有将它们推至最小的轨道，也没有将它们逐出太阳系。

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四. 假言命题
假言命题（hypothetical proposition）指关于一个事物情况存在（或者不存在）是另外事物情况存在（或者不存在）的条件的复合命题。

假言命题由两个支命题组成，前面的条件简称为“前件”，后面的条件简称为“后件”。

形式逻辑不研究命题之间的内容联系，而只是从存在方面即命题的真假方面来研究命题之间的联系。

假言命题根据前后件之间联系的不同，可以分为：充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题。

1、充分条件假言命题（sufficient condition hypothetical proposition）
充分条件假言命题是指关于某一事物情况是另一事物情况的充分条件的命题。

充分条件，也称充足条件，指有事物情况p就有事物情况q，而没有p不一定没有q，p就是q的充分条件。

简言之，即：p对于q是“有之必然，无之未必不然”的条件关系。

充分条件假言命题常用的联结词是“如果，那么”，符号表达是“→”，在逻辑读作“蕴涵”。

在日常语言中，“蕴涵”有不同的含义，列举以下四种类型：
[逻辑蕴涵]例17.如果所有人都有死且苏格拉底是人，那么苏格拉底有死。

[定义蕴涵]例18.如果张某单身，那么他是未婚的。

[因果蕴涵]例19.如果把水加热到100摄氏度，那么水就会沸腾。

[决策蕴涵]例20.如果你赢了这场比赛，那么我奖励你一台笔记本电脑。

抽象出来这四种不同类型蕴涵的共同点，那就是否定前件真而后件假这一情况的发生。

（1）逻辑形式：如果p,那么q符号形式：p→q
（3）逻辑性质
一个充分条件假言命题为假，当且仅当，它的前件为真并且后件为假，也就是发生了（1,0）事件；否则，这个充分条件假言命题都为真。

（4）常用联结词
没有…，就没有…；只要…，就…；所有的…是…；
所有的…不是…；凡是…，…；一旦…，就…；
哪里…，哪里就…；倘若（假使）…，则（那么）…；
当…，就…；在…条件下，…。

（5）联结词的真正涵义
在有些语境中，联结词的表面涵义和真正涵义相分离，这时，必须把它们区分开来，并根据真正涵义来理解。

例21.你继续待在这里，并且你会后悔。

这个命题的真实意思并不是你真的会继续待在这里，而是一个假言命题“如果…那么…”。

如果它被理解成联言命题，那么它的意义就被歪曲了。

例22.我猜，汤姆的年龄“或者5岁，或者6岁”。

这个命题表面上是一个相容的选言命题，实际上是一个不相容的选言命题，因为根据同一标准的话，一个人不可能在同一个时间既是5岁又是6岁。

2、实质蕴涵与条件命题（material implication and conditional proposition）
实质蕴涵，亦称真值蕴涵，指用蕴涵符号“→”表示的命题之间的真假关系。

实质蕴涵只考虑蕴涵符号的前后件之间的真假关系，而不考虑前后件之间的推导关系。

换言之，实质蕴涵的真值完全由支命题的真值决定。

因此，从实质蕴涵的角度看，下面三个命题都是真的：（1）如果1+2=3，那么雪是白的。

（2）如果1+2=4，那么雪是白的。

（3）如果1+2=4，那么雪是黑的。

因此，p→q= ﹁(p∧﹁q) = ﹁p∨q。

实质蕴涵与充分条件假言命题之间的联系和区别
联系：两者都否定“前件真而后件假”情况的发生；前者是对后者的抽象化和一般化。

区别：
（1）内容上，前者不要求前件与后件之间的内容联系；后者则要求这一点。

（2）语义上，前者的真值与前后件的真值无直接关系，而与前后件的真值组合有关；后者的真值与前后件的真值有关。

（3）语用上，前者主要运用在逻辑和数学研究中；后者运用在日常实践中。

3、必要条件假言命题（necessary condition hypothetical proposition）
必要条件假言命题是指关于某一事物情况是另一事物情况的必要条件的命题。

如果没有事物情况p就没有事物情况q，而有p则不一定有q，那么p就是q的必要条件。

换言之，必要条件是指p对于q是“无之必不然，有之未必然”的条件关系。

例23.只有懂得奉献的人，才能获得真正的快乐。

（1）逻辑形式
只有p，才q符号形式：p←q
4、充要条件假言命题（necessary and sufficient condition hypothetical proposition ）
充要条件假言命题，即充分必要条件假言命题，指关于某一事物情况是另一事物情况的充分必要条件的命题。

充要条件，是指有事物情况p就有事物情况q，并且，没有p就没有q。

简言之：p对于q是“有之必然，无之必不然”的条件关系。

例24.人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。

（1）逻辑形式
p，当且仅当q符号形式：p↔q
例25．某校团委为了激励同学们的学习积极性，组织了学科竞赛。

甲、乙、丙、丁四人参加了数学竞赛。

有人猜测;（1）如果甲没有进入前四名，则乙进入前四名。

（2）如果丙没有进入前四名，则甲进入前四名。

（3）只有丁进入前四名，丙才进入前四名。

竞赛结果证实上述第一句话假，其余二句话真。

请问，下列哪项一定是真的？
A.甲和乙都进入前四名。

B.甲和丙都进入前四名。

C.乙和丙都进入前四名。

D.丙和丁都进入前四名。

E.乙和丁都进入前四名。

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五. 负命题
1、定义和形式
负命题（negation of proposition）指通过否定某个命题而得到的命题。

例26.并非胎生动物都是在水中生活的。

例27.并非如果天下雨，那么地面湿。

需要注意的是，负命题不同于否定命题。

负命题的逻辑形式：并非p；﹁p。

2、简单命题的负命题
并非SAP；并非SEP；并非SIP；并非SOP；
并非SaP；并非SeP
3、复合命题的负命题
并非（p并且q）
并非（或者p，或者q）
并非（要么p，要么q）
并非（如果p，那么q）
并非（只有p，才q）
并非（当且仅当p，才q）
并非（非p）
例28.并非甲、乙、丙三人都读过《红楼梦》。

六. 真值形式与真值函项
1、真值形式（truth-value form）
真值形式是对复合命题真值联系的刻画和反映，一般由联结符和命题变项组成。

写出复合命题真值形式的一般步骤是：首先，确定支命题，用相同的变项取代相同的命题，用不同的变项取代不同的命题；其次，分析复合命题中支命题之间的关系，代以相应的联结符。

需要注意的是，日常语言中有时联结词会被省略，我们在翻译时要将之补上。

例题：
29.只有数学和外语都及格，才能被录取为研究生。

首先用p表示“数学及格”，用q表示“外语及格”，用r表示“被录取为研究生”；然后找出其相应的联结词。

在这句话中，其前件的联结词为“并且”，整个句子主联结词为“只有……才……”，分别代以相应的联结符，那么就可以把这个语句符号化为：
(p∧q)←r
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2、真值函项（truth function）
（1）函数：y=f(x)
x称为自变项，f表示一定的运算法则，y是对应于x的函数f的值。

对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应。

（2）真值：在古典逻辑中，真值特指真和假两个值。

通常情况下，用“1”表示真，用“0”表示假。

（3）真值函项：亦称为“真值函数”，指一个函数的自变项取值是真值，并且它本身的取值也是真值。

3、真值形式的真值类型
真值形式的真值类型有三种：
（1）重言式：无论变项取何值，函项的值总为真。

如：﹁p→(﹁p∨q),p→(﹁q→p),﹁p∨p。

（2）偶真式：在某些变项取值组合下为真，在某些变项取值组合下为假。

如：p→(﹁p∨q),p→q,﹁p→(q∧r)。

（3）矛盾式：无论其变项取何值，函项的值总为假。

如：p∧﹁p,(﹁r∨q∨﹁q)→(p∧﹁p)。

真值联结符不是孤立的，它们之间可以相互表达。

用﹁和∨、﹁和∧、﹁和→都分别可以表达其他的真值算子，下面以﹁和∨为例来说明真值算子之间的相互表达关系：p∧q=﹁(﹁p∨﹁q)
p→q=﹁p∨q
p↔q=(p→q)∧(q→p)
真值函项和真值形式是两个不同的概念。

真值函项是真值形式的表达内容；真值形式是真值函项的表现形式。

同一个真值函项可以有多个不同的真值形式；不同的真值形式可以表示同一个真值函项。

七.真值表
1、定义
（1）真值表（truth table）是数理逻辑中定义符号算子并确定复合命题公式真假值的一种图表，在命题逻辑中起重要作用。

（2）真值表最早由弗雷格在《概念文字》中提出，作为命题演算的一般判定方法由皮尔士首创，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中对真值表方法也有论述。

（3）真值表是一种机械的判定方法。

运用真值表（以及下一章中的真值树），我们可以在有穷步骤内计算出一个有穷复合命题真值形式的真值情况。

3、真值表的作用
（１）运用真值表可以定义复合命题的联结词（算子）。

（２）运用真值表可以计算任一复合命题的逻辑值。

（3）运用真值表可以判定任一复合命题的真值类型（重言式、矛盾式或偶真式）。

（4）运用真值表可以分析任意两个复合命题之间的逻辑关系（矛盾、等值、反对或者蕴涵等关系）。

例34.请运用真值表的方法分析((p→q)∧﹁q)∧p和(p↔q)→(﹁p∨q)这两个真值形式之间的逻辑关系。

本章习题
1.单项选择题。

（1）古时候，某个国家里有两座城，一座“真城”，一座“假城”，“真城”的人只说真话，“假城”的人只说假话。

有一天，一个国外游客来到该国的一座城，他向遇到的一位该国国民提出一个问题，当该国民回答后，就明白了自己到的是“真城”还是“假城”。

以下哪项最可能是游客提的问题？
A.你是“假城”的人吗？
B.你是说真话的人吗？
C.你是说假话的人吗？
D.你是这座城的人吗？
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（2）以下关于某案件的四个断定中只有一个为真：①如果甲作案，则乙是同案犯；②作案者是丙；③作案者是甲，但乙没作案；④作案者是甲或丁。

请问，这一真的断定是哪一项？
A.①。

B.②。

C.③。

D.④。

（3）小张承诺：如果天不下雨，我一定去听音乐会。

以下哪项为真，说明小张没有兑现承诺？
I.天没下雨，小张没去听音乐会。

II.天下雨，小张去听了音乐会。

III.天下雨，小张没去听音乐会。

A.仅I。

B.仅II。

C.仅III。

D.I、II和III。

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（4）美国在遭受“9.11”恐怖袭击后采取了这样的政策：“要么与我们站在一起去反对恐怖主义，那你是我们的朋友；要么不与我们站在一起，那你是我们的敌人。

”
下面哪一项与题干中的表达方式最不相同？
A.有一则汽车广告：“或者你开凯迪拉克，那么你是富人；或者你根本不开车，那么你是穷人！”
B.以足球为职业的人只有两种命运：要么赢，那你是英雄，面对鲜花、欢呼、金钱、美女；要么输，那你是孬种、笨蛋，面对责难、愤怒、谩骂，打落牙齿往肚里吞。

C.如果一位老师有足够的能耐，他就能把笨学生培养合格；因此，如果他不能把笨学生培养合格，就说明他的能耐不够大。

D.要么坚持到成功，那么别人都说你厉害，有毅力；要么半途而废，那么别人都不认可你，说你没有能力。

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（5）许多国家首脑在任前并未有丰富的外交经验，但这没有妨碍他们做出成功的外交决策。

外交学院的教授告诉我们丰富的外交经验对于成功的外交决策是不可缺少的。

但事实上，一个人只要有高度的政治敏感、准确的信息分析能力和果断的个人勇气，就能很快学会如何做出成功的外交决策。

对一个缺少以上三种素养的外交决策者来说，丰富的外交经验没有什么价值。

如果上述断定为真，则以下哪项一定为真？
A.外交学院的教授比任前的国家首脑具有更多的外交经验。

B.具有高度的政治敏感、准确的信息分析能力和果断的个人勇气，是一个国家首脑做出成功的外交决策的必要条件。

C.丰富的外交经验，对于国家首脑做出成功的外交决策来说，既不是充分条件，也不是必要条件。

D.丰富的外交经验，对于国家首脑做出成功的外交决策来说，是必要条件，但不是充分条件。

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2.不定项选择题。

（1）当p∨q为假时，则以下哪些为真？
A.p∧q
B.p∨ q
C. p∧ q
D. (p←q)
（2）与“并非只有考上大学，才有出息”有矛盾关系的是哪几个？
A.如果有出息，就考上大学。

B.并非如果有出息，就考上大学。

C.如果考不上大学，则没有出息。

D.只有考不上大学，才没有出息。

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3.真值表应用题。

（1）用真值表计算下面公式的的逻辑值，并判定它们的真值类型。

①(p∧q∧r)∨﹁q
②p↔(p∨q)
③(p→q)→((q→r)→(p→r))
④(﹁p∨p)→(q∨﹁q)
（2）用真值表判定p→q、﹁p∨q和p∨﹁q之间的真假关系。

（3）用真值表判定是否存在方案同时满足以下三位领导的意见？
甲：如果派小张去考察，就必须同时派小赵去考察。

乙：只有小张去考察，小赵才能去考察。

丙：小赵和小张至少去一人。

285。