2对偶理论

2.2 对偶性质 Dual property
【例2.7】 证明下列线性规划无最优解：
min Z x1 x 2 x3 x1 x3 4 x1 x 2 2 x3 3 x 0, j 1,2,3 j
【证】容易看出X=（4，0，0）是一可行解，故问题可行。对 偶问题 1 将三个约束的两端分别相加得 y 2 max w 4 y1 3 y 2
两个模型的区别与联系：
– 联系：都是关于家具厂的模型，使用相同的数 据； – 区别：反映的内容不同，前者站在家具厂立场 追求家具厂收入最大；后者则站在家具厂对手 的立场上寻求付给家具厂的租金最少。 – 前一个为原问题，后一个是对偶问题。
2.2 对偶性质
Dual property
2.2 对偶性质 Dual property
性质 6告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解 的方法，即已知Y*求X*或已知X*求Y*。 Y * XS=0和YS X * =0 两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
* y i xSi 0 i 1 n * y x Sj j 0 j 1 m
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零， 因而有下列关系：
– 所付租金应不低于家具厂利用这些资源能获得的 利益，模型应有以下约束： 1)生产桌子等价的租金 桌子价格： 4y1 + 2y2 50 2)生产椅子等价的租金 椅子价格：
3y1 + y2 30 3) 租金应大于零： y10, y20
租赁者的完整模型
min: 120y1 + 50y2 s.t. 4y1 + 2y2 50 3y1 + y2 30 y1 0, y2 0
2.2 对偶性质 Dual property
【性质2】 弱对偶性 设X、Y分别为LP(max)与DP(min) 的可行解，则 CX Yb
2.2 对偶性质 Dual property
推论1 （LP）的任一可行解的目标值是（DP）的目标函数的下界；
（DP）的任一可行解的目标值是（LP）的目标函数的上界；
一 对 互 为 对 偶 的 模 型
管 理原 者问 模题 型 租 对 赁 偶 者 问 模 题 型
max z = 50x1 + 30x2
s.t. 4x1 + 3x2 120 2x1 + x2 50 x1 0, x2 0
min: w = 120y1 + 50y2
s.t. 4y1 + 2y2 50 3y1 + y2 30 y1 0, y2 0
Y 0 A C 0 Y 0
0 故 Y 为对偶问题的可行解;又因为对于对偶问题的任何一个解Y , 由性质2知 1 B b 0 C B B 1b Y 0 b Yb CX (C B , C N ) 0
2.2 对偶性质 Dual property
2.2 对偶性质 Dual property
最优解X=（4，6，0），最优值Z=6×4－2×6=12；
（2）因为表2－2（3）为最优解，故
【例2.6】 已知线性规划 x1 x 2 x3＝4
x1 x 2 x3 6 x 0, x 0, x 无约束 2 3 1
的对偶问题的最优解为 Y=（0，-2），求原问题的最优 解。 max w 4 y1 6 y 2 【解】对偶问题是
y1 y 2 2 y y 1 1 2 y1 y 2＝2 y1无约，y 2 0
显然有
Y0XS=－YS X0 Y°XS=0和YS X°=0
又因为Y°、Xs、Ys、X°≥0，所以有 成立。
反之， 当Y°XS=0和YS X°=0时，有
Y°A X°＝Y°b Y°A X°=C X° 显然有Y0b=C X°,由性质3知Y°与X°是（LP）与（DP）的最 优解。证毕。
2.2 对偶性质 Dual property
推论2 1)若一个问题在可行域上无界,则对偶问题无可行解； 2)若一个问题无可行解,则对偶问题无界或无可行解； 3)若LP和DP都有可行解,则它们都有最优解;
4)若一个无最优,则另一个也无最优
2.2 对偶性质 Dual property
例如：
min z x1 2 x 2 1 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 x , x 0 1 2
1. 对偶问题的提出
例2.1 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价 50元，椅子售价30元，生产一 个桌子需要木工4小时， 油漆工 2 小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆 工 1小时。该厂每月可用木工工时为120，油漆工工 时为50 。 （1）该厂如何生产才能 使每月销售收入最大？ （2）一个企业家有一批待加工的订单，有意利用该家 具厂的资源来加工他的产品，该企业家试图劝说家具 厂管理者将资源租给他，那么资源的转让价格是多少 才能使家具厂放弃生产，出让自己的资源？
设(LP)
max Z CX AX b X 0
有最优解.引进松弛变量,原问题等价于
max Z CX AX X s b (LP’) X , X S 0
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
max Z C B X B C N X N 0 X S BX B NX N EX S b X B , X N , X S 0
所以 yS1 yS2 0 于是有
y1 2 y2 3 2 y1 2 y2 4
解此线性方程组得 y1=1,y2=1, 从而对偶问题的最优解为 Y= （ 1 ， 1），最优值w=26。
2.2 对偶性质 Dual property
min z 2 x1 x 2 2 x3
2.2.1 对偶性质 设原问题是（记为LP）： 对偶问题是（记为DP）：
max Z CX AX b X 0
min w Yb YA C Y 0
这里A是m×n矩阵X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假设Xs与 Ys分别是（LP）与（DP）的松驰变量。 【性质1】 对称性 对偶问题的对偶是原问题。
2.2 对偶性质 Dual property
表2-2
XB 表 （ 1） λj 表 （ 2） λj 表 （ 3） λj x1 x2 x1 x5 x4 x5 x1 [2] 1 6↑ 1 0 0 1 0 0 x2 －1 0 －2 －1/2 [1/2] 1↑ 0 1 0 x3 2 4 1 1 3 －5 4 6 －11 x4 1 0 0 1/2 －1/2 －3 0 －1 －2 x5 0 1 0 0 1 0 1 2 －2 4 6 1 3→ b 2→ 4
2.2 对偶性质 Dual property
因为y2≠0，所以原问题第二个松弛变量 x S 2 =0，由 y1=0、y2=2知，松弛变量 yS 0, yS 1,故x2=0， 1 2 则原问题的约束条件为线性方程组：
x1 x3 4 x1 x3 6
解方程组得：x 1=－5,x 3=－1, 所以原问题的最优解为 X=（－5，0，－1），最优值Z=－12。
最优解
1 X B b B 0 X X 0 N
表2-2 XB XN XS b
XB
C
B
CB XN B－1N
N
CN 表2－3
E 0
XS
b
0
XB XB λ E 0
b
CN－CBB－1N
B－1b B－1 －CBB－1 －CBB－1b
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
【例2.8】 线性规划
max z 6 x1 2 x2 x3 2 x1 x2 x3 2 x1 4 x3 4 x , x , x 0 1 2 3
（1）用单纯形法求最优解； （2）从最优表中写出对偶问题的最优解；
【解】（1）加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代如表2-2所示。
YSX0=0和Y0XS=0
【证】设X°和Y°是最优解,由性质3 ，C X0= Y0b，由于XS和YS 是松弛变量，则有
A X0＋XS＝b Y0A－YS=C
将第一式左乘Y0，第二式右乘X0得
Y0A X0＋Y0XS＝Y0b Y0A X0－YS X0=C X0
2.2 对偶性质 Dual property
（ 1） max z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 2x1 + x2 50 x 1, x 2 0 （2）设 y1 为每个木工工时的租金， y2 为每个油漆工
工时的租金，则得到租赁者的目标函数是使租金最小 化：
租金 = 木工租金 木工工时
+ 油漆工租金 油漆工工时 min 120 y1 ＋ 50 y2
【性质4】最优准则定理
设X0与Y0分别是（LP）与（DP）的可行解，
则X0、Y0是(LP)与(DP)的最优解的充要条件是 C X0= Y0b.
2.2 对偶性质 Dual property
【性质6】互补松弛定理 设X0、Y0分别为（LP）与（DP）的可 行解，XS和YS是它的松弛变量的可行解，则X0和Y0是最优解当且 仅当
由表2-3知，当检验数
C C B B 1 A 0 C B B 1 0
时得到最优解， C C B B 1 A 是 X＝（X B，X N）的检验数, C B C B B 1 B 和 C N CB B 1 N , 令 Y 0 CB B 1 ,由 C C B B 1 A 0与 C B B 1 0 得
2.2 对偶性质 Dual property
(1)当yi*>0时， x
* (2) yS j 0时x* 0, 反之当 x j j 0时yS j 0
,反之当 xS 0 时yi*=0； 0 Si
i
利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组， 方程组的解即为最优解。 性质 6 的结论和证明都是假定（ P ）与（ D ）为对称形式，事实 上对于非对称形式，性质6的结论仍然有效。
无可行解，而对偶问题
max w 2 y1 2 y 2 y1 y 2 1 1 y1 y 2 2 2 y1 , y 2 0
有可行解，由推论2 2）知必有无界解。
2.2 对偶性质 Dual property
【性质3 对偶性】 若互为对偶的两个问题其中一个有最优解， 则另一个也有最优解，且最优值相同。
y1 y 2 1 y 1 2 y1 2 y 2 1 y1 0, y 2 0
而第二个约束有2≥1，矛盾，故对偶问
2
题无可行解，因而原问题无可行解或无
界，此处的原问题有可行解,所以它有无 界解,也就没有最优解。
2.2 对偶性质 Dual property
【性质6’】互补松弛定理 若一个问题的最优解的第i 个变量非零 , 则其对偶问题的第 i 个约束在最优解处 取”=”若一个问题的第i个约束在最优解处成立严格 的不等式,则其对偶问题的最优解的第i个变量必=零
【例2.5】 已知线性规划
max z 3 x1 4 x 2 x3 x1 2 x 2 x3 10 2 x1 2 x 2 x3 16 x 0, j 1,2,3 j
的最优解是
X (6,2,0)
求对偶问题的最优解。
T
2.2 对偶性质 Dual property
【解】对偶问题是
由互补松弛定理知 yS1 x1 yS2 x2 yS3 x3 0
min w 10 y1 16 y 2 y1 2 y 2 3 2 y 2 y 4 1 2 y1 y 2 1 y1 , y 2 0