2017-2018版高中数学第2章推理与证明章末复习课学案苏教版选修1-2

第2章推理与证明
【学习目标】1. 了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理 2 了解合情推理的含义，
能利用类比进行简单的推理3 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并能利用分析法和综合法证明简单的问题 4 了解反证法的思想，并能灵活应用.
新知探究点点落实
问题导学
知识点一合情推理
1 .归纳推理
⑴ 定义：从个别事实中推演出__________ 的结论的推理称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大
致是：____________ 工_______________ 工 __________________ .
⑵特点：由__________ 到整体、由_________ 到一般的推理.
2 .类比推理
(1) 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相
似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程为：
⑵ 特点：类比推理是由__________ 到________ 的推理.
3 .合情推理
合情推理是根据_________________ 、__________________ 、 _____________________ ，以及个人
的________ 和直觉等推测某些结果的推理过程. ______________ 和____________ 都是数学活动中
常用的合情推理.
知识点二演绎推理
1•演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理•简言之，演绎推理是由_
到________ 的推理.
2 •“三段论”是演绎推理的一般模式
(1) 大前提——已知的 _____________;
(2) 小前提一一所研究的 _____________ ;
(3) 结论——根据一般原理，对 ______________ 做出的判断.
知识点三直接证明
1 .综合法
(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.
⑵推证过程：已知条件？…？…？薈论
(3)思维过程：由因导果.
2 •分析法
(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件
和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.
⑵推证过程：|结论?…?…?|已知条件
(3)思维过程：执果索因. 知识点四间接证明
用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).
题型探究
类型一归纳思想
a n n
例1 已知数列｛a n｝满足a i= 1, = (n= 1,2 , 3，…).
a n+1 n+ 1
(1) 求a2, a3, a4, a5，并猜想通项公式a n；
(2) 根据(1)中的猜想，有下面的数阵：
S = a1,
a2+ a3,
S3= a4+ a5 + a6,
S4= a7+ a8 + a9+ a1o,
S5= a“+ a12+ ai3 + a14+ a15.
试求S, S+ S, S + S + S，并猜想S+ S s+ $+•••+ Sa n-1 的值.
反思与感悟归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉.具有共同特征的归纳推
理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便
于观察运算规律和结构上的共同点.
跟踪训练1设｛a n｝是集合｛2t+ 2s|0 < s W t,且s, t € Z｝中所有的数从小到大排列的数列, 且a1 = 3, a2= 5, a3= 6, a4 = 9, a5= 10, &= 12,….
将数列｛a n｝中的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表: ■!
5 6
Q in 12
(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；
⑵求出a ioo.
类型二类比思想
例2定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那
么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和.已知数列｛a n｝为等和数列，且a i= 2，公和为5.那么a i8的值为________ ，这个数列前n项和S的计算公式为__________________________ . 反思与感悟事物的各个性质之间不是孤立的，而是相互联系相互制约的，等和数列与等差
数列之间有着很多类似的性质，利用类比推理可得出等和数列的性质.
跟踪训练2已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a i, a2, a3, a4,点P为四边形
_ ai a2 a3 a4
内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h i, h2, h3, h4,若—=—=-3 = — = k,贝U h i +
+ 2H 2 + 3H 3+ 4H 4= ________ .
类型三正难则反思想
例3 已知△ ABC 中，/ C 是直角，求证：/ B 一定是锐角.
反思与感悟 反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后推出矛盾，这里得出的矛 盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛 盾•反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的 问题.
1 1 1
跟踪训练3证明：无论x , y 取任何非零实数，等式 -+-=
总不成立.
x y x + y
类型四综合法与分析法
2 2
例 4 已知 x , y >0, x + y = 1,求证：log 2（xy + 1） — log 2X — log 2y >log 217— 2. 反思与感悟 证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程. 跟踪训练 4 求证：川 sin^T — 2cos( a
+ B )=
2^4.
2S
出+ 3IW 4h 4 = °
类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的每个面的面积分别记为 S 4,此三棱锥内任一点 Q 到每个面的距离分别为 H , ", H 3, H 4
,
达标检测当堂推测巩固反谟
1 •有一个奇数列135,7,9 ，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…，则每组内各数之和f (n)( n € N*)与组的编号数n的关系式为________________________________________ .
2.已知△ ABC中, ADLBC于D,三边是a, b, c,则有a= c cos B+ b cos C;类比上述推理
结论，写出下列条件下的结论：四面体LABC中，△ ABC △ PAB △ PBC △ PCA的面积分
别是S, S, S2, S3,二面角P—AB— C, P—BC— A, P—AC— B 的度数分别是a , 3 , Y ,则
S= ____________________ .
3 •将下列给出的反证法证明过程填写完整.
已知0,证明关于x的方程ax= b有且仅有一个根.
b
证明由于a^0,因此方程ax = b至少有一个根x=.
a
假设方程不止一个根，不妨设X1, x是______________ ,即ax1 = b, ax z= b,所以a(X1 —X2) = 0,
因为X1^ X2,所以X1 —X2工0,所以a= 0,这与___________ 矛盾，故假设错误.
所以当a^0时，关于x的方程ax= b有且仅有一个根.
4 .若tan( a + 3 ) = 2tan a，求证：3sin 3 = sin(2 a + 3 ).
规律与方法
直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法•直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用•间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
问题导学 知识点一 1. (1) 一般性 实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
⑵部分个别
2 . (1)观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 (2)特殊 特殊
3 .已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 经验归纳推理类比推理 知识点二 1.一般特殊 2 . (1) 一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况
题型探究 例 1 解 (1)因为 a 1 = 1,由=—-知 a n +1 = +
• a n ，故 a 2= 2, a 3= 3, a 4= 4,
a 5 = 5.
a n +1 n + 1
n
可归纳猜想出 a n = n (n € N*).
⑵根据(1)中的猜想，数阵为：
S= 1,
S 2= 2 + 3= 5, S 3= 4 + 5+ 6 = 15, S = 7 + 8+ 9 + 10= 34, S 5= 11+ 12+ 13+ 14+ 15= 65,
故 S = 1 = 14, S + S 3= 1 + 15= 16= 2, S + S 3 + S 5= 1 + 15 + 65= 81 = 34. 可猜想 S + S 3 + S 5 + …+ S an -1 = n 4.
跟踪训练 1 解（1）第 1 行：3 = 21 + 2°;第 2 行：5 = 22 + 20,6 = 22 + 21 ;第 3 行：9= 23 + 2。

，10 =23+ 21,12= 23 + 22;由此归纳猜想： 第 4 行：24 + 2。

= 17,2 4+ 21 = 18,2 4+ 22= 20,2 4+ 23= 24; 第 5 行，25 + 20 = 33,2 5 + 21= 34,2 5 + 22 = 36,2 5 + 23 = 40,2 5 + 24 = 48. 故第4行各数依次为17,18,20,24 ;第5行各数依次为33,34,36,40,48.
⑵ 每行中数的个数与行数相同，即第 1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，……，由
因此，a 100应当是第14行中第9个数，所以a 100= 214+ 28= 16 384 + 256= 16 640.
合案精析
n +1
2
w 100（ n € N*），得n w 13.故前13行共有
1 + 2+ 3 + …+ 13= 91（个）数.
5 q n n为偶数
例2 3 S =」
5 1
2“一2 n为奇数
解析•「｛a n｝是等和数列，a i= 2,公和为5,
a2= 3，贝V a3= 2, a4= 3，知a2n = 3, a2n-1 = 2( n€ N). ••• a i8= 3,数列｛a n｝形如：2,3,2,3,2,3
，….
|n n为偶数
跟踪训练2 —
解析根据三棱锥的体积公式，
e 1 1 1 1
得3S H + 尹f + 3$円+ 3$已=V,
即KH + 2KH+ 3KH+ 4KH= 3V,
3V
H+ 2H+ 3H+ 4H4 = R
例3证明假设/ B不是锐角，则/ B> 90°, 因此/ C+Z B> 90°+ 90°= 180°, 这与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以假设不成立.
从而Z B一定是锐角.
跟踪训练3证明设存在非零实数X1, y1,
左 1 1 1
使等式一+ —= 成立，
X1 y1 X1+ y1
则有『1(X1+ y" + X1(X1 + y" = xy,
2 2
• X1 + y1 + xy= 0,
y1 2 3 2
即(X1+2)+ 4『1=0.
又T X1, y1 工0,
••( X1 + y2)2+ 4y2>0,从而得出矛盾，故原命题成立.
例4解方法一(分析法)
••• X , y>0,
2 2
•••欲证 log 2(x y + 1) — log 2X —log 2 > log 217— 2, …
x 2y 2+ 1
17
需证 log 2 xy 》log ^4. •••由于对数的底数为 2>1,
由于x , y >0,于是为了证明上式成立，
只需证明 4x y + 4> 17xy ，即证 4x y — 17xy + 4>0. 即证(4xy — 1)( xy —4) >0, 1
即证xy w 4或xy > 4.①
又••• x , y >0, x + y = 1,
__ _ o o
•••①式成立，这就证明了 log 2( x y + 1) — log
2 x — log 2y > log 217— 2 成立.
,
+ x + y 2 1 由 x + y = 1,得 xy w(〒)=4, 1
•t *(0, 4].
xy +1 1
1
=xy +
= t + , t € (0 ,
xy
xy
t '
2
•为了证明上式成立，需证
2 2
/
丄—
x y + 1
17
> — xy 4
方法二 （综合法） 由条件知
2 2
2 2
x y + 1 log 2( x y +1) — log 2x — log 2y = log 2 x
y
设u =
t = xy .
2 “
xy +1
xy
1 u >4
+4= 17
4 1
•- U，= (t + I' = 1—1 = 1 <0, t € (0 , 1,
17
• log 2u>log 24
2 2 .
x y +1 •• log 2 x y > log 217—2,
2 2
即log 2( x y + 1) —log 2X —log 刿 > log 217 — 2. 跟踪训练 4 证明• sin(2 a + 3 ) —2cos( a + 3 )sin a
I 1
• u = t + -在t € (0 , 4]上是减函数,
1
1 =sin [( a + B ) + a ] — 2C0S ( a+ B )sin a 达标检测
3
1. f ( n ) = n
解析由于1 = 13 3+ 5= 8 = 2,
3 3
7 + 9+ 11 = 27= 3'13+ 15+ 17+ 19= 64= 4,…，猜想第 n 组内各数之和 n 的关系式为f (n ) = n 3.
2 . S cos a + S ^cos B + Seos Y
3 .两不等根 a ^0
4 .证明 由 tan( a + B ) = 2tan 2s in a cos a 即 sin( a + B )cos a = 2sin a cos( a + B ). 要证 3sin B = sin(2 a+B ),
即证 3sin[( a+B ) — a ] = sin[( a + B ) + a ], 即证 3[sin( a+B )cos a — cos( a+B )sin a ] =si n( a + B )cos a
+ cos( a+B )sin a ,
即证 sin( a + B )cos a = 2sin a cos ( a + B ), 故 3sin B = sin(2 a + B ).
=sin( a + B )cos a + cos( a =Sin( a + B )C0s a — C0s( a =sin[( a + B ) — a ] = sin B 两边同除以sin a 得
+ B )sin a — 2cos( a + B )sin a + B )sin a S I Pl 2 a + B
sin a 2cos( a + sin
f (n )与组的编号数
12。