四川省内江市威远中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文科)试卷Word版含解析

2021-2021学年四川省内江市威远中学高二〔下〕期中数学试卷
〔文科〕
一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕.
1．某双曲线的方程为，那么该双曲线的离心率为〔〕
A．B．C．D．
2．椭圆+＝1上一点P到右焦点的距离是1，那么点P到左焦点的距离是〔〕A．2B．4C．2﹣1D．4﹣1
3．〔文〕假设a∈R，那么“a2＞a〞是“a＞1〞的〔〕
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，那么椭圆的标准方程是〔〕
A．+＝1B．+＝1
C．+y2＝1D．+＝1
5．到两定点F1〔﹣3，0〕、F2〔3，0〕的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹〔〕A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线
6．函数f〔x〕＝x+lnx，那么＝〔〕
A．2B．C．D．3
7．直线l过抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，假设AB 的中点到y轴的距离为1，那么p的值是〔〕
A．1B．2C．3D．4
8．函数f〔x〕的图象与直线x+2y﹣1＝0相切于点〔﹣2，f〔﹣2〕〕，那么f〔﹣2〕+f′〔﹣2〕＝〔〕
A．2B．1C．0D．
9．f〔x〕＝x2+3xf'〔1〕，那么f'〔2〕＝〔〕
A．1B．2C．4D．8
10．直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是〔〕
A．B．2C．D．3
11．双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．假
设|PO|＝|PF|，那么△PFO的面积为〔〕
A．B．C．2D．3
12．F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为〔〕
A．16B．14C．12D．10
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0〞的否认是．
14．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，那么
△F1PF2的面积是．
15．抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，那么抛物线上的点到该直线的最短距离．
16．点M〔1，﹣1〕和抛物线C：y＝x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B 两点，假设＝0，那么k＝．
三、解答题〔本大题共6小题，共70分〕
17．m＞0，p：〔x+1〕〔x﹣5〕≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．假设m＝5，p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求实数x的取值范围．
18．求适合以下条件的曲线的标准方程．
〔1〕a＝4，b＝5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；
〔2〕焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
19．曲线y＝x2，
〔1〕求曲线在点P〔1，1〕处的切线方程；
〔2〕求曲线过点P〔3，5〕的切线方程．
20．设直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．
〔1〕求实数b的取值范围；
〔2〕当b＝1时，求．
21．双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线
经过点，又知直线l：y＝kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
〔1〕求双曲线C的方程；
〔2〕假设，求实数k值．
22．椭圆C：〔a＞b＞0〕的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．
〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；
〔Ⅱ〕M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ 分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．
参考答案
一、选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕.
1．某双曲线的方程为，那么该双曲线的离心率为〔〕
A．B．C．D．
解：由双曲线方程可得：a2＝25，b2＝16，c2＝a2+b2＝41，∴．
应选：A．
2．椭圆+＝1上一点P到右焦点的距离是1，那么点P到左焦点的距离是〔〕A．2B．4C．2﹣1D．4﹣1
解：设椭圆+＝1上一点P到左焦点的距离为x，
∵点P到右焦点的距离是1，
∴1+x＝4，解得x＝4﹣1．
应选：D．
3．〔文〕假设a∈R，那么“a2＞a〞是“a＞1〞的〔〕
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解：∵a∈R，
当a2＞a时，即a＞1或a＜0，
a＞1不一定成立
当a＞1时，a2＞a成立，
∴充分必要条件定义可判断：
“a2＞a〞是“a＞1〞的必要不充分条件，
应选：B．
4．焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆C：x2+y2﹣2x﹣15＝0的半径，那么椭圆的标准方程是〔〕
A．+＝1B．+＝1
C．+y2＝1D．+＝1
解：∵x2+y2﹣2x﹣15＝0，
∴〔x﹣1〕2+y2＝16，
∴r＝4＝2a，∴a＝2，
∵e＝，∴c＝1，∴b2＝3．
应选：A．
5．到两定点F1〔﹣3，0〕、F2〔3，0〕的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹〔〕A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线
解：∵F1〔﹣3，0〕、F2〔3，0〕
∴|F1F2|＝6
故到两定点F1〔﹣3，0〕、F2〔3，0〕的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是以F1〔﹣3，0〕、F2〔3，0〕为端点的两条射线
应选：D．
6．函数f〔x〕＝x+lnx，那么＝〔〕
A．2B．C．D．3
解：根据题意，对于函数f〔x〕，有＝f′〔2〕，
又由f〔x〕＝x+lnx，那么f′〔x〕＝1+，那么有f′〔2〕＝1+＝；
应选：B．
7．直线l过抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝4，假设AB 的中点到y轴的距离为1，那么p的值是〔〕
A．1B．2C．3D．4
解：由题意设直线l方程：x＝my+，A〔x1，y1〕B〔x2，y2〕，
联立直线与抛物线的方程可得：y2﹣2my﹣p2＝0，所以y1+y2＝2m，x1+x2＝m〔y1+y2〕＝
2m2，
由|AB|＝4可得x1+x2+p＝4，即2m2+p＝4，
AB的中点的横坐标为m2，AB的中点到y轴的距离为1，
所以m2＝1，所以2+p＝4，解得p＝2，
应选：B．
8．函数f〔x〕的图象与直线x+2y﹣1＝0相切于点〔﹣2，f〔﹣2〕〕，那么f〔﹣2〕+f′〔﹣2〕＝〔〕
A．2B．1C．0D．
解：由题意，f′〔﹣2〕＝，
又﹣2+2f〔﹣2〕﹣1＝0，∴f〔﹣2〕＝．
那么f〔﹣2〕+f′〔﹣2〕＝．
应选：B．
9．f〔x〕＝x2+3xf'〔1〕，那么f'〔2〕＝〔〕
A．1B．2C．4D．8
解：根据题意，f〔x〕＝x2+3xf'〔1〕，其导数f′〔x〕＝2x+3f'〔1〕，
令x＝1可得：f′〔1〕＝2+3f'〔1〕，变形可得f′〔1〕＝﹣1，
那么有f′〔x〕＝2x﹣3，f'〔2〕＝2×2﹣3＝1；
应选：A．
10．直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是〔〕
A．B．2C．D．3
解：设抛物线上的一点P的坐标为〔a2，2a〕，那么P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；
P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝
那么d1+d2＝a2+1＝
当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2
应选：B．
11．双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．假设|PO|＝|PF|，那么△PFO的面积为〔〕
A．B．C．2D．3
解：双曲线C：﹣＝1的右焦点为F〔，0〕，渐近线方程为：y＝x，不妨P在第一象限，
可得tan∠POF＝，P〔，〕，
所以△PFO的面积为：＝．
应选：A．
12．F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为〔〕
A．16B．14C．12D．10
解：方法一：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，由图象知要使|AB|+|DE|最小，
那么A与D，B与E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l2过点〔1，0〕，
那么直线l2的方程为y＝x﹣1，
联立方程组，那么y2﹣4y﹣4＝0，
∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|DE|＝•|y1﹣y2|＝×＝8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，那么l2的倾斜角为+θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝
|DE|＝＝＝
∴|AB|+|DE|＝+＝＝，
∵0＜sin22θ≤1，
∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
应选：A．
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0〞的否认是∃x∈R，x2+x+1≤0．
解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否认是：
∃x∈R，x2+x+1≤0．
故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．
14．椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是1．
解：由椭圆定义，|PF1|+|PF2|＝2a＝4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|＝4a2＝16，
由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝12，
∴|PF1||PF2|＝2〔a2﹣c2〕＝2b2＝2，
那么△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|＝b2＝1．
故答案为：1．
15．抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，那么抛物线上的点到该直线的最短距离．【解答】解，由抛物线是一个二次函数，故转化为抛物线的切线与所给直线平行时，两平行线之间的距离，
∴y′＝2x，由直线x﹣y﹣2＝0可得该直线的斜率为1，
设切点为〔x〕，那么2x0＝1，
∴，切点为〔〕，
故切线方程为：y﹣＝〔x﹣〕即x﹣y﹣＝0，
∴d＝＝，
故答案为：．
16．点M〔1，﹣1〕和抛物线C：y＝x2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B 两点，假设＝0，那么k＝．
解：抛物线C：y＝x2的焦点F〔0，1〕，
直线AB的方程为y＝kx+1，与抛物线x2＝4y联立，可得x2﹣4kx﹣4＝0，
设A〔x1，〕，B〔x2，〕，那么x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
由•＝0，即〔1﹣x1，﹣1﹣〕•〔1﹣x2，﹣1﹣〕＝〔1﹣x1〕〔1﹣x2〕+〔1+〕〔1+〕
＝x1x2﹣〔x1+x2〕+2++＝﹣4﹣4k+3+＝4k2﹣4k+1＝0，
解得k＝．
故答案为：．
三、解答题〔本大题共6小题，共70分〕
17．m＞0，p：〔x+1〕〔x﹣5〕≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．假设m＝5，p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求实数x的取值范围．
解：当m＝5时，q：﹣4≤x≤6，
由〔x+1〕〔x﹣5〕≤0，可得﹣1≤x≤5，即P：﹣1≤x≤5．
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假，
假设p真q假，那么，该不等式组无解；
假设p假q真，那么，得﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6．
综上所述，实数x的取值范围为{x|﹣4≤x＜﹣1或5＜x≤6}．
18．求适合以下条件的曲线的标准方程．
〔1〕a＝4，b＝5，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；
〔2〕焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
解：〔1〕由题意，设方程为，
∵a＝4，b＝5，
∴a2＝16，b2＝25，
所以双曲线的标准方程是．
〔2〕∵焦点到准线的距离是2，
∴2p＝4，
∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝﹣4y．
19．曲线y＝x2，
〔1〕求曲线在点P〔1，1〕处的切线方程；
〔2〕求曲线过点P〔3，5〕的切线方程．
解：〔1〕函数f〔x〕＝x2，
所以f′〔x〕＝2x，
所以直线的斜率k＝f′〔1〕＝2，
故直线的方程为y﹣1＝2〔x﹣1〕，
整理得y＝2x﹣1．
〔2〕设直线与曲线相切于点〔x0，y0〕，即点〔〕，
那么直线的斜率为k＝2x0，
所以切线的方程为，
由于曲线经过点〔3，5〕
所以，
整理得x0＝1或5，
所以切点的坐标为〔1，1〕和〔5，25〕，
所以切线的方程为y＝2x﹣1或y＝10x﹣25．
20．设直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点．
〔1〕求实数b的取值范围；
〔2〕当b＝1时，求．
解：〔1〕将y＝x+b代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①…
因为直线y＝x+b与椭圆相交于A，B两个不同的点，
∴△＝16b2﹣12〔2b2﹣2〕＝24﹣8b2＞0
∴
〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，当b＝1 时，方程①为3x2+4x＝0．…
解得．
此时
∴＝＝
〔利用弦长公式也可以〕
21．双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线
经过点，又知直线l：y＝kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
〔1〕求双曲线C的方程；
〔2〕假设，求实数k值．
解：〔1〕抛物线的焦点是〔〕，那么双曲线的．
即a2+b2＝…〔1分〕
设双曲线方程：…
解得：…
〔2〕联立方程：
当…〔未写△扣1分〕
由韦达定理：…
设即〔1+k2〕x1x2+k〔x1+x2〕+1＝0代入可得：，检验合格．…
22．椭圆C：〔a＞b＞0〕的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点
．
〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；
〔Ⅱ〕M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不与x轴垂直的直线MN和PQ
分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．
【解答】〔Ⅰ〕解：由，得．
所以a2＝2b2．
所以C：，即x2+2y2＝2b2．
因为椭圆C过点，所以，
得b2＝4，a2＝8．
所以椭圆C的方程为．
〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知椭圆C的焦点坐标为F1〔﹣2，0〕，F2〔2，0〕．
根据题意，可设直线MN的方程为y＝k〔x+2〕，
由于直线MN与直线PQ互相垂直，那么直线PQ的方程为．
设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕．
由方程组消y得〔2k2+1〕x2+8k2x+8k2﹣8＝0．
那么，．
所以|MN|＝＝＝．同理可得|PQ|＝．
所以＝＝．。