轴对称问题有限元法分析

轴对称问题的有限元模拟分析一、摘要：轴对称问题是弹性空间问题的一个特殊问题，这类问题的特点是物体为某一平面绕其中心轴旋转而成的回转体。

由于一般形状是轴对称物体，用弹性力学的解析方法进行应力计算，很难得到精确解，因此采用有限元法进行应力分析，在工程上十分需要，同时用有限元法得到的数值解，近似程度也比较好。

轴对称问题的有限元分析，可以将要分析的问题由三维转化为二维平面问题来解决。

先是结构离散，然后是单元分析，再进行总纲集成，再进行载荷移置，最后是约束处理和求解线性方程组。

分析完成之后用ABAQUS软件建模以及分析得出结果。

关键字：有限元法轴对称问题ABAQUS软件二、前言:1、有限元法领域介绍：有限单元法是当今工程分析中获得最广发应用的数值计算方法，由于其通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视，伴随着计算机科学和技术的快速发展，现在已经成为计算机辅助设计和计算机辅助制造的重要组成部分。

由于有限元法是通过计算机实现的，因此有限元程序的编制以及相关软件的研发就变得尤为重要，从二十世纪五十年代以来，有限元软件的发展按目的和用途可分为专用软件和大型通用商业软件，而且软件往往集成了网络自动划分，结果分析和显示等前后处理功能，而且随着时间的发展，大型通用商业软件的功能由线性扩展到非线性，由结构扩展到非结构等等，这一系列强大功能的实现及运用都要求我们对有限元法的基础理论知识有较为清楚的认识以及对程序编写的基本能力有较好掌握。

2、研究报告目的:我们小组研究的问题是：圆柱体墩粗问题。

毛坯的材料假设为弹塑性，弹性模量210000MPa，泊松比0.3，塑性应力应变为圆柱体毛坯直径d=50mm，高度l=60mm；凸模直径D1=70mm；凹模直径D2=80mm；凸模从接触圆柱体上表面开始向下运动10mm；模具及板材之间的摩擦系数为0.1。

确定圆柱体变形后，凸模所受的反作用力大小.3、研究报告的预期结果：用abaqus建模，通过后期处理计算出应力大小。

4、项目组分工：王瀚墨：项目报告的编写。

闫括：力学分析及有限元原理。

姚顺博：有限元模型的建立及后处理。

郝永勇：项目ppt制作、项目汇报。

三、研究报告正文:（1）问题的力学特征、有限元求解原理：1）力学特征：此问题的几何形状、约束条件以及作用的载荷都对称于某一对称轴，在这种条件下的位移、应变和应力都对称于某一对称轴。

和平面问题三结点三角形平面单元不同，所采用的是三结点三角形环状的实体单元，研究的是圆柱问题采用柱坐标系在等效载荷的计算中采用近似积分方式是相当简单也是相当有效的，并且此轴对称问题的刚体位移为轴向移动。

对其进行适当的应力应变分析。

2）有限元求解原理： 轴对称问题的应力应变特点特点：应力，应变，位移 都是轴对称 数学表述：变量及角度无关位移分量： 应变分量：0, 0, /r z r z u rθθθθθττγγε====={}{}Tq u w ={}{}Tr z rz θεεεεγ=应力分量：{}{}Tr z rz θσσσστ={}{}{}[]{}[]()() 101010112120002Tr z rz Tu uww u r rzr z D ED θεεεεγσεμμμμμμμμμμμμ=∂∂∂∂⎧⎫=+⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭=-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦几何关系: 物理方程：通常采用柱坐标系（ r ， m ，z ），并以 z 轴为对称轴。

结构中的位移、应变和应力及角度 m 无关。

可以取出结构的任一子午面进行分析，从而将三维问题转化为二维问题径向变形将引起周向应变，即==θθττz r 0==θθυυz r ru r r u r =-+=πππεθ22)(2轴对称结构的几何模型是一个表示子午面形状的平面图形，及平面问题相比，轴对称问题的应力及应变分量各多一个。

一、结构离散本身是一个三维结构，由于形状和载荷的特殊性，其网格划分仅在任一子午面上进行，为平面网格。

几何模型：一个表示子午面形状的平面图形，用相应的轴对称实体单元划分。

二、单元分析1.位移函数其中，Ni 是形函数，其表达式()()()121212i i i i j j j j m m m m N a b r c z A N a b r c z A N a b r c z A=++=++=++[]0000ijmiii N N N N N N N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2.单元应变选择线性位移函数，将节点i,j,m 的坐标值和位移值带入由此可见，周向应变分量 随 而改变，不是常量。

3、单元应力选择线性位移函数，将节点i,j,m 的坐标值和位移值001(,,)02l l l l l l b f B l i j m c A c b⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(,,)l l l l a b r c z f l i j m r++==θεzr ,{}[]{}Teuu w w u B qrr z rz ε∂∂∂∂⎧⎫=+=⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭带入三、单元刚度矩阵用虚位移原理来推导三角形环单元的单元刚度矩阵。

单元等效节点力所作虚功等于三角环单元中的应力所作的虚功。

单元虚应变为：考虑到虚位移的任意性，将两边的同时消去，{}[]{}[][]{}[]{}eeD D B q S q σε===()()()()1112212112l l l l l l l l l l l l ll b A f A c A b f A c E S A b f c A A c A b μμμ+⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥=⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦[]{}{}eeB q δεδ={}{}{}{}eT e T eq F rdrd dzδδεσθ=⎰⎰⎰{}eTq δ{}[]{}2[][][]{}[][]e Te Tee eeF B rdrd dz B D B rdrdz q k q σθπ===⎰⎰⎰⎰⎰把单元中随位置变化而不断变化的r 和z 用单元截面的形心坐标来近似，四、总刚集成[][][]()()()123412[]2112eTs k k E r k r B D B A k k A πμπμμ-⎡⎤==⎢⎥+-⎣⎦[][][]2[]ii ij im e Tji jj jm mi mj mm k k k k r B D B A k k k k k k π⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1,,l l l l a b r c zf f l i j m r ++≈==()1212121A A μμμμ-==--求出每个三角形环单元的刚度矩阵后，即可按照第二章介绍的总体刚度矩阵的集成方法，得出结构的总刚矩阵。

五、等效节点载荷的计算计算轴对称问题的等效节点载荷及平面问题有所不同，因为轴对称结构的子午面上的一个节点是一个关于对称轴中心对称的圆环，故当计算集中力、表面力和体积力时，应在整个环上积分。

{}[]{}()[]{}cTz r c c c T eP P N r d r P N R c c c,202πθπ==⎰Ozr单元的jm 边作用有均布载荷Ps ，其方向以压向单元边界为正。

由等效节点载荷及原载荷在虚位移上作的虚功应相等，同时，虚位移的任意性，3.体积力的移置重力（1）单元体积力列阵为{}rds l r r q l z z q N R im mi im i m T i e P is⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⎰π2由重心公式可推导最后得六、约束处理和求解线性方程组{}[]{}[]0000000000101013v Tev P eTi j mc i jm e Tc i jm eTc R N p rdrdz N N N r drdz N N N v r v N N N drdz Ar v ==⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-=⎣⎦-⎰⎰⎰⎰⎰⎰{}{}(){}2222101010310101027veT c P ijm TA R r A r rr ρωρω==++对矩阵[K]、[R]按第二章介绍的方法进行约束处理后，就可以求解结构的刚度方程式中，为经过约束处理的总刚度矩阵；为经过约束处理的载荷矩阵。

求出节点位移分量后，可求出单元各点的位移、应变和应力。

（2）有限元模型的建模过程：1、绘制子午面、凸模和凹模子午面在轴对称-壳体下绘制，凸模和凹模在轴对称-解析刚体下绘制[]{}{}RK=q[]K{}R{}q2、赋予材料和截面的选定在part下选取截面3、装配4、设置加载步骤5、赋予摩擦6、设置工作平面7、设置约束条件划分单元（3）后处理过程：演算结果对凸模凹模的反力大小为1.249*610四、结论:先通过查阅资料，学习轴对称问题的有限元分析，分析其受力力学特征和求解原理。

然后用abaqus软件进行建模和后期处理，计算得到反力大小为1.249*.610。

心得感受：在这次三级项目中，小组内成员们各自分工，一人负责一个方面，锻炼了我们相互协调合作的能力。

这次三级项目中，我们把书本上学到的知识活学活用，加强自己的分析能力。

加强了对轴对称问题有限元法的理解，并且学会了abaqus 软件的应用，学会了一些建模的思想，并且加以运用。

最后小组成员把每个人研究的项目综合到一起讨论，大家经过了分析之后确定了一个准确的方案。

课程设计是在如今应试教育背景下对能力和素质的一次非常全面的锻炼，希望以后的课程中能多多进行课程设计这类的教学活动。

五、主要参考文献:《有限元法--原理、建模及应用（第二版）》杜平安于亚婷刘建涛编著。